【解題研究】于細(xì)微處現(xiàn)素養(yǎng)——八年級填空壓軸題

【解題研究】于細(xì)微處現(xiàn)素養(yǎng)——八年級填空壓軸題

八年級數(shù)學(xué)命題要求在難度控制的前提下，體現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)，通俗點講，就是不能太難，還要有新意。基于以上要求，在填空壓軸題中，科學(xué)設(shè)置情境問題是關(guān)鍵，以現(xiàn)有知識框架，包容核心素養(yǎng)要求。

題目

現(xiàn)在關(guān)于x的三個多項式，從左往后依次為：3x-2，2x+2，x+6；

①存在自然數(shù)x使得三個多項式的值恰為一組勾股數(shù)；

②記G(x)=a(3x-2)+b(2x+2)+c(x+6)(a、b、c均為正整數(shù))，當(dāng)x≥1時，G(x)的最小值為25，則滿足條件的a、b、c的取值共有6組；

③對任意相鄰的兩個多項式用左邊的減去右邊的并把所得的結(jié)果放在兩者之間稱之為“順差放置”。現(xiàn)對這三個多項式進(jìn)行第一次“順差放置”后得到的多項式為：3x-2，x-4，2x+2，x-4，x+6，再對第一次“順差放置”后的所有多項式進(jìn)行第二次“順差放置”……，按此規(guī)律進(jìn)行下去，第2026次“順差放置”后得到的多項式的和是4058x-16202.

以上說法正確的是____________.(填序號)

解析：

01

①判斷是否勾股數(shù)的方法并不難，讓其中一個多項式的平方等于另兩個多項式的平方和，從而列出一個方程，該方程有正整數(shù)根則存在勾股數(shù)；

學(xué)生遇到的第一處困擾在于，這三個多項式哪個最大？若一個個試，難免浪費時間，由于這三個多項式的值均與x取值有關(guān)，所以最合適的視角是一次函數(shù)；它們的k值分別是3，2，1，均屬于“上升”直線，且增幅依次減少，有可能3x-2的值最大，若學(xué)生對圖像比較熟悉，如下圖：

不妨假設(shè)3x-2為斜邊，減少試錯次數(shù)，列方程如下：

(3x-2)2=(2x+2)2+(x+6)2，整理得(x+1)(x-9)=0，當(dāng)x=9時，這三個多項式的值分別是25，20，15，恰好是一組勾股數(shù)，所以存在性滿足，①正確；

02

②首先整理G(x)=(3a+2b+c)x-2a+2b+6c，再重點解讀“當(dāng)x≥1時，G(x)的最小值為25”，此時我們應(yīng)該將G(x)看作一個一次函數(shù)，而在x≥1，即平面直角坐標(biāo)系中，x=1的右側(cè)區(qū)域中的函數(shù)圖象，都在x=1時點的上方，說明它的斜率k必須是正數(shù)，即3a+2b+c>0，此時我們將x=1代入，得:

G(x)=a+4b+7c=25

接下來是枚舉，這其實也有技巧，系數(shù)最大的項是7c，所以c的取值可能為1，2，3，而當(dāng)c=3時，a+4b=4，這不符合a和b均為正整數(shù)的要求，故c只可能是1或2，下面分情況討論：

當(dāng)c=1時，a+4b=18，取b=1得a=14；取b=2得a=10；取b=3得a=6；取b=4得a=2，總共4組滿足條件的取值：

a=2，b=4，c=1；

a=6，b=3，c=1；

a=10，b=2，c=1；

a=14，b=1，c=1；

當(dāng)c=2時，a+4b=11，取b=1得a=7；取b=2得a=3，總共2組滿足條件的取值：

a=7，b=1，c=2；

a=3，b=2，c=2；

綜上，總共有6組滿足條件的取值，②正確；

03

③不妨按定義來進(jìn)行“順差放置”：

初始：3x-2，2x+2，x+6，和為6x+6

第1次：3x-2，x-4，2x+2，x-4，x+6，和為8x-2；

第2次：3x-2，2x+2，x-4，-x-6，2x+2，x+6，x-4，-10，x+6，和為10x-10；

通過比較發(fā)現(xiàn)，每次“順差放置”后，和都增加了2x-8，依次類推，第2026次“順差放置”后，和應(yīng)該增加了2025個2x-8，得到：

8x-2+2025(2x-8)=4058x-16202，故③正確.

解題思考

這道題涉及到了八年級數(shù)學(xué)中的勾股數(shù)、整式運算、一次函數(shù)等知識點，考察學(xué)生的運算能力、推理能力、模型觀念等素養(yǎng)內(nèi)涵，具體體現(xiàn)在解題過程中，素養(yǎng)高的學(xué)生，多數(shù)會采用高效快捷的解題思路，例如①中的勾股數(shù)判斷，就有學(xué)生看到多項式中含減號，下意識認(rèn)為它是最小的取值，從而浪費了一次機會，而對一次函數(shù)圖象非常熟悉的學(xué)生，會發(fā)現(xiàn)當(dāng)x>4時，增幅最大的那個才可能是斜邊；

而在結(jié)論②的判斷中，把G(x)看作一次函數(shù)之后，理解函數(shù)增減性了，才明白最小值為25是什么意思，如下圖：

只有k>0時，才會出現(xiàn)區(qū)域中的最小值；

對于結(jié)論③，其實也可以用整體思想，三個多項式分別設(shè)為A、B、C，和為A+B+C；第一次“順差放置”后，A，A-B，B，B-C，C，其和為2A+B，相對增加了A-C；第二次“順差放置”后，A，B，A-B，A-2B，B，C，B-C，B-2C，C，其和為3A+B-C，相對增加了A-C；

發(fā)現(xiàn)每次“順差放置”后，和都會增加A-C，即2x-8，這樣下去的規(guī)律就找到了，再去判斷就容易得多；

通常情況下的填空壓軸題，都會存在一些減輕計算量的技巧，這些所謂的技巧并不是需要記憶的內(nèi)容，它們無一例外來自于對數(shù)學(xué)的深入理解，想到這一處了，就簡單了，想不到，會浪費很多時間甚至想不出來.