埃舍爾雙曲空間的奇幻之旅

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文討論歐幾里得空間的生物在雙曲或球面幾何的世界中會如何發展，反之亦然。各種各樣的視錯覺和違反直覺的體驗出現了，它們可以用這些幾何圖形的平面模型進行數學解釋。

如果我們進入雙曲宇宙，會有什么體驗？赫爾曼·馮·亥姆霍茲在《幾何公理的起源和意義》一文中給出了如下答案：

我們可以推斷，對于一個像我們在歐幾里得空間中那樣獲得了空間的視覺測量和經驗的觀察者來說，如果有可能進入一個偽球形[即雙曲]世界，會是什么樣子。這樣的觀察者將繼續把光線或視線視為直線，如在平坦空間中遇到的，以及它們在偽球形幾何的球形表示中的真實情況[即，三維版本的投影盤模型；參見圖1]。因此，偽球形空間中的物體的視覺圖像會給他留下相同的印象，就好像他在貝爾特拉米的球中心一樣。他會認為他看到了他周圍有限距離的最遙遠的物體，讓我們假設100英尺遠。但是當他接近這些遙遠的物體時，它們會在他面前膨脹……而在他身后他們會收縮。他會知道他的眼睛判斷錯誤。如果他看到兩條直線，在他的估計中它們與他的世界盡頭平行，他會發現沿著它們走得越遠，它們就越偏離。[1，第316–317頁]

我們打算對亥姆霍茲的這些簡短論述加以闡述。亥姆霍茲的基本假設是，生物進入一個不同的世界時，會以保持測地線的方式將其嵌入自己的幾何中，從而扭曲他所看到的世界。在這樣做的過程中，生物的行為是正常的；他使用自己一直使用的相同幾何圖形來解釋世界，并使用“光線沿直線傳播”的假設將視覺印象轉化為這種幾何圖形，就像他一直做的那樣。因此，舉例來說，如果一個歐幾里得生物進入了一個雙曲世界，他就會把他的視覺印象強加到他的歐幾里得頭腦中，也就是說，他會在他的頭腦中把雙曲的大地線表現為歐幾里得幾何意義上的直線，而其他幾何特性則會相應地被扭曲。事實上，有一個著名的雙曲幾何模型將雙曲測地線表示為歐幾里得線，這就是圖1所示的投影圓盤模型。該模型雖然保留了直線，但卻扭曲了尺寸；所有拼塊的雙曲尺寸都相等。

圖1：雙曲幾何的射影圓盤模型(左)和共形圓盤模型(右)。

有了這個圖形，就很容易證實亥姆霍茲的說法了。我們應該想象自己站在圓盤的中心，當我們行走時，我們應該想象自己保持在中心，而地面則像跑步機一樣在我們腳下移動。在我們看來，遠處的某塊地磚的大小只是離我們最近的地磚的一小部分，但當我們走到它跟前時，這塊遠處的地磚就會占據圖形的中心部分，因此它看起來會和我們以前站立的地磚一樣大，而那些地磚在我們身后的大小則會縮小。如果我們把目光投向我們打算步行前往的某個特定目標，那么我們會發現步行的時間比預期的要長很多，因為我們會判斷，例如，前方五塊瓷磚的距離遠遠小于我們所處位置的一塊瓷磚的長度。因此，一般來說，我們會誤判物體比實際距離更近、更小。

遺憾的是，亥姆霍茲并沒有詳細說明他的論述所依據的假設，因此留下了許多未解之謎。尤其是，我們為什么要使用投影圓盤模型而不是保角圓盤模型？雙曲大小失真現象與我們在普通歐幾里得空間中的日常經驗（即遠處的物體看起來更小）究竟有什么關系？

我們將嘗試回答這些問題。首先，我們應該明確，我們并不是在假設距離和大小是以某種數學上定義明確的方式（例如，根據到達眼睛的光線的角度測量）來判斷的。相反，我們假設生物是以它們一直以來的方式來判斷距離和大小的。這包括有關光線到達眼睛的入射角度和其他類似度量的某些數學原理，但也涉及各種經驗事實和對世界的假設。

以圖2中的瓷磚地板為例。當我們看到瓷磚地板的透視圖（如左圖）時，我們會推斷所有瓷磚的大小相同。數學原理在這里發揮了作用；除其他效果外，數學原理還能讓我們辨別真假透視圖，如右圖中的透視圖。

