幾何學秘史之一：起源、印度、埃及、巴比倫

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

1.1 原始社會

早在文字形成之前，人類可能就已經認識并系統性地利用了幾何結構。大自然為眼睛提供了多種多樣的曲線，一片草葉或一段樹干可以象征直線的概念，也可以代表圓形的概念（例如作為橫截面）。在編織時，我們會創造出簡單的二維圖案，并有意地加以修改，或將其作為裝飾復制到陶罐上。有證據表明，這種有意識的幾何形狀裝飾早在公元前4萬年就已存在。它們在某些文化社會中具有如此強的特征，以至于史前學家可以通過挖掘和分析陶片來重建這些社群的遷徙路徑。例如，在新石器時代的克里特文化陶罐上，可以見到折疊條帶圖案，或者6個全等的圓環繞一個同樣大小的中心圓排列，每個圓都與相鄰的兩個圓相切。等邊三角形、正方形（具有四個直角）以及正六邊形，作為平面形狀的特殊情形，一定很早就被人們所注意，既引發了游戲般的興趣，也催生了初步的理論思考（參見，例如 [Kade?ávek 1992]）。

圖 1.1.1 史前陶器上的幾何裝飾圖案

[插圖源自Hubert J. Pepper根據Stuart Piggott主編的《文明曙光》（The Dawn of Civilization，倫敦泰晤士與哈德遜出版社）所作之線描圖]

日常生活的基本需求與活動提供了進一步的靈感：在挖掘溝渠、修筑堤壩或房屋，以及進行土地丈量時，人們都需要用到基本的幾何比例。人類最初或許并未意識到這一點，直到最初的邏輯思考開始萌發。離開三維立體圖形（長方體、立方體、棱錐、柱體），建筑便無從談起。對星體運行軌跡的觀察則促使人們從平面三角形轉向球面三角形。似乎顯而易見的是，對角線平分正方形或矩形，正如直徑平分圓形一樣。所有前希臘文明都意識到了這類直接可見的關系，并將其應用于實踐。只有希臘人進一步探索并追問其緣由，最終構建了一套公理化的幾何理論體系，并通過歐幾里得的《幾何原本》流傳至今。如果接下來我們主要關注埃及和巴比倫的幾何學，必須強調的是：沒有任何一種文化不曾反映出幾何元素的多方面運用。珠寶設計往往深受宗教觀念的影響：供奉給神明的陶罐會飾有更繁復的紋樣，祭壇則有特殊的形制，而儀式（包括舞蹈）也需以特定方式進行。此外，我們也不能忽視游戲作為接觸幾何性質的一個來源。這還不僅限于棋類游戲——盡管它們幾乎總是產生對稱圖案的源泉。

近年來，民族數學學開始關注原始民族中隱含的數學觀念，并取得了一些驚人的研究成果。例如，在安哥拉有一個非洲部落，人們在講述其宇宙創世神話時，會徒手用一條連續的曲線繪制出一個精心交織的圖形。這表明，要想達到具有對稱性質的預期效果，背后必然經過了縝密的幾何學考量（見圖 1.1.2）。

圖 1.1.2 關于安哥拉約克韋人宇宙創世神話的單線軌跡圖：太陽（左）、月亮（右）及人（下）通往神（上）的路徑

[圖片來源：《非洲計數：非洲文化中的數字與圖案》（Africa counts: Number and Pattern in African Culture），? 1973 年 Claudia Zaslavsky 著，由芝加哥評論出版社旗下勞倫斯·希爾圖書出版]

自人類注意到星空的變遷以來，星空便為人們進行基本的幾何觀測提供了進一步的靈感。樹干或高聳石塊的影子在一天或一年中的移動軌跡，構成了簡易日晷的基礎。將這些影子的軌跡系統地繪制在地面上，便得到了太陽在天空中運行軌跡在平面曲線上的投影，從而啟發人們進行思考。

20 世紀 90 年代，在德國哈勒附近的格塞克發現了一組同心圓環狀溝渠，其歷史可追溯至約公元前 4800 年。經過考古研究和重建，它被確認為目前已知的世界上最古老的太陽觀測站（見圖 1.1.3）。大約在公元前 4800 - 4500 年間，中歐地區的定居點附近曾建造過這種圓環狀溝渠。格塞克圓環具有雙重木柵欄環和三個門，分別朝向正北、東南（對應 12 月 21 日的日出方向）和西南（對應 12 月 21 日的日落方向）。在 6 月 21 日前后，兩道木柵欄之間的間距會變寬。這一構造使得 7000 年前的農民能夠根據太陽的位置，確定一年中最適宜播種和收獲的時節。然而，研究結果表明，這些圓環溝渠也用于祭祀等文化目的。

