有一些問題并非教科書的任務(wù)，但卻是理解學(xué)問的重要維度

許多看似自然的定義，實際上凝結(jié)著19世紀以來數(shù)學(xué)不斷抽象與統(tǒng)一的歷史過程。探究這些概念形成的歷史，往往并不是現(xiàn)代教材的主要任務(wù)，卻構(gòu)成了理解這門課程的重要維度。《簡明高等代數(shù)》（廈門大學(xué)出版社，2025.2）一書努力把歷史發(fā)生的順序、現(xiàn)代學(xué)科的邏輯結(jié)構(gòu)以及學(xué)生的認知規(guī)律統(tǒng)一起來，讓抽象概念重新獲得問題背景。對于初學(xué)者、教育工作者以及熱愛數(shù)學(xué)史的讀者而言，這是一本值得細細品讀的好教材。

撰文 | 王濤（中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所青年研究員）

今年春天，受寧德師范學(xué)院林壽教授邀請與廈門大學(xué)林亞南教授推薦，我有幸到寧德師范學(xué)院與福州大學(xué)訪問交流。在寧德期間，我結(jié)識了該校數(shù)理學(xué)院的林秀清院長與蔣劍劍老師。一番交談才知曉，我與蔣老師還有過共同參加2012年全國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究生暑期學(xué)校的經(jīng)歷。臨別之際，蔣老師將他與林秀清教授合著的《簡明高等代數(shù)》一書相贈。據(jù)蔣老師告知，這部教材來源于他多年來的教學(xué)實踐，2025年由廈門大學(xué)出版社出版。展卷品讀，書中濃郁的數(shù)學(xué)史氣息令我感觸頗深，也讓我追憶起當(dāng)年初識高等代數(shù)的那段求學(xué)時光。

蔣劍劍、林秀清《簡明高等代數(shù)》

廈門大學(xué)出版社，2025年

20年前，我進入河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，學(xué)習(xí)的是北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等代數(shù)》（第三版）。多年后我重讀此書，才逐漸體會到它作為經(jīng)典教材的精妙之處：書中各個概念環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，最終構(gòu)建起高等代數(shù)完整而嚴謹?shù)倪壿嬻w系。可惜當(dāng)年的我只是機械學(xué)習(xí)定義與定理，能夠完成計算和證明，并未真正理解這些概念的本質(zhì)與背后的來龍去脈。如果誠實一點，甚至可以說是學(xué)得一塌糊涂。

與此同時，我發(fā)現(xiàn)書中鮮有中國數(shù)學(xué)家的名字，于是下意識地認為，這是一套來自西方的知識體系。為此我曾到圖書館翻閱各種著作，希望找到一些國人的名字。記得第一次見到《李群與李代數(shù)》時滿心歡喜，以為終于發(fā)現(xiàn)了一位中國數(shù)學(xué)家。查詢后才知道，這位李（S. Lie）其實是一位挪威人。如今回想起來，這段青澀的小誤會倒也別有趣味。

后來我進入數(shù)學(xué)史研究領(lǐng)域，除了邏輯上的“從何而來”，開始更加關(guān)注歷史上的“從何而來”。線性方程組與行列式、矩陣之間究竟有著怎樣的關(guān)系？線性變換的概念又是在怎樣的數(shù)學(xué)發(fā)展過程中逐步形成的？向量空間為何采用這幾條公理來刻畫，而不是其他形式？許多看似自然的定義，實際上凝結(jié)著19世紀以來數(shù)學(xué)不斷抽象與統(tǒng)一的歷史過程。探究這些概念形成的歷史，往往并不是于現(xiàn)代教材的主要任務(wù)，卻構(gòu)成了理解這門課程的重要維度。也正因為如此，當(dāng)我讀到《簡明高等代數(shù)》時，書中濃厚的歷史意識與問題意識讓我產(chǎn)生了強烈共鳴。

