如何學會更清晰地思考？

作者：姚斌

來源：在蒼茫中傳燈（ID：chuandeng169）

法國國家科學研究中心研究員戴維·貝西之所以創作《數學覺醒》一書，是因為他期待讀者改變看待世界的方式，從而更好地學會清晰地思考。許多人認為，數學只屬于天賦異稟的精英，不是誰都可以參與的。然而，貝西反復強調事實并非如此。這與許多偉大的數學家看法一致。對于投身數學的人而言，數學不僅是一種內心體驗，而且還是一種感性和精神的追求。

直覺

數學的靈魂所在

許多人對阿爾伯特·愛因斯坦曾說的“我沒有什么天賦，只有強烈的好奇心”不以為然，但《數學覺醒》的核心觀點就是要認真對待愛因斯坦這句話。愛因斯坦經常談到直覺在他的發現中多么重要。他鄭重其事地說：“我相信直覺與靈感。”數學家很清楚，有兩種不同的數學：官方數學與秘密數學。官方數學的邏輯和結構十分嚴密，是一種基于晦澀符號的深奧語言；而秘密數學，也就是數學知覺，則存在于數學家的大腦中，它由心理表征和抽象感覺組成。

在數學家的頭腦里，想法是明亮、簡單、強大的。直覺是數學的靈魂所在，如果沒有直覺，數學就毫無意義。但我們不能因此認為，如果對數學一無所知，就沒有改變的可能了。我們對數學對象的直覺不是與生俱來的，也不是一成不變的。只要遵循正確的方法，我們就能建立這種直覺，讓它不斷發展壯大。數學家深知，真正的課題是理解書本中的數學，并能夠看到它、感受它。

我們可能不知道，在所有偉大的科學革命和最困難的數學理論的背后，都是直接在發揮作用，這些直覺總是與我們的直覺一樣簡單。愛因斯坦腦海里的一部“動畫片”使他提出了相對論，這部動畫片并不比讓我們看到一條直線與圓相交于三個點的圖更復雜。當愛因斯坦說他相信直覺時，他指的并不是一種與我們截然不同的、與生俱來的特殊直覺。如果他真的這么想的，他就不會說自己“沒有特別天賦”。愛因斯坦討論的是普通的直覺，即人人都有的直覺。人們通常認為它不夠成熟，學校也教我們不要相信它。愛因斯坦說的直覺是我們想象事物的能力。如果我們學會利用簡單而單純的想象力，有可能也讓我們成為非常擅長數學的人。

偉大的想法總是直觀而簡單的，甚至簡單的不可思議。我們也只能理解顯而易見的東西。如果某些東西并不顯而易見，那是因為它們還沒有被真正理解。這是一條關于人類認知的普遍見解：我們的科學是由人類發明的，從更深層次來講，人類都是由相同的物質組成的。一些人本來只是試圖理解一些東西，卻在這個過程中做出了偉大的發現。他們尋找正確的道路、正確的心理圖像和正確的觀察方式，直到事物變得顯而易見。

這種方法適用于所有智力創造領域，尤其是數學領域。數學知識并不基于實驗數據，無需積累百科全書式的知識。特別是，數學書里除了顯而易見的證明，貌似什么也沒有。矛盾之處在于，要使一件事顯而易見，必須首先構建心理表征。一旦構建好，就可以輕松地看到這些心理圖像。沒有人天生就擁有現成的圖像，也沒有人立即就能構建這些圖像。構建這些圖像花費的時間比我們想象的要更長。對每個人來說，它都由遲疑、試錯、迷路和重啟組成。這個過程將持續我們一生。無論我們是否研究數學，我們對世界的看法和心理圖像都在不斷演變。

數學家的傳說就是從這里開始的。這不是成為超人的神奇秘訣，而是幫助我們構建更好的心理圖像的簡單原則。這里的關鍵在于，我們能否重新構建自己的世界觀的方式。也許我們自認為數學很差，但其實我們已經理解的數學概念在99%的人類歷史中是只有天才才能理解的。我們已經構建出清晰、有力的心理圖像，并每天都在使用它們。納西姆·塔勒布最認可的三位大師之一格爾德·吉仁澤早已將直覺發展成為科學。吉仁澤指出，在不確定性的世界里，我們需要借助睿智的經驗法則和直覺，才能做出明智的決策。