大約 2000 年之后，最為著名的巨石文化（公元前3 000-2000年）建筑——位于英格蘭南部索爾茲伯里附近的巨石陣才得以建成。它被解讀為一個太陽觀測站和祭祀遺址 [Gericke 1984]（見圖 1.1.4）。

圖 1.1.3 格塞克圓環（德國哈勒附近），內布拉星象盤（哈勒/薩勒河畔，國家史前博物館）

圖 1.1.4 巨石陣（英格蘭南部）：歐洲現存最大的公元前3000-2000年的石制遺跡（外圈直徑約100米）

過去幾十年的研究表明，巨石陣不僅反映了天文知識的運用，還體現了基本的幾何比例關系，例如畢達哥拉斯定理。然而，我們只能推測，邊長比為 3、4、5 的勾股三角形（例如，可以在長度為 12 的繩子上打結來標記這些長度）早在那個時期就被用來構造直角了。研究者們論證稱，他們能夠證明伍德亨格（約公元前 1800 年）的木結構建筑就是通過應用邊長為 12、35、37 的勾股三角形來建造的（見圖 1.1.5、圖 1.1.6）。

圖 1.1.5 伍德亨格復原圖

圖 1.1.6 伍德亨格地基平面圖

關于巨石陣，可參閱 [North 1996]；關于直角視角假說的批評，可參閱 [Knorr 1985]。

內布拉星象盤是一件青銅制品，最近在德國哈勒附近被發現，其年代與伍德亨格大致相同。盤上繪有包括昴宿星團在內的星群，被認為是現存最早的天象表現 [Schlosser 2004]。關于此盤的解釋及其意義的各種理論引發了熱烈的討論，最終結論預計將在不久的將來得出。

1.2 古代河谷文明

公元前3000-2000年 印度河流域城邦文明：哈拉帕與摩亨佐達羅（文字尚未破譯）

公元前3000-2700年 尼羅河流域諸王國統一（象形文字發明）

公元前3000-2700年 蘇美爾城邦（泥板楔形文字發展）

公元前2700-2170年 埃及古王國時期（金字塔建造）

公元前2700-2100年 阿卡德人入侵與統治（列線圖）

公元前2170-2040年 埃及第一中間期

公元前2040-1794年 埃及中王國時期（數學紙草文獻）

公元前2100-1900年 美索不達米亞諸王國

公元前1900-1600年 古巴比倫王國

公元前1728-1668年 巴比倫國王漢謨拉比（法典泥板）

公元前1794-1550年 埃及第二中間期

公元前1550-1070年 埃及新王國時期（哈特謝普蘇特神廟）

公元前1290-1224年 法老拉美西斯二世（卡納克的阿蒙神廟）

公元前1285年 卡迭石戰役（帝王谷陵墓）

公元前1600-625年 赫梯人、加喜特人、亞述人統治美索不達米亞（楔形文字數學文獻）

公元前1070-525年 埃及后期時期：利比亞人、埃塞俄比亞人、亞述人統治尼羅河流域

公元前625-539年 新巴比倫王國（占星術與天文學繁榮）

公元前539年 居魯士大帝征服巴比倫

公元前525年 波斯人征服埃及

公元前332年 亞歷山大大帝征服埃及

公元前323-30年 埃及由托勒密王朝統治（埃及成為世界貿易與文化中心）

昔蘭尼的埃拉托色尼任亞歷山大圖書館館長，歐幾里得與阿波羅尼奧斯在亞歷山大城

公元前47年 亞歷山大圖書館遭焚毀

公元前30年 埃及成為羅馬行省（亞歷山大的希羅）

公元391年 亞歷山大圖書館被摧毀（帕普斯與普羅克洛斯在亞歷山大城工作，女數學家希帕蒂婭因異教徒迫害被殺）

公元395年 羅馬帝國分裂，埃及成為東羅馬帝國（拜占庭）的一部分

圖 1.2.1 摩亨佐達羅：古代印度河流域文明最大聚落之一的發掘遺址 [攝影：Saqib Qayyum，2014 年]；以及 1927 年在摩亨佐達羅出土的“祭司王”石像（巴基斯坦卡拉奇國家博物館藏）