《簡明高等代數(shù)》以問題為驅(qū)動，以歷史為線索，以結(jié)構(gòu)為歸宿。全書開篇從線性方程組出發(fā)，并以此貫穿前幾章內(nèi)容。這種安排并非簡單的章節(jié)調(diào)整，而是在一定程度上呼應(yīng)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程：許多后來被抽象化、結(jié)構(gòu)化的概念，最初都源于對方程求解問題的持續(xù)探索。編者將《九章算術(shù)》中的“方程術(shù)”納入核心教學(xué)內(nèi)容，這是中國古代數(shù)學(xué)家求解線性方程組的一套算法體系。公元263年，劉徽在為《九章算術(shù)》作注時，對其進行了細致闡釋。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的角度回看，這套算法理論與高斯—若爾當(dāng)消元法之間存在著耐人尋味的聯(lián)系。

更重要的是，編者并未將這些歷史材料僅作為課外閱讀或文化點綴，而是將其融入知識講解的過程之中，使讀者能夠在古今兩種數(shù)學(xué)表達方式之間建立聯(lián)系。本書將方程術(shù)作為貫穿古今的一條主線，其作用遠不止求解線性方程組。例如求逆矩陣時，用初等行變換將(A/I)化為(I/A-1)；計算行列式時，可以用初等變換化為上三角再求積；判斷向量組的極大線性無關(guān)組時，將列向量排成矩陣，用初等行變換化為階梯型后直接讀出結(jié)果。這樣一來，讀者看到的不再是彼此割裂的知識點，而是一種不斷重復(fù)出現(xiàn)、不斷深化發(fā)展的思想方法。

《九章算術(shù)》中的方程術(shù)（微波榭本）

從全書的章節(jié)架構(gòu)來看，編者的巧思貫穿始終。教材前半部分以線性方程組為主線，圍繞矩陣與行列式展開討論；隨后自然過渡到列向量空間模型，引出線性相關(guān)、基與維數(shù)等核心概念；繼而討論雙線性型與一元多項式，最終進入抽象向量空間、線性映射以及歐氏空間算子理論。整個體系由具體到抽象、由計算到結(jié)構(gòu)，層層遞進，既照顧了初學(xué)者的認知規(guī)律，也保持了現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的邏輯統(tǒng)一性。

這種編排最可貴之處，在于它努力揭示不同知識板塊之間的內(nèi)在聯(lián)系。對于今天的學(xué)生而言，高等代數(shù)似乎本來就是一門獨立而完整的課程，線性方程組、矩陣、行列式、二次型、線性空間、線性變換等內(nèi)容仿佛天然屬于同一門學(xué)科。然而從歷史上來看，高等代數(shù)并非天然形成的知識體系。19世紀中葉以來，數(shù)學(xué)家逐漸認識到，原本分散于線性方程組、解析幾何、數(shù)論、不變量論以及部分物理學(xué)中的許多對象，都具有共同的線性結(jié)構(gòu)。正是在不斷抽象、統(tǒng)一和重組的過程中，這些知識最終匯聚為今天所謂的高等代數(shù)。理解這一歷史過程，也正是理解高等代數(shù)為何如此組織、為何以線性空間作為核心的關(guān)鍵所在。

如果說本書借助方程術(shù)展示了如何從歷史進入高等代數(shù)，那么線性空間部分則體現(xiàn)了編者如何處理高等代數(shù)最核心、也最抽象的內(nèi)容。

線性空間又稱向量空間，這一名稱本身便記錄著數(shù)學(xué)抽象化的發(fā)展歷程。19世紀中葉以來，數(shù)學(xué)家圍繞四元數(shù)、超復(fù)數(shù)系統(tǒng)、矩陣以及函數(shù)等不同數(shù)學(xué)對象展開研究，物理學(xué)的發(fā)展則推動了幾何向量理論走向成熟。隨著研究不斷深入，人們逐漸認識到，這些對象雖然來源不同，卻具有十分相似的線性運算規(guī)律。于是，重要的不再是對象本身，而是它們所滿足的共同結(jié)構(gòu)。線性空間理論正是在這種不斷抽象與統(tǒng)一的過程中逐漸形成的。

