【解題研究】這題好多解——2026年成都中考數(shù)學(xué)第22題

【解題研究】這題好多解——2026年成都中考數(shù)學(xué)第22題

一般而言，多解的題目，命題者相當(dāng)?shù)睾竦溃灰钦J(rèn)真思考了的學(xué)生，都愿意給條出路，當(dāng)然題目設(shè)置成多入口，難度不是一般地高。

相似三角形是九年級(jí)的重要內(nèi)容，構(gòu)造相似三角形的方法非常多，例如作平行、作垂線、一線三等角……基本相似型不再重復(fù)，教材上都有，然而這些基本相似型是如何得到的，學(xué)生是怎樣掌握這些基本圖形的，這道22題一試便知。

題目

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD為△ABC的一條中線，E為AC上一點(diǎn)，∠ADE=∠B，若AE=5，CE=2，則AB=__________

解析

中線條件可得CD=BD，它可以用于等量轉(zhuǎn)換，不妨設(shè)CD=BD=x；

∠ADE=∠B可用于構(gòu)造全等或相似三角形；

給出的AE和CE的長(zhǎng)是用于計(jì)算或列方程，最終目的是得到線段AB的長(zhǎng)。

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方法一：

由∠ADE=∠B想到的相似三角形構(gòu)造方法，可作垂線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，如下圖：

這條垂線作出來(lái)之后，可得兩對(duì)相似三角形，分別是△AEF∽△ADC，△DEF∽△BAC，它們的對(duì)應(yīng)邊涵蓋了已知條件和AB邊，但……有點(diǎn)亂；

我們整理一下，所有未知對(duì)應(yīng)邊中，只有EF即出現(xiàn)在第一對(duì)相似中，也出現(xiàn)在第二對(duì)相似中，像這種兩對(duì)相似均存在同一條線段的情況，它一般就是橋梁；

請(qǐng)注意這兩個(gè)比例式中，除了含BA的比例暫時(shí)用不上之外，其余比例中的AD、AF、DF三者間存在如下關(guān)系：AD=AF+DF，這就為我們列方程提供了條件；

由前一個(gè)比例式得AF=35/AD，EF=5x/AD，由后一個(gè)比例式得DF=2xEF/7=10x2/7AD；

所以得到AD=35/AD+10x2/7AD，兩邊同乘AD得：

35+10x2/7=AD2，其中AD2=49+x2

得到方程35+10x2/7=49+x2，求出x2=98/3；

最后由勾股定理求出AB=7√33/3；

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方法二：

除了過(guò)點(diǎn)E作垂線之外，過(guò)點(diǎn)A也可作垂線，如下圖：

我們同樣可得兩對(duì)相似三角形：△AEF∽△DEC，△ADF∽△ABC，按前面的思路整理比例線段；

由前一個(gè)比例式得AF=5x/DE，EF=10/DE，由后一個(gè)比例式得DF=2x·AF/7，將AF=5x/DE代入得DF=10x2/7DE；

由DF=DE+EF列方程為DE+10/DE=10x2/7DE，兩邊同乘DE得：

DE2+10=10x2/7，其中DE2=4+x2，得到方程

4+x2+10=10x2/7，求出x2=98/3；

最后由勾股定理求出AB=7√33/3；

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方法三：

構(gòu)造相似三角形還有一類方法就是利用平行線，這里的中點(diǎn)可用于構(gòu)造中位線，如下圖：

過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE，交AD于點(diǎn)G，此時(shí)可證DE是△BCF中位線，即CE=EF=2，則AF=3，由平行線分線段成比例可得AG:GD=3:2，不妨設(shè)AG=3a，GD=2a，觀察△DBG和△DAB，典型的共邊共角相似(子母型)，由△DBG∽△DAB得BD2=DG·AD，即BD2=10a2，同時(shí)得到CD2=10a2=98/3；

最后在Rt△ABC中，求出AB=7√33/3；

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方法四：

我們也可以過(guò)點(diǎn)E作AD的平行線，如下圖：

由EF∥AD，可證CF:DF=2:5，EF:AD=2:7，不妨設(shè)CF=2a，DF=5a，則CD=BD=7a，圖中∠EFD=∠ADB，∠FED=∠ADE=∠B，于是△DEF∽△ABD，得比例式DF:AD=EF:BD，5a:AD=EF:7a，其中AD=7/2EF，代入這個(gè)比例式，得7EF2/2=35a2，所以EF2=10a2；

