深度：哲學與數學，哪個更難？

哲學與數學，哪個更難

作者丨馬天俊

↑ 《心靈捕手》劇照

哲學和各門具體科學是互動的，某一科學的興盛和定型都對哲學產生影響，其成果、方法或輿論形象滲透到哲學之中，并引導哲學的思考方式和目標。但這并不總是毫無問題的。本文探討一個貫穿在哲學日歷中、對哲學深有影響的學科——數學，準確地說，探討數學對哲學典范作用的興盛與消解，這種典范作用常以真理問題為樞紐而展開。

通常，數學一向被認為是透徹性、可靠性與有效性的化身。這使數學在人類學術中占有特殊地位。數學自明的概念、抽象的推理、確定的結論，贏得了哲學最持久的仰慕。哲學真理要立得住，就必須達到數學真理的層次。這種自覺意識幾乎主宰了西方哲學的主流形態。

當然，哲學模仿數學，未必要把內容完全量化，因為哲學的題材明顯不能如此呆板地處理。哲學要取之于數學的，毋寧是其中自明性初始概念的確立和使人不得不信服的邏輯方法。

一種理想的方案是：宏大而復雜的哲學主題，加上不由人不信服的邏輯，構成一個論斷系統，對它來說，所斷言的都是真理，同時一切可能的真理也無不蘊含其中。

1

結合

↑ 畢達哥拉斯

古巴比倫、埃及、印度和中國都有豐富實用的數學經驗，但只是使用它們罷了，沒有要求“邏輯證明”。證明的要求是古希臘“幾何學”的特色。

最早使希臘數學獨具特色的人也是西方哲學的第一人。泰勒斯要求把只知其然的經驗提升為也知其所以然的知識。“正是泰勒斯曾極力主張，對幾何陳述，不能僅憑直覺上的合理就予以接受，相反，必須要經過嚴格的邏輯證明”[1]。

E·策勒爾更進一步指出：“數學研究以及由此喚醒的科學意識，對于他不依據神話去說明事物終極基礎所作的努力，無疑有很大影響。”[2]西方哲學的理性論證精神， 或是源自數學的，或是經由數學強化了信心。這種緣起上的孿生狀況意義重大，它為西方哲學的慣有風格預制了潛力強勁的基調。

在數學上請教過泰勒斯的畢達哥拉斯更醉心于數學。在他那里，甚至不能說數學影響哲學，而應當說數學就是哲學。數乃萬物之原，數統治著宇宙。“宇宙”（Cosmos）這個詞最早被畢達哥拉斯派使用時，就是指由數及其關系構織規劃而成的宏大秩序。畢達哥拉斯使在泰勒斯那里較隱晦的東西變明確了：數學是哲學的楷模。從此，希臘數學的品格就成為西方哲學孜孜以求的品格。“畢達哥拉斯主義……對于整個西方理性思維有過決定性的影響”[3]，這種影響經過柏拉圖而鞏固。在他看來，數學對象和哲學對象（理念）同屬于至真、至善、至美的可知世界，數學是升入理念世界的“梯子和跳板”[4]。柏拉圖的影響無與倫比， 但羅素卻洞穿了精髓：“我不知道還有什么別人對于思想界有過像他（指畢達哥拉斯。——引者）那么大的影響。我所以這樣說，是因為所謂柏拉圖主義的東西，倘若加以分析就可以發現在本質上不過是畢達哥拉斯主義罷了。”[5]

亞里士多德給出了貫通數學與哲學的思維機制，即邏輯。他把數學、神學和自然科學并置為最高理論學術，又將邏輯學與形而上學并置于神學之中。在他看來，邏輯學既是特殊學科，又是通用于各學科的思維規范。在他自己的哲學中，凡是需要證明和確定性的地方，他都大量舉證數學[6 ]。似乎可以指望經亞里士多德之手而近于成熟的抽象思維方法能使數學、自然科學和哲學都成熟起來。

但歷史表明，自然科學長期停滯不前，哲學一直風雨飄搖，惟有數學真正在歐幾里得《幾何原本》中成熟起來。《幾何原本》是希臘數學思想匯編，其卓越在于錘煉出嚴密的公理化演繹系統。該書從23個定義、10條公理出發，按邏輯規則勾織了一張不由分說的命題之網。為數很少的初始原則幾乎無一例外地具有自明性，但卻能演繹出極其豐富可靠的命題。此種以簡馭繁、一致而百慮的效能給哲學提供了一個可望且似乎可及的榜樣。《幾何原本》對西方心智的陶冶舉足輕重。人們一個世紀又一個世紀地編輯、研習這部書，據統計，僅自文藝復興以來，它就擁有2000多個版本。在西方文明的典籍中，只有《圣經》堪與媲美。

