一個“顯而易見”的定理折磨他19年，數學家的直覺到底靠不靠譜？

在從咖啡館回到學校的路上，大數學家卡米耶·若爾當腦海中出現了一個精彩的想法，他一度堅信這是正確且顯而易見的。然而，最終得到證明經歷了曲折的過程。數學研究中，直覺、信念與邏輯證明有著微妙關系。數學家往往先憑直覺“感受到”真相，再通過嚴謹邏輯去證實預感，而生活經驗和信念則是驅動這一認知過程的重要力量。

本文經授權摘自《數學奇幻之旅》（人民郵電出版社·圖靈新知，2026年5月版）第3章“簡單明了的真相：直覺與信念在數學中的作用”，有刪改。

撰文 | 約瑟夫·馬祖爾（Joseph Mazur）

翻譯 | 應俊耀、蔚怡

“這就是有蛇鯊的地方！”敲鐘人大聲喊道，

　　一邊讓船員小心停靠；

用他纏繞在發(fā)梢的手指，

　　激勵船員勇立潮頭。

“這就是有蛇鯊的地方！這是我第二遍講，

　　光憑這一點就能鼓舞全員。

這就是有蛇鯊的地方！這是我第三遍講，

　　我說三遍的事就不會有假。”

——劉易斯·卡羅爾，《獵鯊記》

1886 年 10 月，一個細雨蒙蒙的下午，卡米耶·若爾當（Camille Jordan）走進巴黎先賢祠后面的一棟小樓，給他在巴黎綜合理工學院的數學課學生做了一場講座。他剛從幾個街區(qū)之外的盧森堡咖啡館（Café Luxembourg）繞了一圈回來，取回了遺忘在那里的雨傘。這種往返他最喜歡的咖啡館的短途散步，經常能激發(fā)出聰明的想法。

這一次，他的想法非常宏偉。他這門課非常有名，以前教過很多次，但在那個特別的下午，在新想法的鼓舞下，他滿懷信心地說了一些意想不到的東西。他本打算通過一個命題來證明一個定理，他一直認為這個命題顯然是正確的，所以他不經意地將它傳遞給了班上的學生。坐在最后一排的一名警覺的學生禮貌地打斷了這位偉大的教授，要求他提供更多的證據，或者證明他所謂“顯而易見”。若爾當教授撓了撓頭，捋了捋胡子，在沉默了幾分鐘后，最后得出結論：也許這句話并沒有那么顯而易見。

隨著課堂時間的推移，教授那個簡單的命題從顯而易見變成了一個令人頭疼的未知黑洞。課程內容從常規(guī)的教學大綱轉向了教授那個不那么顯而易見的命題，而這個命題在每次課上都會變得越來越難以捉摸。

若爾當每天都例行在盧森堡咖啡館工作，喝咖啡，吃大量涂了厚厚的桃子果醬的羊角面包。一年了，他還是沒能得出證明。到了春天，他開拓了新的步行路線。他會坐在河邊一張?zhí)貏e的長凳上，一邊看著搖曳的月桂樹葉，一邊思考他的證明。到了第二年 6 月，他完成了證明，并將其寫成幾百頁的筆記。11 年后，這些筆記以 109 頁的三卷本講義綱要的形式出版。若爾當教授在 1886 年 10 月隨口而說的那個顯而易見的命題確實是正確的，至少在當時是正確的。

這個命題是我的朋友羅杰·胡珀（Roger Hooper）在出發(fā)前往奧里諾科河前一天講述的故事重點。我當時沒能很好地領會它，但他對信念、說服和證明表現出極大的關注。那天，我們在去卡夫魯塔的長途跋涉中，遇到了帕納雷斯婦女和孩子，他對自己親眼所見的場景的真實性提出了質疑，這一點是很明顯的。我們在潮濕悶熱的雨林中，又累又餓又渴，感到很不舒服。他對剛才看到的事情感到困惑，就非常認真地思考信念與說服的話題。我要說的大部分內容是他告訴我的。

我們常常在不知其所以然的情況下持有某些觀點，還在沒有確鑿證據的情況下就假定它們是正確的。但是，適當的證明是一個過程，它既可以改變一個觀點，也可以讓觀點變得更加牢固，成為不可動搖的信念。在這個過程中某個不易察覺的時刻，我們開始“感受到”真相。在數學家學習定理的證明時，正在被證明的內容與他們知識庫中既有的定理之間，會慢慢形成潛意識的聯系。