圖 2：瓷磚地板的精確透視圖（左）和不精確透視圖（右）。

然而，瓷磚大小相等的推論并沒有嚴格的數學依據。畢竟，在某些簡化的假設條件下，比如我們只有一只眼睛，沒有“迷霧”或焦距差異，也沒有判斷物體遠近的其他因素等，其他幾何排列也可以給人完全相同的視覺印象。事實上，在這些假設條件下，上面的圖片和實際的瓷磚地板會給人完全相同的視覺印象。我們推斷自己看到的是鋪著大小相等的正方形瓷磚的地板，這一推斷與數學原理、經驗以及對日常生活中通常會遇到的物體類型的隱含假設糾纏在一起。我們假設，當我們進入雙曲空間時，所有這一切都會延續下去。

因此，如果我們看到的東西看起來像是瓷磚地板的精確透視圖，我們就會認為我們看到的是大小相等的瓷磚。在雙曲世界中，什么樣的幾何構造會給我們這樣的視覺印象呢？在投影圓盤模型中，很容易就能畫出給人這種視覺印象的圖形：只需在模型中畫出歐幾里得正方形的規則網格。由于光是直線傳播的（在這個模型中是歐幾里得直線），所以當我們把網格上的點連接到觀察者的眼點時，就會得到一束與歐幾里得情況無異的直線。

然而，保角圓盤模型也保留了通過中點的測地線。那么，在這個論證中，我們是否可以用共形盤代替投影盤呢？嚴格地說，就純視覺數據而言，我們可以這樣做。但是，我們判斷直線度的能力并不僅僅局限于視網膜幾何。我們對直線度的感知還受到一些文化線索的影響，例如所有車輪都對準的汽車軌跡、匆忙的行人、慣性運動的物體以及建筑物的邊緣及其陰影。有了這些暗示的幫助，共形磁盤的情況不太可能欺騙我們；我們很可能會把瓷磚地板的表面印象當作游樂園游樂場那種故意制造的視覺錯覺。另一方面，在投影圓盤的情況下，我們沒有這樣的借口，所以我們會相信瓷磚地板的錯覺以及隨之而來的對距離的錯誤估計。

這些論據支持亥姆霍茲的原理，即生物進入一個不同的世界時，會以保留大地的方式將其嵌入自己的幾何中，從而扭曲他所看到的世界。既然這個原理已經確立，我們就可以把它推廣到其他幾何中去，自娛自樂一番。

讓我們先來看看球面幾何。亥姆霍茲再次為我們提供了一些簡短的意見：

如果我們用歐幾里得的空間來測量，進入一個三維的球形空間，就會產生一種相反的錯覺。我們會認為較遠的物體比實際距離更遠、更大，而且在接近它們時會發現，我們到達它們的速度比我們從它們的外觀所預期的要快……然而，球形世界中最奇特的景象應該是我們自己的后腦勺。[1，第 317-318 頁］

的確，我們會看到自己的后腦勺，因為球面幾何學中的測地線是大圓，所以從我們的后腦勺到我們的眼睛存在測地線路徑。那么度量扭曲呢？是否有一個類似于雙曲面的模型可以幫助我們理解為什么這些扭曲是亥姆霍茲所報告的那種類型呢？根據亥姆霍茲原理，如果我們進入一個球形宇宙，我們就會以保全測地線的方式將其映射到我們的歐幾里得思維中。事實上，確實存在這樣一種映射：gnomonic 投影，即從球心到切面的投影（示例見圖 3）。由于球面上的測地線是球面與通過其中心的平面的交點，因此其投影是該平面與投影到切線平面的交點，即一條直線，因此測地線投影顯然是保全測地線的。18]

通過圖3，我們可以證實亥姆霍茲的說法。假設我們站在圖的中心，我們認為瑞典和非洲一樣大，但如果我們走到瑞典，就會發現我們大錯特錯了。我們認為靠近兩極的東西幾乎是無限遙遠的，而實際上這個距離只是球體周長的四分之一，所以我們會驚訝地發現我們可以很容易地到達那里。總之，我們會錯誤地判斷物體比實際距離更遠、體積更大。