中世紀雖是基督信仰的一統天下，但希臘理性精神——其內核是數學精神——在為信仰做辯護中延續了命脈。中世紀神學前期以柏拉圖主義為支柱，后期則以亞里士多德主義為權威。圣奧古斯丁仍然把在畢達哥拉斯和柏拉圖哲學中優先的數學揉進神學。圣托馬斯仍然認為哲學不多不少就由數學、物理學、形而上學組成。當時教育中盛行的“七藝”里，音樂、算術、幾何、天文都以數學為根底。

這種延續性使中世紀末期的R·培根徑直把數學視為哲學的基礎。他的理由是：一、其他科學都以數學為模式；二、對數學的理解是天賦的；三、適合于我們的途徑是由易到難；四、數學既為自然所知又為我們所知；五、在數學中確能達到沒有錯誤的完全真理以及在各方面都無可置疑的確信。這些觀點具有承前啟后的巨大重要性[7]。

2

強化

↑伽利略

的確，自17世紀起，一切真理向數學看齊的潮流迅速蔓延。這尤其為伽利略和牛頓運用數學方法在自然科學上取得的巨大成功所加劇。既然亞里士多德早就把數學、自然科學和哲學同列為最高學術，既然數學徹底改造了自然科學，那么，這種樣板也自然應在哲學領域大顯身手。文化樣式之間通常是相互感染的。共存于文化中的諸樣式一如共存于社會中的諸個人，某人以某種方式取得了某種成功，其他人就自然地起而仿效；如果那成功是特別地輝煌與重要，便會出現眾人趨之若鶩的局面。

笛卡爾率先要求：“探求真理正道的人，對于任何事物，如果不能獲得相當于算術和幾何那樣的確信，就不要去考慮它。”[8] 又說：“數學的推理確切而且明白。……我覺得非常奇怪，它的基礎既然這樣穩固，這樣堅牢，人們竟然沒有在上面建造起更高大的建筑來。”[9] 笛卡爾所矚目的，是要建立一門以數學為基準、范圍更廣的“普遍馬特席斯”（Mathesis Universalis 即普遍數學或普遍科學）。

照此思路，斯賓諾莎把《倫理學》加工成了《幾何原本》的模樣。不過，這種幾何化哲學有兩個嚴重缺陷：

第一，它的初始條件（界說和公則）遠不像點、線、面那樣顯明，而不甚明晰的概念對于嚴格可靠的演繹來說是無窮的隱患。

第二，為使“證明”可理解，不得不另加龐大數量的“附釋”，這表明所謂證明根本就不夠嚴謹明確，非用日常語言來修修補補不可。實際上《倫理學》只能算《幾何原本》的贗品。萊布尼茨走得更遠，他認為自己思考出了構造理想語言的辦法，“我發現了一件驚人的事，那就是我們能用數字表達各種各樣的真理和推斷”[10]。“在數中隱藏了最深奧的秘密”[10]，據此設計的語言被他稱為“普遍語言”或“普遍文字”，它能表達一切思想，有明晰的含義和精確的規則，人們使用它進行思想就和做算術題一樣。萊布尼茨曾寫道：“我的形而上學可以說全都是數學，或者能變成那個樣子。”[11]在他們的巨大影響下，數學標準牢固地樹立為哲學合法性的當然標準。

在這方面，近代經驗論的立場與唯理論并無不同。霍布斯認為“幾何學是上帝眷顧而賜給人類的唯一科學”，“算術始終是一門確定不移、顛撲不破的藝學”，以此為準，思維在機制上就是名詞、觀念的加減，“推理就是一種計算”[12]。洛克在考慮如何推進人類知識時也不無欽羨地援引數學的啟示，他寫道：“我們如果用數學家所慣用的方法來考察它們（觀念問題。——引者），它們一定會使我們的思想十分進步，十分明白，十分顯然，而且明顯的程度會超出我們平常所想象的程度而外。”[13]縱然在經驗論走向懷疑論結局時，休謨還是對數學網開一面，他說：“只有數量科學，我想可以確乎斷言是知識和解證的適當對象。”[14]