1.2.1 印度河流域文明

印度河流域的摩亨佐達羅聚落是人類最古老的先進文明之一。這座屬于哈拉帕文化的城鎮約有4萬居民，在公元前2500年左右達到了鼎盛時期。它的古老程度幾乎與尼羅河沿岸的埃及王國以及位于幼發拉底河與底格里斯河河谷之間的美索不達米亞不相上下。在該文明的所有考古遺址中，磚塊都采用相同的邊長比例，即1:2:4；街道遵循棋盤式布局；并且度量衡也已經標準化。由于對摩亨佐達羅（位于今巴基斯坦境內）的發掘與出土文物的解讀工作仍在進行中，我們尚無法就幾何學在這一文化區域中的作用得出最終結論。

1.2.2 古埃及數學

我們對古埃及和美索不達米亞（也稱為巴比倫尼亞）的幾何學知識有了更深入的了解，因為這兩大文明都起源于新石器時代，并留下了書面資料。自19世紀中葉以來，這些資料已得到極為深入的研究。

圖 1.2.2 古代埃及與美索不達米亞地圖

象形文字大約自公元前2900年起就在組織嚴密、中央集權管理的埃及發展起來。除了令人印象深刻的金字塔建筑之外，中王國時期（第11至第13王朝）的兩份數學紙草書也特別為我們了解埃及幾何學的知識提供了重要來源。它們的內容反映了大約在公元前2000年或稍后不久的數學知識水平。其中最重要的兩份是《萊因德數學紙草書》和《莫斯科數學紙草書》。它們是由一系列問題及其相關解法組成的文集，似乎是學校里的教師（書吏）為培養官員而編寫的教學手冊。《萊因德數學紙草書》原長5.34米，但寬僅33厘米；《莫斯科數學紙草書》長5.44米，寬僅8厘米。后者包含25個問題，前者則按主題類別編排了84個問題，這些問題有時配有用于直觀展示的附圖。據此可知，由于透視畫法在當時的埃及尚未出現，幾何立體是通過其頂視圖或側視圖來表現的。有時，同一幅繪圖甚至用頂視圖來展示最重要的部分，而用正視圖展示個別部件，例如，在描繪一個帶有樹木的矩形池塘時，樹木被“折疊”到左側（見圖1.2.3）。

圖 1.2.3 “園中池塘”——同一畫面中的視角轉換，底比斯，內巴蒙墓出土壁畫，約公元前1400年

浮雕設計和其他墻面圖畫表明，丈量神廟的土地是一項神圣的行為，伴隨著眾多儀式，只有法老或最高祭司才被允許執行。這種丈量與建造技藝的神圣性和神秘性，體現在流傳下來的護身符上——這些護身符具有簡單幾何儀器的形狀。然而，他們似乎不太可能先繪制設計圖，再按比例將其轉移到建筑上。人們已經在合適的石頭平面上發現了按原尺寸繪制的柱子與壁架的正視圖和頂視圖。這些設計在周圍的建筑中可以找到對應的實物實現 [Kade?ávek 1992]。

一個最簡單的幾何問題是計算矩形、梯形和三角形的面積 A。對于邊長為 a,b,c,d的任意四邊形，其近似公式為：

因此，該公式需要對兩條對邊進行兩次平均。有趣的是，這個法則也被應用于三角形，方法是把第四條邊設為零（更準確地說：是忽略不計，因為它并不存在，因為埃及人當時還沒有數字零的概念）。在通過給定直徑 d計算圓面積 A 時，采用了一條特別的法則：減去直徑長度的1/9，然后將結果自乘，所得乘積即為圓面積：

像往常一樣，對于這種非常精確的方法，古人并沒有給出任何理由。然而，《萊因德數學紙草書》的第48個問題包含一幅圖，畫著一個邊長為9的正方形，通過切掉四個角而變成了一個八邊形。這可以解釋為對圓的一種近似。這一圖形在1928年啟發了庫爾特·福格爾對上述埃及法則進行解釋。