明證性

唯一可靠的真理標準

數學是人類精確描述那種無法具體展示的事物的唯一有效的工具。在數學書中，最重要的部分既不是定理也不是證明，而是定義。當勒內·笛卡爾提出從零開始重建科學和哲學的構想時，他的思路很容易理解。他發現，哪怕是最偉大的學者，在最基本的問題上也無法達成一致。很多時候，他們的所謂知識只不過是“建立在泥沙之上”。相反，數學則建立在堅實的巖石之上。這正是數學吸引笛卡爾的地方。

在笛卡爾之前，沒有人想到可以用方程來描述幾何圖形。在1637年作為《談談方法》的附錄出版的《幾何學》中，他在曾被認為完全獨立的兩個數學分支——代數和幾何之間架起了一座橋梁。如今，即便是小學生都對現代笛卡爾坐標系了如指掌：根據橫坐標和縱坐標在平面上確定一個點。這一概念起源于笛卡爾的發現。我們真的很難想象，在笛卡爾之前沒有人看到笛卡爾坐標，就像沒有人能看到圓形和正方形一樣荒唐。

《談談方法》從開篇開始，信息就極為明確：笛卡爾自稱并沒有什么特殊天賦。笛卡爾認為，他之所以能以一種與眾不同的方式看待事物，是因為他偶然地發現一種特別的方法：“憑著這種方法，我覺得有辦法使我的知識逐步增長，一步一步提高到我的平庸才智和短暫生命所能允許達到的最高水平。”

笛卡爾偉大的創新之處在于，他將直覺和主觀性置于認知過程的核心。他不信任已有的知識和書本中所寫的內容。他對權威人士的話語保持懷疑態度。他更喜歡自己從頭開始，在腦海中重新構建一切。笛卡爾對此毫不隱瞞，他的方法正是數學家的方法。對于笛卡爾來說，真理是一個生死攸關的問題。他完美地體現了數學心理學獨特而強大的一面：他與真理水乳交融。他總是如饑似渴的要求學會分清真假，以便在行動中心明眼亮，一輩子滿懷信心地前進。他看不起那些表面的真理。他感興趣的是那些真實的真理，即那些不會在一夜之間改變的真理，那些讓自己更強大、更自信，并幫助我們在生活中做出正確選擇的真理。

對于笛卡爾來說，唯一可靠的真理標準就是“明證性”，即通過有意識且系統化的澄清、表述和解釋所構建的明證性，旨在使事物變得完全清晰，直至一目了然。對于笛卡爾而言，數學理解的體驗是唯一能真正讓我們理解“理解”是什么的途徑。數學是一種心靈的覺醒，它教我們認識正確的身體感覺，引導我們走上知識之路。如果沒有親身經歷過這種清晰、透徹的真理形式，我們就不可能理解“清晰”和“分明”這兩個詞的詞義，也不可能理解笛卡爾想要告訴我們什么。

笛卡爾要求我們不僅要對別人的說法進行懷疑，更要對自己的確信感進行懷疑。這是他的方法的核心，也是其中最難模仿的地方。數學為我們提供了一些可以深信不疑的真理的例子。它們不僅僅是像2+2=4這樣的表面真理，還包括一些非常有趣且乍一看并不明顯的深刻整理。然而，只有通過無情的懷疑，澄清并明確每一個細節，直到一切都變得清澈透明，最終才能產生確鑿無疑的明證。懷疑是一種澄清思維的技巧，用于創造而非摧毀。

笛卡爾拒絕那種“為懷疑而懷疑，永遠擺出猶疑不決架勢”的懷疑論。如我們所見，他的目標恰恰相反：他想“一輩子滿懷信心地前進”。他對待懷疑的方法與他對直覺的偏好緊密相連：他將直覺定義為“純凈而專注的心靈構想，這種構想容易而獨特，使我們不至于對自己所領悟的事物產生任何懷疑”。因此，懷疑對應于直覺的盲區。要真正懷疑一件事，光說懷疑還不夠，還必須真心實意地認為這件事可能不是真的。為此，我們必須在頭腦中構建出一幅圖像，表明存在可疑之處。他要求邀請我們全身心投入認知發展，“應該充分利用悟性、想象、感覺和記憶所提供的一切助力（……）用于清楚地直觀單純命題。”

專注

“字里行間的想法”

