重點難點：函數(shù)的四則運算與復(fù)合運算的連續(xù)性分析

一、預(yù)備說明

設(shè)題目中的函數(shù)均在所討論的點處有定義，討論商函數(shù) 在點 處的連續(xù)性時，僅有 ， 并不能保證商函數(shù)在 附近有定義。因為當 在 處不連續(xù)時，即使 ， 仍然可能在任意靠近 的位置取零。 因此，以下關(guān)于商函數(shù)的討論均額外假設(shè)：存在 ，使得 ，

基本結(jié)論

(1)若 均在點 處連續(xù), 則 ; ; 在點 處也連續(xù).

(2)若 在點 處連續(xù), 在 處連續(xù), 則 在點 處也連續(xù).

問題（1）： 連續(xù)、 不連續(xù)

設(shè) 在 處連續(xù)， 在 處不連續(xù)。

1.

結(jié)論： 與 在 處 一 定 不 連 續(xù)

如果 在 處連續(xù)，那么 應(yīng)當是兩個連續(xù)函數(shù)之差，從而 在 處連續(xù)，這與題設(shè)矛盾。

同理，如果 連續(xù)，那么 也應(yīng)當連續(xù)，仍然產(chǎn)生矛盾。

因此， 與 都一定不連續(xù)。

2.

需要根據(jù) 是否等于零進行討論。

情形一：

結(jié)論： 在 處 一 定 不 連 續(xù)

如果 連續(xù)，由于 連續(xù)且 ，所以 在 附近不為零。于是 右側(cè)是連續(xù)函數(shù)之商，因此 應(yīng)當連續(xù)，與題設(shè)矛盾。

情形二：

結(jié)論： 的 連 續(xù) 性 不 能 確 定

它可能連續(xù)，也可能不連續(xù)。

可以連續(xù)的例子：令 ，取 ,

則 在 處連續(xù)， 在 處不連續(xù)，而 所以乘積在 處連續(xù)。

可以不連續(xù)的例子：取 , 則 所以乘積在 處不連續(xù)。

3.

假設(shè) ，并且商函數(shù)在 附近有定義。

情形一：

結(jié)論： 在 處 一 定 不 連 續(xù)

反設(shè) 在 處連續(xù)。因為 所以 在 附近不為零。于是 由于 都連續(xù)且 ，所以 應(yīng)當連續(xù)，與題設(shè)矛盾。

情形二：

結(jié)論： 的 連 續(xù) 性 不 能 確 定

可以連續(xù)的例子：取 , 則 不連續(xù)且處處不為零，但 所以商函數(shù)連續(xù)。

可以不連續(xù)的例子：取 , 則 連續(xù)、 不連續(xù)，并且 。此時 所以商函數(shù)在 處不連續(xù)。

問題（2）： 與 都不連續(xù)

設(shè) 在 處都不連續(xù)。

結(jié)論：僅根據(jù)這兩個條件，無法確定 、 或 的連續(xù)性。不連續(xù)性可能相互抵消，也可能不抵消。

以下均取 。

1.

定義 在 處不連續(xù)。

和函數(shù)可以連續(xù)：取 , 則 所以和函數(shù)連續(xù)。

和函數(shù)可以不連續(xù)：取 , 則 所以和函數(shù)不連續(xù)。

因此： 的 連 續(xù) 性 不 能 確 定

2.

差函數(shù)可以連續(xù)：取 , 則

差函數(shù)可以不連續(xù)：取 , 則 所以差函數(shù)不連續(xù)。

因此： 的 連 續(xù) 性 不 能 確 定

3.

定義

乘積可以連續(xù)：取 , 則 所以乘積連續(xù)。

乘積可以不連續(xù)：取 , 則 所以乘積不連續(xù)。

因此： 的 連 續(xù) 性 不 能 確 定

4.

假設(shè) ，且 在 的某個鄰域內(nèi)不取零。 定義

商函數(shù)可以連續(xù)：取 , 則 都不連續(xù)，但 所以商函數(shù)連續(xù)。

商函數(shù)可以不連續(xù)：取 , 則 都不連續(xù)， ，且 處處不為零。但是

所以商函數(shù)不連續(xù)。

因此： 的 連 續(xù) 性 不 能 確 定

問題（3）：內(nèi)函數(shù)連續(xù)，外函數(shù)不連續(xù)

已知 在 處連續(xù)，而 在 處不連續(xù)。

結(jié)論： 在 處 的 連 續(xù) 性 不 能 確 定

外函數(shù) 雖然在 處不連續(xù)，但 的局部值域可能沒有充分經(jīng)過 的不連續(xù)部分，甚至 可能是常函數(shù)。

取 ，定義 則 在 處不連續(xù)。

復(fù)合函數(shù)可以不連續(xù)

令 , 則 在 處連續(xù)，并且 在 處不連續(xù)。

復(fù)合函數(shù)可以連續(xù)

令 , 則 在 處連續(xù)，并且 所以復(fù)合函數(shù)連續(xù)。

問題（4）：內(nèi)函數(shù)不連續(xù)，外函數(shù)連續(xù)

已知 在 處不連續(xù)，而 在 處連續(xù)。

結(jié)論： 在 處 的 連 續(xù) 性 不 能 確 定

外函數(shù)可能保留內(nèi)函數(shù)的不連續(xù)性，也可能把內(nèi)函數(shù)的不同跳躍值映射成同一個值，從而消除不連續(xù)性。

取 ，定義 則 ，并且 在 處不連續(xù)。

復(fù)合函數(shù)可以不連續(xù)

取 , 在 處連續(xù)，但是 在 處不連續(xù)。

復(fù)合函數(shù)可以連續(xù)

取 , 則 所以復(fù)合函數(shù)連續(xù)。

問題（5）：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)都不連續(xù)

已知 在 處不連續(xù)， 在 處也不連續(xù)。

結(jié)論： 在 處 的 連 續(xù) 性 不 能 確 定

取 ，定義 則 ，且 在 處不連續(xù)。

復(fù)合函數(shù)可以連續(xù)

定義 或 在 處不連續(xù)。但是由于 只取 和 ，所以 因此復(fù)合函數(shù)連續(xù)。

復(fù)合函數(shù)可以不連續(xù)

定義 則 在 處不連續(xù)，并且 所以復(fù)合函數(shù)在 處不連續(xù)。

結(jié)論匯總 1. 四則運算

注:對于商函數(shù)，還必須保證 在 的某個鄰域內(nèi)不為零。

2. 復(fù)合函數(shù)

核心結(jié)論

復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理說明： 在 處 連 續(xù) 在 處 連 續(xù) 能夠推出 在 處 連 續(xù)

但這是充分條件，并不是一般意義下的必要條件。

當其中一個函數(shù)不連續(xù)，或者兩個函數(shù)都不連續(xù)時，不能簡單斷定復(fù)合函數(shù)一定不連續(xù)。此時需要分析：

1. 當 時， 實際取到或趨近哪些值；

2. 在這些值上的表現(xiàn)；

3. 是否把 的不同跳躍值映射為同一個值；

4. 復(fù)合后不連續(xù)性是否被抵消。

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