除了平面圖形，埃及文獻中還計算了體積，涉及結構工程問題或罐子、盆等容器的容量計算。值得注意的是，其中提到了一種用于體積的“層”度量。類似地，在計算面積時也有一種“條”度量。這表明，計算一塊磚的體積時，更多地是采用重復疊加一層的方法——該層等于底面面積，其高度構成單位度量（就像制作膠合板一樣）——而不是通過用單位立方體填充來計算磚的體積（因為我們現在采用后一種方法來計算長、寬、高的乘積）。所有問題都像菜譜一樣進行計算，并且只使用具體的數值。在那些早期時代，人們既沒有表達公式的方法，也沒有抽象數量的概念。

在計算體積時，他們主要處理長方體或圓柱形的容器，并使用了前述的圓面積公式。宏偉的金字塔表明，古埃及人必定也掌握了棱錐的體積公式。然而，這一點并無確鑿證據。（正如馬克斯·德恩在1900年所證明的，如果不使用極限過程，就不可能嚴格推導出適用于任意棱錐的體積公式。特殊情形可參見問題1.2.2。）與此相對的是，《莫斯科數學紙草書》的第14個問題包含了根據正確公式計算平截頭正方棱錐體積的準確方法：

（V 表示體積，a 表示底面邊長，b 表示頂面邊長，h 表示高）。如果已知棱錐的體積公式，就可以推導出這個公式（見問題 1.2.3）。但如前所述，在現存稀少的埃及文獻中，并無顯著證據表明他們使用了這一公式

有時，埃及人通過計算平均值來近似處理平截頭正方棱錐，即將其視作一個長方體，其底面積 B 取為底面積與頂面積之算術平均值：

推導出

數學史學家庫爾特·福格爾（Kurt Vogel）指出，埃及人可能意識到了這一錯誤，并因此引入了一個中位面積單位a?b：

通過這種方式，他們借助未經證明的推廣，從一個不正確的公式出發，發現了正確的計算方法。（進一步而言：若將棱錐視為頂面面積 b^2 =0 的平截頭棱錐，則平截頭棱錐的體積公式便給出了棱錐體積的正確公式。）

圖 1.2.4 關于平截頭正方棱錐體積的計算

圖 1.2.5 吉薩的胡夫金字塔——所有金字塔中最高的一座

圖 1.2.6 公元1858年的胡夫金字塔與獅身人面像。獅身人面像深埋于沙土之中

1.2.3 巴比倫數學

巴比倫數學的資料來源遠比埃及豐富，因為美索不達米亞人使用泥板作為書寫材料。泥板比易腐壞的紙草能更好地經受時間的考驗。大量文獻可追溯至古巴比倫王國時期（約公元前1900–1600年），該時期緊隨蘇美爾城邦時代（約公元前3000–2700年）和阿卡德統治時期（約公元前2700–2100年）。然而，隨后幾個世紀（其間美索不達米亞經歷了亞述人、迦勒底人統治以及赫梯人統治等政治動蕩）的考古發現表明，在數學初步發展之后，很長一段時間內幾乎沒有任何變化。下一次進步出現在塞琉古時期（公元前最后幾個世紀），特別是在天文學領域。這是因為，與埃及一樣，美索不達米亞的數學也是在實踐應用中產生并發展的：經濟、貿易、建筑業以及天象觀測促使了數學思考的產生，其成就達到了比埃及更高的巔峰。公元1916年，當研究者在文獻中發現畢達哥拉斯定理和一種計算平方根的方法時，感到尤為震驚。

圖 1.2.7 喬加·贊比爾塔廟。這座由粘土磚砌成的階梯式塔樓具有蘇美爾人、巴比倫人、亞述人和埃蘭人建造的典型神廟形狀。建于公元前1250年左右的五層喬加·贊比爾塔廟是其同類建筑中保存最完好的一座

圖 1.2.8 喬加·贊比爾塔廟上的埃蘭楔形文字

農田地圖、房屋的平面圖，或者堤壩、水渠等工程技術構造圖，常常附在相應的計算說明之后，使我們能夠初步了解這些問題的實際性質。專門的術語則部分缺失。相反，他們借用日常用語中的詞匯來指代，例如墻、堤壩、溝渠等。當然，當他們想要計算正多邊形的面積，并因此將相應的幾何圖形刻在泥板上時，似乎已表現出超越直接日常需求的早期理論興趣，這與所謂的巴比倫代數中的情況類似（見圖 1.2.9）。