威廉·瑟斯頓（1946-2012）是現代最有魅力的數學價值。他在幾何學領域的研究工作極具深度和獨創性，他稱得上20世紀最偉大的幾何學家之一，但他的故事遠不止于此，他那獨特的思想、開放的精神，以及無奇的好奇心，我們很難用寥寥幾句來概括。

1994年，瑟斯頓在《美國數學學會通報》上發表了一篇長達20頁的文章，題目為《論數學的證明與進展》。他從自己的內心活動出發，描述了自己作為數學家的動機，以及他在工作中的心理過程。瑟斯頓特別提到，在閱讀自己熟悉的領域中的研究論文時，他其實沒有真正的閱讀。他更喜歡專注于“字里行間的想法”。一旦有了清晰的想法，形式和技術細節就突然顯得無用且多余了：“我經常覺得，與弄清楚作者到底寫了什么相比，自己寫出來要容易得多。”這就像一臺新的烤面包機。如果你已經知道烤面包機是什么，那么說明書就沒什么用了。

在數學世界中，“烤面包機”是一些零部件，我們必須在腦海中把它們組裝起來。差老師照本宣科，讓學生背誦組裝烤面包機的198個步驟，以為這樣就大功告成了，而好老師會竭盡全力解釋烤面包機是什么。差老師之所以沒有把人類的理解至于數學的中心位置，是因為他們自己也沒有得到正確的教導。也許他們無法在自己的腦海里看到一臺烤面包機的形象。或者，情況恰恰相反，你能在腦海中清晰地看到烤面包機，但有時會忘記了不是每個人都能以同樣的方式看到它。正如瑟斯頓所說的，一些人所擁有的清晰的心理圖像，對另一些人來說卻非常可怕。

對于瑟斯頓和大多數數學家來說，數學位于語言的上游，是一種感官與身體的體驗。瑟斯頓指出，當一個重要的新定理剛剛被證明時，該領域的兩名專家通常可以在私下交談中用“幾分鐘”解釋清楚。但在一群專家面前演講時，解釋相同的結果至少需要“一小時”。如果以書面形式發表這一成果，則需要一篇長達“15到20頁”的論文。即使同樣是專家，也需要“幾小時甚至幾天”才能理解。

數學并不是什么可以通過觸摸傳遞的魔法，但某種程度上有點兒像。我們想理解一個數學概念，最快的方法是與真正理解他的人進行開放討論。理解某事的“寓意”，意味著能夠憑直覺向自己解釋這件事，并說得出它為什么正確：這就是故事的寓意所在。如果數學只是邏輯問題，那這樣的事情就不存在了。邏輯推理推不出任何“寓意”。所謂寓意解釋往往含糊其詞，模棱兩可。

數學是一個過程，需要以足夠的毅力和決心凝視那片混亂和困惑的迷霧，最終突破迷霧，到達更加清晰的境界。我們可以在腦海中將數學對象想象成“手中的小物件”，或者“與人體相當的結構”，甚至是“我們被包圍其中，可以在其中移動的結構”。從邏輯上講，這些結構理應沒有區別。但瑟斯頓聲稱大小至關重要：“一般來講，使用的圖像更大，我們的思考就更高效。”

數學的產物是清晰和理解，而不是定理本身。這個世界上的清晰和理解并不多。從數學中獲得的真正滿足是向他人學習并與他人分享。瑟斯頓將數學定義為一種人類合作項目，旨在理解和分享，而不是追求永恒真理。如果沒有人類的理解，定理就沒有任何價值。誰先證明的那個結果并不重要，重要的是我們賦予這些結果的意義。真正的數學是鮮活的，它存在于我們每個人心中。瑟斯頓的定義看似無關痛癢，卻從根本上質疑了數學兩千多年來的呈現形式。

技巧的核心

尋找純粹的好奇心

亞歷山大·格羅滕迪克不僅僅是一位偉大的數學家。他于2014年去世，但在他去世的很早之前，他就已經成了傳奇。格羅藤迪克是歷史上極為罕見的數學家之一，他的貢獻不僅在于深刻的結果或壯觀的理論，他發明了一種理解數學的方法，這種方法新穎而豐富，似乎改變了數學的本質。正因為如此，他通常被視為20世紀最偉大的數學家。