早在若爾當教授還沒有任何論據來支持他的命題之時，他就已經感覺自己是對的。在能夠提出決定性的演繹論證之前九個月，他怎么會知道自己的命題是正確的呢？數學享有免受評判的榮耀，然而，即使是數學家也常常形成強烈的觀點，而不屑于將其與已知數學的尋常演繹關系聯系起來。若爾當一直在與將未經證實的觀點和已證實的事實區(qū)分開來的力量作斗爭。在無意識的本能驅使下，他想證實自己的預感，就必須想辦法證明自己是對的；他首先將自己最初的觀點與一種對真相的“感覺”混為一談，并試圖將這種感覺傳達給他人。

當若爾當第一次在課堂上使用這個簡單的命題時，他天真地認為這是如此顯而易見：“每一條與自身不相交且起點與終點相同的連續(xù)曲線都會把平面分為兩個區(qū)域。”在若爾當腦海中所想到的曲線類型中，圓就是一個具體例子，它符合曲線將平面分成兩個區(qū)域（圓內和圓外）的描述。如果花幾分鐘思考一下，或許再用鉛筆隨意畫畫，我們很可能會同意：每一條與自身不相交且起點與終點相同的連續(xù)曲線都會把平面分為兩個區(qū)域，這一命題是顯而易見的。

盡管數學家們的直覺往往被證明是正確的，但他們對沒有確鑿證據表明“真相”的“顯而易見”的說法深表懷疑。數學家似乎能感覺到數學的真相。他們可能會用“顯而易見”這個詞來表達一種強烈的信念，即在啟發(fā)式論證的背后潛藏著形式化的證明。畢竟，數學中整個證明的概念從未得到明確的定義。數學家，以及其他所有人，在找到正式證明之前很早就做出了正確的論斷，這是很正常的。但有時，邏輯細節(jié)的遺漏會導致適得其反。

若爾當最初認為他的命題是顯而易見的，這意味著什么呢？我覺得他是認為大腦只需接受它，無須思索或考慮。也許，他最初認為，很難不輕易感覺到它的真相。對他來說，真相是清晰而明顯的，就好像他能用自己的眼睛看到一樣。但即使是眼睛看到的真相，也可能會受到質疑。當伽利略發(fā)現環(huán)繞木星運行的四顆新衛(wèi)星時，他受到了告誡，因為他是借助望遠鏡觀察到的，而不是通過邏輯論證推導出來的。佛羅倫薩天文學家弗朗切斯科·西齊（Francesco Sizzi）嘲笑伽利略道：

猶太人和其他古老的民族，以及現代歐洲人，都采用將一周分為七天的做法，并根據七大行星來命名。現在，如果我們增加行星的數量，整個系統(tǒng)就會坍塌……此外，衛(wèi)星是肉眼看不見的，所以無法對地球產生任何影響，也就毫無用處，因此也就不存在了。

雖說使用了望遠鏡，但伽利略確實是親眼看到木星的衛(wèi)星的。只要仔細觀察，任何人都能看到這些衛(wèi)星。在將近四百年前——還算不上很久以前，人們認為通過邏輯論證或哲學原理來說服比直接觀察更加有效。即使是通過人類的晶狀體和視網膜看到的東西也被認為是間接觀察，因此，通過望遠鏡觀察木星的衛(wèi)星肯定是更加間接了。然而，對我們來說，我們接受自己所看到的東西，將其視為真正的直接觀察。我們甚至相信無線電波能給我們帶來月球、火星和黑海海底的照片，為何卻沒有對此抱有更多懷疑呢？

當羅杰看到那位袒胸露乳的年輕帕納雷斯女人出現在龍血樹、野生原駝和模仿著蜘蛛猴的裸體孩子的場景中時，他問我這個女人是否是真實的，似乎他就該質疑自己的眼睛所看到的東西。對于一個身處森林的數學家來說，這是一個很自然的問題，因為我們可能會沉迷于通過心靈之眼去觀察，而忽略了自然世界。然而，在經過深思熟慮之后，我們還是會根據我們所看到的或其他感官所告訴我們的信息來確認或否認事實。