格拉斯曼《線性擴張理論》（1844年）

本書沒有一開始就給出線性空間的抽象定義，而是先讓讀者充分接觸列向量空間、矩陣空間、多項式空間等具體實例，讓學(xué)生在實際問題中體會線性關(guān)系、生成、維數(shù)等概念的意義。在積累足夠的感性認識之后，再將這些共同規(guī)律提煉為向量空間公理。對于初學(xué)者而言，這種由具體到抽象的路徑顯然比直接給出公理體系更容易理解。

教材在推理過程中并不回避幾何直覺。例如一組向量線性相關(guān)，意味著張成子空間時發(fā)生“維度塌縮”；線性無關(guān)，則意味著張成空間的維數(shù)等于向量個數(shù)。在這一過程中，“張成子空間”成為統(tǒng)領(lǐng)性的核心概念，貫穿于極大線性無關(guān)組、秩、基與維數(shù)等內(nèi)容的討論。例如教材在說明“若整個向量組線性無關(guān)，則任何部分組也線性無關(guān)”時寫道：“整體無塌縮，則任何部分無塌縮；若某部分塌縮，整體當(dāng)然存在塌縮?！绷攘葦?shù)語，化繁為簡，頗能體現(xiàn)書名中“簡明”二字的追求。

作為一名數(shù)學(xué)史工作者，我尤其看重這部教材的知識史價值。長期以來，不少學(xué)習(xí)者容易形成一種印象：中國古代數(shù)學(xué)只是一些零散的計算技巧，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)沒有關(guān)系。事實上，高等代數(shù)的理論形態(tài)確實主要形成于近代以來的數(shù)學(xué)發(fā)展之中，但其所處理的許多基本問題卻擁有更為漫長的歷史?！逗喢鞲叩却鷶?shù)》并非將中國古代數(shù)學(xué)神話為高等代數(shù)的直接起源，而是在歷史事實允許的范圍內(nèi)，建立起一種審慎而富有啟發(fā)性的聯(lián)系。通過這樣的寫法，讀者既能夠理解高等代數(shù)的形成過程，也能夠看到不同文明在數(shù)學(xué)發(fā)展中的獨特貢獻。

重讀這部《簡明高等代數(shù)》，仿佛走完了一段跨越兩千年的數(shù)學(xué)旅程：從中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的方程術(shù)，到19世紀的矩陣理論，再到20世紀初線性變換與線性空間的抽象體系，不同時代、不同地域的數(shù)學(xué)家圍繞“線性結(jié)構(gòu)”這一主題不斷探索、不斷深化。嚴格說來，高等代數(shù)的形成歷史遠比教材所呈現(xiàn)的脈絡(luò)復(fù)雜得多；然而對于初學(xué)者而言，重要的并非知道所有歷史細節(jié)，而是理解這些概念為何產(chǎn)生、這些理論為何必要?！逗喢鞲叩却鷶?shù)》所提供的，正是這樣一條具有啟發(fā)意義的知識生成路徑。

一本好的數(shù)學(xué)教材，不僅傳授知識，更幫助人理解知識。閱讀過程中，我越來越意識到，這部教材真正關(guān)心的并不僅僅是“講什么”，而是“按照什么順序講”。它努力把歷史發(fā)生的順序、現(xiàn)代學(xué)科的邏輯結(jié)構(gòu)以及學(xué)生的認知規(guī)律統(tǒng)一起來，讓抽象概念重新獲得問題背景，也讓數(shù)學(xué)重新回到人類探索世界的漫長歷程之中。對于高等代數(shù)初學(xué)者、數(shù)學(xué)教育工作者以及熱愛數(shù)學(xué)史的讀者而言，這都是一本值得細細品讀的教材。

特 別 提 示

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