湖北
【解題研究】函數觀念下的動點——2026年河北省中考數學第24題
初中階段的函數概念通常可理解為兩個變量之間的關系，這里的關系可以是數量關系及變化規律，在幾何動點問題中，由于點的運動包含數量關系和位置關系，它們之間也存在變化規律，所以理論上用函數觀念去理解動點間的關系是可行的，只要通過觀察發現動點問題中的變量（數學眼光），并用合適的數學語言去描述，這類問題就有了解決方法。
題目
如圖15-1和圖15-2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，正方形DEFG的頂點D，E，F分別在△ABC的三邊AB，BC，CA上。當點D從點B出發沿BA向點A移動時，點E，F隨之分別在BC，CA上移動（正方形DEFG的大小發生變化），當點F與點C重合時，移動停止。
(1)tan∠ABC=___________；
(2)如圖15-1，當∠BED=45°時，求證：BE=CE；
(3)①如圖15-2，當BD=20/7時，求BE的長；
②當BE=40/7時，直接寫出正方形DEFG的邊長。
(4)在移動過程中，每當點G移動1個單位長度時，點E均移動d個單位長度，直接寫出d的值。
解析：
0 1
(1)送分題，作△ABC底邊上的中線，將其分割成兩個直角三角形，每個直角三角形邊長都是6，8，10，則tan∠ABC=4/3；
0 2
(2)由∠BED=45°，∠DEF=90°可得∠CEF=45°，再加上∠B=∠C，DE=FE，可證△BED≌△CEF，如下圖：
所以BE=CE；
0 3
(3)①由正方形想到分別過點D，F向BC邊作垂線，垂足分別是點M和點N，如下圖：
對于Rt△BDM，它的三邊之比為3:4:5，所以可分別示出DM=16/7，BM=12/7，同樣的Rt△CFN三邊之比也為3:4:5，所以設FN=4a，則CN=3a；
很容易證明其中的△DEM≌△EFN，所以ME=4a，EN=16/7，根據BC=12列方程12/7+4a+16/7+3a=12，解得a=8/7，則BE=12/7+4a=44/7；
②借助前面的方法，設BD=5b，DM=4b，BM=3b，如下圖：
仍然由BC=12得7a+7b=12，再由BE=40/7，得4a+3b=40/7，解這個二元一次方程組得a=4/7，b=8/7，回到Rt△DEM中，利用勾股定理求出DE=16√5/7；
0 4
(4)由于點G和點E均為動點，研究它們之間的運動路程的數量關系，需要確定共同的起點，借助第2小題的特殊位置，不妨取BC中點H，連接AH，當點D從點B朝點A運動時，點E從AH右側向中間靠攏，點G從AH左側向中間靠攏，我們關注這兩個動點到AH的距離，并嘗試用參數a，b來表示：
從上圖可知IG=7b，IJ=6，則GJ=6-7b，而BE=4a+3b，前面曾求過7a+7b=12，則a=12/7-b，所以BE=48/7-b，可求出EH=48/7-b-6=6/7-b，我們發現GJ:EH=7:1，于是將GJ和EH看作兩個變量，它們始終滿足GJ=7EH的關系，所以d=1/7.
解題思考
由對稱性可知，當點E在AH左側時，點G在AH右側，它們到AH的距離依然滿足這個函數關系，當然我們也可以選擇當點D與點B重合時作為起點(b=0)，但當點D朝點A運動過程中，點E在作“往復”運動，于是又要分不同運動方向再求解，比較復雜，所以本題選擇“中間線”作為參照，以點E和點G到AH的距離作為變量，除特殊情況(第2小題)外，點E和點G始終位于AH兩側，發現這一特征，會極大減輕計算量。
作為教師解題用幾何畫板或GeoGebra作圖是一項基本功，但這道題的圖要作出來并不容易，點D是動點，而整個正方形形狀確定，三個頂點要求在三邊上，這并不好畫，所以當我們在AB上畫出點D之后，點E在什么位置，是需要先算一下，而在計算的過程中，我們發現第3小題的解法就是作圖依據，有興趣的老師或同學們可以試一試。
特別聲明：以上內容(如有圖片或視頻亦包括在內)為自媒體平臺“網易號”用戶上傳并發布，本平臺僅提供信息存儲服務。
Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.