信念可以改變記憶，反過來，記憶也可以驅使信念。信念本身不僅強大到足以改變記憶，而且強大到足以對未來的成功產生影響。電影《記憶碎片》（Memento）的主角倫納德·謝爾比（Leonard Shelby）分享了他對此的看法：“聽著，記憶可以改變房間的形狀，可以改變汽車的顏色。記憶會被扭曲，它們只是一種詮釋，而不是記錄。而且，如果你掌握了事實，它們就是無關緊要的。”

許多年前，我寫過一篇短篇小說，講的是一個叫尤尼斯（Unis）先生的人，他在我曾經住過的地方附近的街角進行了一場非凡的特技表演。他在馬戲團工作，有一項驚人的能力，可以用一根手指支撐倒立。在我寫作的時候，我相信自己真的遇見過他，宛如我所描寫的那樣。但現在回想起來，我一點也不確定我是否真的遇到了這個人。難道是我的記憶搞錯了嗎？真有人能用一根手指倒立嗎？這是夢嗎？是不是真的有這么一位尤尼斯先生？看起來似乎是我的記憶編造了一個準神話人物。

在寫完我的故事幾年后，我去看了一場馬戲表演，那是一場紀念美國玲玲馬戲團成立一百周年的特別演出。我坐在看臺高處，在那里，我再次看到了那位尤尼斯先生。他不僅只用一根手指倒立，而且還在一根 30 英尺長的桿子的末端上保持著平衡。我驚呆了。我的準神話人物不是幻想盡管如此，我還是有一絲疑慮，因為我認為這項特技在物理上是不可能的。在我年輕的時候，我可能會相信一個人可以用一根手指保持身體平衡。然而，當我對物理學有了更深入的了解后，那些天真想法就被取代了，我很難再相信魔法、神靈和人靠手指倒立之類的事情了。

我們似乎可以通過反復接觸自己所看到和接受的東西而變得對其深信不疑。但事情并非如此簡單。

英國哲學家大衛(wèi)·休謨簡明扼要地指出：“信念是心靈感受到的東西，它將判斷的觀念與想象的虛構區(qū)分開來。”“感受到”？信念的感覺是什么？我們嘗不到它，聞不到它，看不到它，聽不到它。我們不會像感受到溫暖、寒冷或牙痛那樣感受到它。然而……然而，我們可以感受到憤怒、悲傷和快樂等情緒，可以感受到愛、恨等感情，甚至可以感受到被贊許或受侮辱帶來的影響。但是，我們能感受到信念嗎？

現在，讓我回到我剛開始教學的時候。為了證明自己的權威，我嘗試過不同的講課風格。那是 20 世紀 80 年代的初秋，有一次散步，我萌生了一個大膽挑戰(zhàn)我的教授資格的想法：故意告訴我的學生一個完全錯誤的事實，并利用我職位的權威來迫使我的學生相信它。這是一門為文科學生開設的數學課，內容涵蓋了非數學專業(yè)學生可以理解的各種主題，包括數論、邏輯和幾種不同類型的幾何學。我告訴學生們，當 p 是質數時， 2^p?1就是質數。然后我寫出了當 p 為 2 到 19 的質數時的計算結果：

我不知道學生們會有什么樣的反應。前三次計算的結果顯然都是質數，但當我們計算到一個上千的數時，學生們寧愿相信我的權威。我甚至自告奮勇，在計算器上用 8191 除以 3 到 83 的所有質數，來證明它是質數。這是魔術師的手法：沒有人注意到我故意跳過了 2047。

不出所料，沒有人懷疑 2^p?1永遠是質數。當然，它并不總是質數：2047= 23×89。但當一切塵埃落定的時候，一位懷疑論者開始有些疑問了。

托馬斯（Thomas）是一個又高又瘦的年輕人，每天都光著腳來上課。他雙腳下意識的位置暗示著他是否被說服。他時刻保持著警惕。在我進行實驗的那天早上，他張開的雙腳開始變換到不同的位置——相互交疊，先是右腳在左腳上，然后是左腳在右腳上。當我檢驗完 8191 是質數后，托馬斯的膝蓋慢慢彎曲，把腳縮到椅子下面。