這里存在的一個問題是，在 gnomonic 投影法下，只有半個球體被映射到平面上。當然，來自球面另一半的光線也會到達我們的眼睛。那么，我們該如何解釋來自這一半的光線呢？它在我們的幾何世界概念中的位置如何？或者說，既然我們看到自己的后腦勺“在”我們的“前面”，我們怎么可能想象出它的“距離”呢？這種現象并不像初看起來那么荒謬。事實上，它與我們日常觀察天空的經驗類似。當我們仰望天空時，我們看到的是星星、太陽和月亮，但我們的視覺印象并不像本地物體那樣帶有任何距離的內涵。我們有一個“地平線”，在這個地平線之外，我們無法判斷距離。因此，對于進入球形世界的歐幾里得生物來說，球體的遠半部分就類似于我們的夜空；他們會看到它，但他們的度量概念并不適用。

現在，讓我們考慮一下其他世界的生物進入我們世界的相反情況。同樣，我們的規則是，每個生物都會以保全測地線的方式將我們的世界映射到他自己的幾何世界中。

對于球形生物來說，借助球面鏡就可以非常生動地說明這一點。如果將一面球面鏡（大小合適）對著圖3中的球面投影插圖，在尼日利亞下方的切點處與之相觸，鏡中的圖像將是我們習慣看到的一個幾乎完美的地球。(您可以使用放大的gnomonic 投影圖來親自嘗試一下。如果把圖形放大到與報紙版面差不多大，那么就可以使用一個與保齡球差不多大的花園裝飾品鏡子；如果放大得更小，就可以使用一個普通的圣誕球作為鏡子）。這證明了照鏡子近似于gnomonic投影的逆投影（因為它“撤銷”了原來的投影）。因此，這個地圖也幾乎是保全測地線的，所以它可以用來計算球形生物在我們的世界中是如何判斷距離和大小的。顯然，球形生物會認為所有東西都離自己很近（不超過圓周的四分之一），而且非常小（比如，從遠處用球面鏡觀察一座山，它看起來很小，比近處的一分錢硬幣還小）。

圖3:地球Gnomonic投影到尼日利亞正南方的一個相切平面上。(出自[3])。)

雙曲生物則會有相反的誤解。同樣，投影圓盤是連接我們兩個世界的橋梁，因為它具有大地保全性。但現在情況相反了；雙曲生物會把投影圓盤的度量標準強加給我們的世界。這樣，他就會認為，距離我們只有幾英寸（或者他的圓盤半徑是多少）的物體幾乎是無限遠的（要到達那里，我們必須穿過這么多的瓷磚），而且非常大（因為它覆蓋了這么多的瓷磚）。如果他發現自己只需一兩步就能走到那里，而且這些物體并不像他想象的那樣巨大，他會多么驚訝啊。在這里，“度量地平線 ”現象又是非常明顯的。雙曲生物只能判斷其圓盤半徑范圍內的距離。其他一切都會被他判定為無法估量的遙遠，就像我們看到的夜空一樣。因此，他在這方面的困惑就好比我們突然意識到站在腳尖上就能伸手觸摸到月亮一樣。

我們還需要考慮雙曲生物進入球形世界的情況，反之亦然。這些情況下所需的大地保全映射可以通過上述映射的組合來獲得，并以歐幾里得幾何作為中間階段。因此，要了解球形生物如何體驗雙曲世界，我們只需在球面鏡中觀察觸及圓心的投影圓盤模型即可。根據我們迄今為止的討論，雙曲直線=投影圓盤模型中的歐幾里得直線≈鏡面投影下的球面直線，因此這給出了雙曲幾何的近似保全測地線球面模型。因此，球面生物會認為所有東西都非常近（根據圓盤和球面的半徑，也許在周長的十分之一以內），而且與實際大小相比非常小（遠處的拼塊小得令人難以置信）。相反，雙曲生物對球形空間的體驗是通過將投影圓盤度量強加在球體的gnomonic投影上而獲得的。這樣，球面直線 = 球面投影上的直線 = 投影圓盤上的直線，因此大地線得以保留。因此，雙曲生物的錯覺將由上述與這些映射相關的兩種錯覺組成；他會認為物體非常遠（幾乎所有物體甚至都在“度量水平線”之外）和非常大（因為它們覆蓋了如此多的方格）。

參考文獻

[1] Hermann Helmholtz, “The origin and meaning of geometrical axioms,” Mind, Volume 1 Number 3 (1876), pages 301–321.

[2] William T. Shaw, Complex Analysis with Mathematica, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

[3] Eric W. Weisstein, Gnomonic projection—From MathWorld; available at: http://mathworld.wolfram.com/GnomonicProjection.html, ac

cessed on June 26, 2013.

[4] Viktor Bl?sj?, Hyperbolic Space for Tourists

青山不改，綠水長流，在下告退。

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