圖 1.2.9 巴比倫多邊形

[來源：Kurt Vogel：《前希臘數學》（Vorgriechische Mathematik），第二部分，圖 22a-c，第 69 頁，載于《法國伊朗考古使團紀要》（Mémoires de la Mission Archéologique fran?aise en Iran），第 XXXIV 卷，第 12 頁；Bruins 與 Rutten 合著，由巴黎 Paul Geuthner 出版社于 1961 年出版]

尤其引人注目的是，他們頻繁運用畢達哥拉斯定理計算矩形的對角線，而這距離畢達哥拉斯出生還有數百年之久。巴比倫數學家在選擇數值時，會確保邊長能夠取到有理數。此外，他們還能夠通過迭代法或應用希羅公式以近似法計算平方根。

其中，n 被分解為最接近的平方數 a^2 ，再根據余數 r 進行增加或減少。這類問題的一個典型例子——不僅見于當時的學校教學，也出現在中國、印度數學以及歐洲中世紀——體現在塞琉古時期記錄的一個關于靠墻桿子的問題中（BM 34568，倫敦大英博物館）。當桿子起初垂直靠墻時，其頂端達到某一未知高度。隨后，將桿腳從墻根移開 9 肘尺，桿的頂端便降低了 3 肘尺。目標是計算桿的長度 x。因此，我們需要通過以下勾股三角形的公式來計算 x：x^2=(x?3)^2+9^2 。

這類廣泛存在的分割問題也構成了幾何學的一部分。例如，若想用一條從邊 b 到邊 d 的截線 x 將任意四邊形田地區域（邊長分別為 a,b,c,d）分割成面積相等的兩部分，則需遵循如下方法：

你可以將此近似法理解為：在以邊 a 和 c 為邊的兩個正方形的中間，再作一個正方形，此時該正方形的邊長即為截線的長度。然而，正如所見，此方法忽略了邊 b 和 d 的長度。因此，這一方法僅能針對某些特定形狀的田地得出近似正確的數值。

在計算圓時，巴比倫人使用了一種與埃及人截然不同的新方法。圓的面積 A 是通過借助其周長 c 來計算的，即取周長平方的十二分之一：

由此，他們接受周長為直徑的3倍。應用這一規則，結果為 A=9d^2/12=3r^2。問題在于：巴比倫人為何要以這種獨特的方式計算圓面積，盡管這暗示著他們本可以使用直徑或半徑。首先，我們需要理解，在研究圓時存在兩個比例因子。一方面，直徑與周長這兩種長度之間存在一個固定的比值。另一方面，直徑平方（或半徑平方）與圓面積這兩種面積之間也存在一個固定的比值。直到阿基米德，才通過將圓周展開——換言之，通過嚴格證明該比值——證明這兩個因子是相同的。

由于 c=3d=6r意味著可以用內接正六邊形的周長來近似圓的周長，你可能會認為可以通過將圓扇形視為一個底邊為 c/6、高為 r 的三角形來近似計算圓面積——該三角形的內角為60°。于是可得：A = 6 · ( 1/ 2 · c /6 · r)=6 · ( 1 /2 · c/ 6 · c /6 ) = c^2/ 12 。（另一種解釋是：他們計算了外接正方形面積 d^ 2 與內接正方形面積 d^2/2的算術平均值，即 3d^2 /4 = 3r^2，然后再從半徑反推回周長。）

巴比倫人還研究了圓中被弦 c 截下的弓形（參見圖 1.2.5），其矢高 s（即從弦的中點垂直于弦至圓周的線段）通過直徑 d 與弦 c 按以下公式計算：

弦或弓形底邊 c 則按以下公式計算：

這里我們面對的是弦幾何的初步發展，后來由喜帕恰斯進一步推進。托勒密將這一主題置于其偉大的天文學教科書（阿拉伯人稱之為《至大論》；參見第 2.5.4 節）的開篇。然而，巴比倫數學中尚未發展出一般的角度概念；只有直角隱含地出現在矩形和勾股三角形中。對于傾斜平面的坡度（例如堤壩的邊坡），可以通過所謂的“每肘尺回退量”來測量。他們指出的是，在垂直方向每上升一肘尺所對應的水平回退距離。