“托馬斯，”我試圖弱化我的權威，“你似乎對我說的話感到困擾。有什么問題嗎？”

“我想……我想……”他害羞地回答，“我想我傾向于相信 2^p?1 是質數，但是……在沒有看到證明的情況下，我無法說服自己。”

我被識破了。在那一刻，我不得不承認我玩了一場游戲。對于所有質數 p 而言，2^p?1都是質數，這是不正確的。事實上，當p =11 或p = 23 時，就是不正確的。

與想象的虛構截然不同，數學向來以純粹的判斷而聞名，但事實真的如此嗎？即使在數學中，經驗也會引發(fā)從觀點到信念的轉化。卡米耶·若爾當最初認為，一條簡單的封閉曲線將平面劃分為兩個區(qū)域，這來自他對簡單封閉曲線的豐富經驗。他一定是想象過用一般曲線來劃分平面，并下意識地接受了這種劃分是顯而易見的。這只是他想象的虛構。他甚至可能已經多次使用過這一命題，卻沒有注意事實上該命題是需要得到證明的。畢竟，它是那么顯而易見，以至于不需要證明。而他這一明顯的想象的虛構能被證明是正確的，是件多么幸運的事啊！

我們的信念可能只是受到我們的文化或無知的影響罷了。舉個例子，“在一片三葉草地里很難找到四葉草”，你可能深信這是真的，因為你聽說過四葉草是幸運之物。但是你有沒有試過在一片三葉草地里找到四葉草呢？如果沒有，你怎么知道它很難找到呢？美國醫(yī)生、作家安德魯·韋爾（Andrew Weil）講過一個非常精彩的故事，表明信念對我們所看到的東西有很大的影響。他寫道：

幾年前，我遇到一位女士，她能在任何一片三葉草地里找到四葉草……我意識到，她成功的關鍵在于她堅信，在任何一片三葉草地里，都有一株四葉草等待著我們去發(fā)現。若有這種信念，就有機會找到四葉草；若沒有這種信念，就沒有機會找到四葉草。遇見她之后，我再次開始尋找，很快就找到了四葉草。

當我還在讀研究生時，數學界流傳著一個杜撰的故事，是關于數學系里一位極其杰出的數學家的。這些年來，我也聽過同樣的故事，但講的是其他有名望的數學家，所以不必去糾結這個故事背后的人到底叫什么名字。有一天，這位 20 世紀 50 年代初在普林斯頓大學讀本科的天才上課遲到了。他的教授在黑板上列出了十道最著名的數學未解難題。（這個故事是杜撰的，因為在教室的黑板上幾乎不可能寫下數學界的十大未解難題。）

這位天才抄寫了這些問題，以為它們是家庭作業(yè)的一部分。下一次上課時，他靦腆、尷尬地告訴他的教授，他已經解決了十道作業(yè)題中的九道，但第十道還是做不出來。問題的關鍵在于，這個故事的主人公有兩個重要的優(yōu)勢：其一是他非凡的數學天賦，其二是他沒有被任何強烈的畏難意識所羈絆。信念給了他巨大的力量，鼓勵他推進自己的論證，跨過那些其他人曾經嘗試過卻未能逾越的阻礙。

在《愛麗絲漫游奇境記》中，當白皇后說她有時僅憑信念練習，就能在每天早餐前相信多達六件不可能的事情時，愛麗絲笑著說：“再怎么嘗試也沒用，一個人不會相信不可能發(fā)生的事情。”我們不相信與既有經驗相矛盾的結果，那么是否存在對一個論斷深信不疑的感覺呢？休謨說“信念是心靈感受到的東西”，這是什么意思？當面對一種信念時，人們可能會說，“我‘覺得’我是對的。”當然，我們不是通過身體的感覺來“感受”信念或懷疑的。疼痛的感覺是生理上的，可以用程度來衡量，我們可以描述和區(qū)分輕微的疼痛與折磨。我們甚至能在一定程度上描述和區(qū)分快樂與狂喜。那么，對或錯的“感覺”是否存在呢？當遇到不可能的事情時，我會有什么“感覺”呢？