哲學模仿數學的狀況在康德那里有所變化。他明確禁止哲學想當然地模仿數學。但恰恰是康德空前有力地把數學真理以先天綜合判斷的形式提升為“先驗真理”，并以此勘測形而上學作為科學是否可能。雖然他的結論不夠樂觀，但確保了理論理性范圍內知識的真理性，他在主體先驗能力的范圍內擬定了一套范疇演繹體系，想達到的依舊是數學般不可抗拒的嚴密性與可靠性。

因此，康德雖不像畢達哥拉斯和萊布尼茨那樣直接借重數學，卻做到了最徹底地把對確定性與完備性——數學特性——的尋求埋入哲學活動的心臟。康德的范疇演繹體系及其界限主要引起了三種不同的反應：

第一，意志主義和生命哲學干脆廢棄了理性邏輯的策略，自然也就廢棄了數學的榜樣，但這是基于外在的理由：情感、意志、痛苦、死亡之類用數學極難處理。

第二，從費希特到黑格爾的古典哲學把體系的權能推向極致，發揮出一種泛邏輯的“超級理性”，期望體系的每一環節都是某種特殊真理，而最終一切真理都在體系之內。他們的言論多有對數學方法的批評，但這并不妨礙他們實際上實行數學的模式。辯證法同樣是普遍的、確定的、強制的。在這個意義上，古典哲學是辯證的“幾何原本”。

第三，分析哲學繼承了康德的分析傳統。盡管它不再抱著成就某種涵蓋一切的知識體系的萊布尼茨理想，但它慣于這樣來從事哲學的分析：如果有什么論斷引起迷惑或爭議，那么就得把它翻譯成標準的邏輯表達式，然后使用真值表就可以機械地亦即簡單地找到問題的正確答案，或者指出所提問題的非正當性而取消之。這其實正是萊布尼茨依據“普遍語言”提出的策略：先生，讓我們來算一算吧。

西方哲學主流的變遷中，哲學始終追隨數學，借鑒其概念、方法和體系，在確立哲學真理時，要么舉證數學命題作為范例，要么從數學方法的啟示出發，變通運用。根本上，向數學模仿——這本身不成問題。問題只在于不同主題或論域下如何模仿得好。

事實上，哲學傾心于數學的努力一直沒有成功，沒有一個哲學體系取得了《幾何原本》那樣的成功。通常，人們從中領悟到的教訓是：哲學有別于科學，題材紛繁復雜、變幻莫測，不易找到公認的基點和道路。但這沒有阻斷努力，后人總可以把敗績歸咎于前人的不慧，重新努力。

3

消解

↑雅典學園

其實，哲學特異、題材復雜、前人不慧未必囊括了所有解釋。也許，榜樣本身就是虛幻的，本不具備一向指望于它的那種普遍必然性。久久尾隨一個人，向他討取他畢竟沒有的珍寶，豈能如愿？正是以這樣的形式，一個多世紀以來，哲學真理之數學理想的落空無可挽回地出現了：數學真理自身的確定性出了大問題，堅如磐石的大地開始晃動。

早在《純粹理性批判》問世前后，一些數學家已從證明平行公理的徒勞中領會到：它作為公理可能只是基于經驗歸納，并非自明真理。此后近一個世紀的推敲使非歐幾何成長起來，它表明歐氏幾何并非普遍真理，更不是其他真理的表率。特別當非歐幾何的一類在相對論中得到物理解釋之后，歐氏幾何就更露出其經驗性。克萊因評論說：“非歐幾何也可以是物理空間的幾何，我們不能再肯定哪門幾何一定是正確的。單是還有別的幾何存在就已經是一個令人震驚的事實了，然而更令人震驚的是你不再知道哪個是正確的，或者究竟有沒有正確的。顯然，數學家們將基于有限的經驗顯得正確的命題作為公理，并錯誤地相信了它們是自明的。”[15]克萊因把這一過程稱為“真理的第一次喪失”。在算術和集合論方面，困窘也接二連三。哈密爾頓的“四元數”表明基本算術法只是局部有效的，而從前它們被認為是絕對自明的。康托爾“實無窮集”的引入，使得例如“全體大于部分”這種分析真理不再可靠。

數學的失根激發了數學基礎的清理和構造。奠基運動收獲頗豐，但問題也很嚴重。直覺主義者確立了一些直觀上可靠的數學根據，但代價卻是把歷史上許多有用的數學判定為不合法，這種缺乏包容性的方案真正說來并不能算奠基。邏輯主義者試圖從邏輯演繹出算術，形式主義者試圖在算術的基礎上構建整個數學，然而他們都飽受悖論的困擾。羅素等人設計了一些化解悖論的對策，但對策除了本身仍然可疑而外，效用也相當有限，不足以保證杜絕悖論。羅素曾回顧道：“我在數學里總是希望得到的那種壯麗的確定性消失在不知所措的困惑之中了。”[16]