最后回到Rt△CEF中，由勾股定理列方程4+4a2=10a2，解得a2=2/3，所以CD2=49a2=98/3，再在Rt△ABC中求出AB=7√33/3；

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方法五：

也可以過(guò)點(diǎn)A作DE的平行線，如下圖：

過(guò)點(diǎn)A作AF∥DE，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由平行可知CE:AE=CD:DF=2:5，其中CD=BD，不妨設(shè)CD=2a，DF=5a，則BD=2a；

觀察△ABD和△FAD，∠ADE=∠DAF=∠ABD，再加上公共角，這又是一對(duì)共邊共角型相似，△ABD∽△FAD，得AD2=BD·DF=10a2，在Rt△ACD中，由勾股定理列方程49+4a2=10a2，解得a2=49/6，而CD2=4a2=98/3，在Rt△ABC中求得AB=7√33/3；

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方法六：

過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線，如下圖：

由平行線可得AE:EC=AF:DF=5:2，不妨設(shè)AF=5a，DF=2a，可證EF=5/7CD，F(xiàn)G=5/7BD，而CD=BD，所以EF=FG，圖中∠ADE=∠B=∠AGF，再加上對(duì)頂角，可證△DEF∽△GAF，得DF:GF=EF:AF，所以EF·FG=10a2，即EF2=10a2，在Rt△AEF中，由勾股定理得25+10a2=25a2，解得a2=5/3，而CD=7EF/5，所以CD2=49EF2/25=98/3，最后在Rt△ABC中求出AB=7√33/3；

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方法七：

當(dāng)我們看到一條直線上有兩個(gè)相等角的頂點(diǎn)時(shí)，可以聯(lián)想到一線三等角，在這條直線上再構(gòu)造一個(gè)角，使其等于∠B，如下圖：

設(shè)CD=BD=x，我們可以找到兩對(duì)相似三角形，分別是△CEF∽△CAB，△DEF∽△ADB，由第一對(duì)相似可得CE:CA=CF:CB=EF:AB，即2:7=CF:2x=EF:AB，于是EF=2/7AB，CF=4x/7，可得DF=11x/7；

由第二對(duì)相似可得DF:AB=EF:DB，即EF·AB=DF·DB=11x2/7，將EF=2/7AB代入得AB2=11x2/2，回到Rt△ABC中，由勾股定理得49+4x2=11x2/2，解得x2=98/3，最后求出AB=7√33/3；

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方法八：

類似方法六，只不過(guò)過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線，如下圖：

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方法九：

類似方法四，過(guò)點(diǎn)C向外作AD的平行線，如下圖：

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方法十：

其實(shí)就是方法八，多了一個(gè)外接圓，如下圖：

還有更多解法，但在我看來(lái)，基本屬于前面這些方法的變種，想到了前面的方法，后面自然也能想到，不再重復(fù)。

解題思考

本題解法網(wǎng)上已經(jīng)有多達(dá)26種，不過(guò)細(xì)看之下，很多是思路相同，有湊數(shù)之嫌，甚至還有用三角函數(shù)公式以及一些初中教材上沒(méi)有的二級(jí)結(jié)論的，不再列舉，以免誤導(dǎo)。

尋找相似三角形或者構(gòu)造相似三角形，是本題的關(guān)鍵，至于如何構(gòu)造，方法全在教材中，也就是我們經(jīng)常在復(fù)習(xí)課中看到的那一大堆基本相似型，但這道題對(duì)學(xué)生來(lái)講仍然有一定難度，比例線段較多，需要在兩次相似中尋找中間橋梁，從而列出方程。

在解題過(guò)程中，本題照顧了多數(shù)學(xué)生的基礎(chǔ)水平，無(wú)論是作垂線、平行線、一線三直角、作圓等，學(xué)生可能想到的路，最終都可以走下去，作為一道填空題，確實(shí)煞費(fèi)苦心。

所以，回到課堂教學(xué)中來(lái)，構(gòu)造相似也好，全等也罷，這種結(jié)構(gòu)不良圖形如何讓學(xué)生準(zhǔn)確找到輔助線，需要把條件讀透，當(dāng)我們?cè)谡n堂上教學(xué)生解題的時(shí)候，分析條件極為重要，放手讓學(xué)生去想，想到哪里都可以，再慢慢引導(dǎo)學(xué)生將自已的思路完善，總會(huì)找到正確的路，萬(wàn)一學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中失敗了也不要緊，哪里想差了，課堂上就幫助他們總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，這在今后的學(xué)習(xí)中，都是寶貴的財(cái)富。