一個人很少會遇到不可能的事情。那么，如果有一天你在森林里野餐，看到一個女人騎著馬，你的大腦會有什么“感覺”呢？沒有什么不尋常的。但是，如果只有這匹馬和這名騎手在樹后時你才能看到，而在沒有任何東西阻擋視線的情況下卻看不到呢？比利時超現實主義畫家勒內·馬格里特（René Magritte）的畫作《空白簽名》（The Blank Signature）就描繪了這樣的場景。在震驚之余，你還會否認自己的親眼所見。從某種意義上說，你的感覺就像弗朗切斯科·西齊嘲笑伽利略觀測到新衛(wèi)星時的感覺一樣。

《空白簽名》，1965 年丨圖源：renemagritte.org

我們的大腦有一項重大任務：解釋對世界的感知，使人能夠在沒有矛盾的情況下生存。我們用眼睛看到的東西并不一定是真實存在的，它只需要與我們對世界的感知一致即可。為什么不期望我們的數學直覺也能以同樣的方式工作呢？

正當若爾當認為他已經完成了冗長的證明時，在都靈大學教書的朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano）發(fā)明了一條奇特的曲線。皮亞諾教授的奇特對象符合曲線定義的所有傳統(tǒng)要求，但它又是如此特殊，以至于若爾當在證明他的定理時也沒有考慮到這一點。皮亞諾的發(fā)明給若爾當的證明帶來了漏洞。因此，若爾當回到他最喜歡的咖啡館，為了應對皮亞諾的發(fā)現，又洋洋灑灑地寫了一百頁的證明。若爾當在 1886 年 10 月憑直覺認為是正確的想法，通過正式的證明再次變成了正確的想法，至少在當時是這樣。同樣，故事到這里并沒有結束。

乍一看，你可能會像若爾當一樣說：“這個定理當然是對的！”當你試圖用你對空間的直覺經驗來證明一些依賴精確定義的東西時，麻煩就來了。我們往往會把曲線的空間模型與曲線的抽象定義混為一談。我們還沒有看到若爾當曲線所有可能的扭曲形狀。但更重要的是，我們甚至不知道什么是曲線。

若爾當認為他的證明是正確的。他在最新版本的證明中考慮了皮亞諾的曲線，并確信這樣就萬事大吉了。一年過去了，他的證明在數學界廣為流傳。唉，就在若爾當對自己的定理感覺相當不錯的時候，哥廷根大學數學系主任大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）構造了另一條若爾當沒有考慮到的反常曲線。若爾當的證明再次被破壞了。

作為若爾當證明的歷史延續(xù)，當時幾位杰出的數學家給出的證明最終被發(fā)現是錯誤的。奧斯瓦爾德·維布倫（Oswald Veblen）從芝加哥來到普林斯頓時年僅 25 歲。1905 年，也就是若爾當教授班上的一個學生猶豫著是否接受他的說法的 19 年后，維布倫給出了第一個正確的證明。這份證明只有 16 頁長。這個定理又一次被證明是正確的。但它不是一直都是正確的嗎？如果它一直都是正確的，那么若爾當怎么會知道它是正確的，卻沒有確鑿的證據呢？

若爾當在盧森堡咖啡館完成他的曲線定理證明的 75 年后，我竟與另一位偉大的教授同坐在這家咖啡館中。作為一名在巴黎留學的美國人，我不知道法國人對教授的崇敬之情，于是傻乎乎地向我的教授提出問題。通常情況下，教授會從講臺后面的接待室進入教室，在布滿麥克風的講臺上給許多學生講課。講課結束后，他會從接待室離開，在下次上課之前，不會有學生再問他問題，也不會有學生再見到他。

1961 年 10 月的一天下午，我和幾位法國朋友沿著圣米歇爾大道散步，突然發(fā)現羅歇·戈德門特（Roger Godement；譯者注：早期布爾巴基學派活躍成員之一，被譽為法國自守函數之父）教授正向我們走來。我的朋友們對近距離接觸大師感到非常緊張，他們立即穿過街道，給他留出更多的空間。看到這種奇怪的外國人行為，我決定順勢而為，攔住了戈德門特教授的去路。當然，他不認識我。我只是說了任何一個無畏的美國學生見到他們的教授都會說的話：“您好，戈德門特教授，我是您代數學課上的一名學生，不知道能不能找個時間和您見個面，把您今天課上講的證明弄明白。”