困惑之中總還是可以懷抱希望的，但這希望在20世紀30年代徹底破滅了。哥德爾的數學—邏輯研究給出了兩個驚世駭俗的結論：第一，任何適當豐富的數學形式系統，其一致性不能通過預制的若干公理在系統內部得到證明；第二，一個適當豐富的無矛盾形式系統是不完備的——可以構造至少一個數學命題，其真偽不能在這個系統內得到判定。總之，一致性與完備性互相沖突。換句話說，一個理想的數學系統，所確立的應該都是真理（即一致性），同時，所有數學真理也都應該在其中得到確定（即完備性），哥德爾則證明了，這種歷史上被人們想當然地認為數學必定具有的、其它學科應予仿效的完美系統根本無法達到，原因不在于能力欠缺，而在于原則上不可能。

數學表率群學的千年修辭形象開始自我消解。數學再也不是統一的，而是有許多不同的數學。像哲學一樣，數學陷于出自不同基礎假設的學派紛爭之中。數學真理再也不是不由分說的了。隨著數學真理的實在性、確定性、邏輯性和完備性的喪失殆盡，哲學一向指望于數學的東西也便不復可得。除了題材、哲學家能力限制哲學達到數學的高度外，現在，這種模式本身就包含致命缺陷：偶像并不存在，它是一尊假神。

4

出路

哲學數學化的理想落空了，人類因此喪失的并不是知識和真理，失去的只是一種對知識和真理的過高要求的合理性，一種基礎過于狹隘而期望又過于高遠的理解方式。這是知識論的危機，不是知識的危機。但理解方式并非不重要，也并非能夠輕易改變，這從前面對西方哲學的專題清理可以看得很清楚。強勢的態度經常會轉變為束縛人的教條。其實，林林總總的知識，其源泉是不盡相同、極為豐富的，這些源泉與人歷史性、多樣性的生存活動方式相一致。但這些源泉不可能也不可以被同樣作為人類活動方式之一的自覺邏輯反思完全同化或翻譯，因而靠邏輯整理而自覺到的知識基礎總比實際產生知識的土壤更貧乏更狹隘。

這就提醒我們，真理在實際生活中的生長運作是一回事，從有意識的若干抽象條件去邏輯地構建完備的真理則是另一回事。在化解數學崇拜后，貌似沮喪的局面會啟發我們要現實地考察現實中被稱為真理的東西是如何成為真理的。本文主旨也就在于消解性地敞開一個追問“如何”的出口。

參考文獻：

[1]W·鄧納姆.天才引導的歷程［M］. 北京：中國對外翻譯出版公司，1994.7.

[2]E·策勒爾.古希臘哲學史綱［M ］ . 濟南：山東人民出版社，1992.28.

[3]J—F·馬泰伊.畢達哥拉斯和畢達哥拉斯學派［M］.北京：商務印書館，1997.76.

[4]西方哲學原著選讀：上卷［M］.北京：商務印書館，1981.93.

[5]羅素.西方哲學史：上卷［M］.北京：商務印書館，1963.65.

[6]羅斯.亞里士多德［M］.北京：商務印書館，1997.50.

[7]趙敦華.基督教哲學1500年［M］.北京：人民出版社，1994.241.

[8]笛卡爾.探求真理的指導原則［M］.北京：商務印書館，1991.7.

[9]十六—十八世紀西歐各國哲學［M］.北京：商務印書館，1975.139.

[10]萊布尼茨自然哲學著作選［M］.北京：中國社會科學出版社，1985.21,1.

[11]王浩.哥德爾［M］.上海：上海譯文出版社，1997.368.

[12]霍布斯.利維坦［M］.北京：商務印書館，1985.22,28.

[13]洛克.人類理解論［M］.北京：商務印書館，1959.640.

[14]休謨.人類理智研究［M］.北京：商務印書館，1957.144.

[15]M·克萊因.數學：確定性的喪失［M］.長沙：湖南科學技術出版社，1997.82—83.

[16]羅素.我的哲學的發展［M］.北京：商務印書館，1982.195.

馬天俊｜著，文章原載《求是學刊》2000年第2期

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