圖 1.2.10 圓弓形，弦 c 與矢高 s

在日常遇到的立體幾何問題中，計算長方體、直棱柱和圓柱體并不構成任何難題（如有必要，底面面積可通過已討論過的近似公式計算，然后乘以高即可）。無論在埃及文獻還是美索不達米亞文獻中，至今都未發現棱錐的體積公式。巴比倫人對于平截頭棱錐使用了與我們在埃及已經見到的相同的近似公式（1.2.5）。這無疑證實了計算平均值是最早且流傳最廣的數學思考之一。BM 85194,28號泥板的文本可能包含與希臘文獻相同的公式——前提是省略因子 (a?b)/3，而在此例中由于 a 和 b 的特殊數值，該因子恰好等于1。

在某一實例中，圓臺也是通過取平均值的方法，按以下公式進行計算：

人們多次指出，巴比倫數學家已經使用了畢達哥拉斯定理——或者更準確地說：直角三角形中 a^2 +b^2 =c^2的成立。1945 年由奧托·諾伊格鮑爾和亞伯拉罕·薩克斯出版的一份古巴比倫文獻長期被認為尤為引人注目。該文獻藏于紐約哥倫比亞大學的普林頓收藏館，很快以“普林頓 322”之名著稱 [Neugebauer/Sachs 1945]。這份文獻似乎包含一種三角函數表，與我們已知的美索不達米亞大量數表相吻合。

除了標題外，該數表（左側可能缺失一部分）的正文包含五列十五行，其中僅列出數字（見圖 1.2.7）。右邊一列顯示從 1（用一個垂直楔形表示）到 15 的連續行號（從第 10 行起，除了可重復至九次的表示“一”的楔形外，還出現了“Winkelhaken”——即“鉤”——這是巴比倫表示“十”的符號）。其前面一列始終是相同的項，即同樣表示行號。對前三列中大多為多位六十進制數字的分析表明，第一列表示的是比值，并按遞減順序排列：

這使諾伊格鮑爾和薩克斯將該數表解釋為一種系統排列的15個直角三角形序列。第一行中的三角形幾乎是等腰的，而最后一行則具有約30°和60°的角。這一解釋引出了一個轟動性的結論：普林頓322確實是巴比倫時代的一份三角函數表。其他研究者則嘗試基于互倒數對進行數論解釋。無論哪種情況，我們面對的都是一種高度抽象的文獻，而此前在美索不達米亞數學中尚未證實存在此類文獻。此外，我們對巴比倫角度概念的了解也與三角函數解釋相矛盾。由于過去幾十年來學術界逐漸接受這樣一種觀點：此類文獻不應孤立分析，而應在整體文化環境中加以考察，因此兩種解釋都受到質疑，尤其是埃莉諾·羅布森的觀點 [Robson 2001]。這塊刻于公元前18世紀中期的泥板出自今伊朗境內的拉爾薩城，屬于一批歸類為會計與行政管理的文獻。泥板的標題及數表的構成方式都表明了這一點。它們讓人聯想到其他用于教學目的的泥板——書吏在其上編制習題和例題集。在這種解釋下，我們所面對的是一組關于畢達哥拉斯三元組的問題集合，其中第二列優先選取了數值簡單的數，但其幾何關系尚不明確。這一解釋消除了此前對美索不達米亞數學的描述中賦予普林頓322的特殊地位。那種認為三角函數在約4000年前就已存在的信念，現在被歸結為純粹的傳說。盡管如此，這塊泥板至今仍是一份獨特的畢達哥拉斯三元組匯編，其中的三元組通過一個二次關系彼此關聯。

圖 1.2.11 普林頓 322；古代美索不達米亞楔形文字文獻（紐約哥倫比亞大學普林頓圖書館藏）。該文獻包含一份整數邊（股 w、勾 b 與弦 d）直角三角形的列表。左側有幾列已經殘缺。第二列和第三列以整數形式給出了股 w 與對角線（斜邊）d。最后一列標明連續的行號。在第 11 行和第 15 行中，w 與 d 具有公因數；在其他所有行中，它們互素。

圖 1.2.12 帶有印章的陶球上的楔形文字數量記錄（公元前18世紀），古巴比倫時期（左）；按容量計量的圓柱形量器泥板，古巴比倫時期（右）（柏林西亞細亞博物館藏）

最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。

青山 不改，綠水長流，在下告退。

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