令我大為吃驚的是，他的回答和任何一個通情達理的美國教授在這種情況下都會給出的回答一樣：“當然可以，我們?yōu)槭裁床蝗ソ謱γ娴目Х瑞^喝杯咖啡，然后我來給你講呢？”好吧，也許通情達理的美國教授不會這么說，但至少在美國，如果有人這么說也不會讓人感到意外。我對如此慷慨的提議毫無準備，但當我和大教授穿過街道，走進盧森堡咖啡館時，我看到朋友們臉上震驚和詫異的表情，覺得極為享受。

我們在咖啡館里坐了一個多小時，戈德門特教授詳細地解釋了證明。第一次見面時，他和我一樣緊張，但在那一年里，我們在同一家咖啡館見了好幾次面。一天，戈德門特教授轉向我，平靜地對我說：“你知道嗎？大約 75 年前，卡米耶·若爾當就是在這家咖啡館證明了這個定理。”

如果羅杰·胡珀沒有在 1961 年 10 月的那個下午重提卡米耶·若爾當尋找證明的故事，這個由羅歇·戈德門特講述的故事早就被人們完全遺忘了。我一直不相信羅杰的說法，直到我第一次在盧森堡咖啡館點了一個羊角面包，服務員沒等我開口就給我拿來了桃子果醬。

我第一次正兒八經地接觸現代數學，是通過戈德門特教授在巴黎大學開設的現代代數課程。他給出定理，并逐個證明它們。在上他課的前六個月里，我有一種奇怪的感覺，一方面覺得理解了這些證明，另一方面卻又不知道為什么是這樣。有些證明很長，有些很短，但幾乎都是非正式的表達。有時，這些表達會形成整齊的命題序列，使得證明更容易理解，但在大多數情況下，它們都很粗略，沒有經過潤色。不過，我還是理解了論證或證明的總體效果。此后多年，我一直在思考這樣一個問題：為什么在沒有被告知任何規(guī)則的情況下，我能夠理解并相信一個命題可以推出另一個命題？似乎我的大腦天生就接受了這些規(guī)則，而學習這些規(guī)則從來都不是必要的。后來我才明白，規(guī)則并非一成不變。

高中時，老師教我模仿幾何課本上的證明，我學會相信，存在一些絕對的、結構上的、邏輯性的推理，是接受一個論證為有效的必要條件。但真正的數學家不會用絕對的邏輯結構來討論。我高中時代的課本誤導學生，讓他們相信數學證明來自一個定義明確的過程，而不是一種巧妙的交流方式。數學家們可以通過模糊的符號手勢來相互交流，這些手勢表明了前言應該推出什么樣的后語。一個潦草的標記可能代表一個阿貝爾簇，這是一個具有復雜定義的對象。不知何故，在兩個有阿貝爾簇經驗的數學家的交流中，這個標記立即變得非常有意義，就像一個粗略畫出的三角形可能代表一個數學上的三角形一樣。

當我聽到一些關于三角形的錯誤論證時，我可能無法立即精確地指出論證的哪一部分是錯誤的，但我知道某些部分是錯誤的為什么呢？我們的生活經驗是我們信念體系的驅動力，我們已經習慣了我們所相信的東西，以至于我們無法相信其他東西。在簡單的數學中，這一點比在其他思想領域更為真實。例如，1 = 0 有許多錯誤的證明：有些是幾何證明，有些是代數證明，還有一些是解析證明。在數學世界之外，我們經常會形成與事實真相關系不大的信念和觀點。科學真相涉及極其復雜的程序和證據，即使是最有經驗的研究者也常常感到驚訝。

作者簡介

約瑟夫·馬祖爾（Joseph Mazur）

美國麻省理工學院數學博士，美國愛默生學院馬爾伯勒文理與跨學科研究中心榮休數學教授，佛蒙特藝術與科學學院院士。曾榮獲古根海姆獎，洛克菲勒基金會貝拉焦中心獎和博利亞斯科基金會獎。著有《時鐘幻境：人與時間的故事》《人類符號簡史》等多部科普作品。

這是一部充滿洞見力和幽默感的數學小說，作者用16個有趣的探險故事，將現實世界的經驗與數學，物理世界的實在和抽象與邏輯相關聯。向讀者展示了數學的核心——邏輯與證明如何成為理解知識與普遍真理的基石。

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