格羅滕迪克用了15年時間探索代數幾何，寫作是他的方法的核心。他甚至說“研究數學最重要的就是寫作”。然而，格羅滕迪克并不覺得自己比別人更有天賦，他的非凡創造力并非來源于此。他給出了一種完全不同的解釋：“研究人員的創造力和想象力的質量，取決于他傾聽事物之聲時注意力的質量。”這就如同愛因斯坦所說的那句話“我沒有特別的天賦，只有強烈的好奇心”。

格羅滕迪克承認，如果無法在腦海中構建出正確的圖像，他就完全無法閱讀任何數學的書，哪怕是最簡單的書。他的非凡著作《收獲與播種》手稿長期以來一直沒有出版，秘密地流傳了35年之久，直到2021年才在法國正式出版。這部非凡的著作就像長篇獨白，龐雜、冗長、艱澀，時而精彩絕倫，時而含混不清，其中穿插著大量隱喻和寓言，頁腳散布著各種注釋和參考，就連這些注釋和參考也有自己的注釋和參考。然而，人們一致認為，《收獲與播種》是有史以來關于數學體驗最倫無與倫比的見證。

在《收獲與播種》開頭，格羅滕迪克就對讀者說道：“我想與你心中那個懂得獨處的孩子對話，而不是其他人。”他的非凡創造力源自他與“內心”的孩子保持親近：“在我內心，出于一些我還沒探究過的原因，某種天真得以存留下來。”他將此描述為“孤獨的天賦”，即一種讓自己“獨自傾聽萬物，并全神貫注與孩童游戲”的能力。

格羅滕迪克發明了自己獨特的冥想技巧。這種技巧的核心在于尋找純粹的好奇心，不在乎他人對自己的評判，我們可以稱之為“孩童的姿態”。所有數學家都會發展出類似的技巧，但他們很少意識到這一點，也很少能把它解釋清楚。而格羅滕迪克為我們提供了一份使用“說明書”。

格羅滕迪克建議，我們應該像兩歲的孩子一樣。當他想理解某件事時，就會像孩子一樣毫不猶豫地勇往直前，不會等到理解之后才開始行動。問題通常以陳述的形式出現——實際上是一種試探性的陳述。但格羅滕迪克對他的陳述半信半疑。特別是在研究初期，陳述常常是徹頭徹尾的錯誤，但還是要先提出來，才能確信它是錯誤的。無論是探索數學還是探索自我，在任何一項發展工作中，發現錯誤都是一個至關重要的時刻，更是一個充滿創造性的時刻。在這個時刻，我們對探究的事情突然有了新的認識。“害怕犯錯和害怕真理是一回事。害怕犯錯的人無法發現任何新東西。當我們害怕犯錯時，我們心中的錯誤就會像巨石一樣難以撼動。”

格羅滕迪克談到了“我們心中的錯誤”與邏輯無關。這種錯誤不是計算錯誤，也不是推理錯誤。他所說的錯誤是直覺錯誤，是視覺錯誤：我們對事物構建的圖像并不正確。只有逐漸改變表征事物的方式，使其更清晰、更準確、更接近現實，我們才能實現對數學的理解。我們驚人的學習和發明能力源于不斷更新圖像和感覺關聯網絡的無意識行為。從字面和比喻的意義上講，這一網絡構成了我們思想的真實結構。我們所有重大學習成果都與這種心理可塑性有關。

結 語

幾個世紀以來，數學在科技發展中一直扮演著舉足輕重的角色。數學對于科技極為有用。它所發生的作用令人驚異，而且每天還在繼續發揮更大的作用。將數學視為一種重塑思維、拓展人類感知的技巧，這種觀點是相當新穎的。學習數學是一種純粹的想象活動。我們通過思想的力量讓數學進入頭腦，某個神秘元素的凝聚力使數學緊密結合在一起，在某種程度上，這種神秘元素就是數學真理。

貝西說他很幸運地借鑒笛卡爾、瑟斯頓和格羅滕迪克的敘述。他們的故事彼此之間非常相似，就好像從三個不同的角度講述同一個故事。這些故事與他的親身經歷非常契合，讓他得以將自己的個人經歷融入更古老、更強大、文獻記錄更豐富的傳統之中。他認為，富有創造力的數學家并非生物學上與眾不同，他們只是找到了解鎖人類大腦隱藏的強大模式的方法卻不自知。

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