數(shù)字藝術(shù)：當(dāng)藝術(shù)遇上算法

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文展示6個(gè)由數(shù)學(xué)原理啟發(fā)的圖像與雕塑，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的深邃之美

我們常以冰冷的敬畏之心看待數(shù)學(xué)。這門學(xué)科由永恒的規(guī)則與原理所驅(qū)動(dòng)：比如素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)永遠(yuǎn)無法窮盡，圓周率的數(shù)位也將無限延續(xù)。

然而在這份確定性之下，卻潛藏著一種崇高的魅力。某個(gè)證明或方程能產(chǎn)生優(yōu)雅的美學(xué)效應(yīng)。以研究群論的數(shù)學(xué)家為例，他們分析支配旋轉(zhuǎn)與反射的規(guī)則——視覺上，這些變換會(huì)呈現(xiàn)為極具沖擊力的瑰麗對稱，恰如雪花輻射狀的圖案。

部分?jǐn)?shù)學(xué)家與藝術(shù)家認(rèn)為，在數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間做抉擇是個(gè)偽命題。他們選擇不做選擇，而是用數(shù)字和群論的語言提出問題，在金屬、塑料、木材和電腦屏幕上尋找答案——他們編織、勾勒、構(gòu)建。每年都有許多這樣的人齊聚國際橋梁數(shù)學(xué)與藝術(shù)會(huì)議交流思想，或在兩年一度的加德納聚會(huì)上碰面——該聚會(huì)以馬丁·加德納的名字命名，這位數(shù)學(xué)家曾為本刊撰寫長達(dá)25年之久的著名專欄《數(shù)學(xué)游戲》。

如今，人們對數(shù)學(xué)藝術(shù)的興趣似乎正在蓬勃興起，展覽乃至學(xué)術(shù)期刊的增多都表明了這一點(diǎn)。當(dāng)前這股浪潮的根源可追溯至20世紀(jì)末，但當(dāng)今的藝術(shù)家們召喚著更廣闊的數(shù)學(xué)繆斯，并運(yùn)用著更現(xiàn)代的工具。以下便是其中幾件最引人矚目的作品。

《博羅梅安環(huán)塞弗特曲面》（2008年）

巴斯示巴·格羅斯曼（Bathsheba Grossman）

過去十余年間，定居波士頓的格羅斯曼一直運(yùn)用3D打印技術(shù)，將數(shù)學(xué)雕塑鑄造于金屬之中。她沉醉于對稱性、不可能形態(tài)以及空間分割。此處的三個(gè)外環(huán)彼此不相接觸，卻又環(huán)環(huán)相扣無法分離——若移除其中一環(huán)，另兩環(huán)即可解脫。這種被稱為博羅梅安環(huán)的古老結(jié)構(gòu)，如今出現(xiàn)在國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟的標(biāo)識中。

這些環(huán)屬于鏈環(huán)形式的數(shù)學(xué)家族，每個(gè)成員都由三條閉合曲線構(gòu)成，且任意兩環(huán)均無物理連接。對于鉆研紐結(jié)理論的數(shù)學(xué)家而言，它們之間的交互關(guān)系具有特殊魅力。而由博羅梅安環(huán)所界定的曲面，則被稱作塞弗特曲面。

格羅斯曼的這件雕塑既是紐結(jié)理論的具象化，也是一道空間謎題。為凸顯曲面奇詭的弧線走勢，她采用鏤空紋理——既讓光線在其間嬉戲，又將觀者視線引向這片充滿異想的地形構(gòu)造。

《般若波羅密分形》（1993年）

梅琳達(dá)·格林（Melinda Green）

20世紀(jì)末，一種名為曼德勃羅集合的圖案席卷了數(shù)學(xué)與藝術(shù)界。這套分形體系以法美雙籍?dāng)?shù)學(xué)家伯努瓦·B·曼德勃羅命名，這位已故學(xué)者首次將分形整合為值得深入研究的領(lǐng)域，其1982年著作《大自然的分形幾何學(xué)》至今仍是經(jīng)典。

該集合的構(gòu)建始于復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)（由二維圖形表示），將此點(diǎn)作為特定方程的初始值代入計(jì)算，再將得出的新解反復(fù)回代方程。若計(jì)算結(jié)果始終保持在可控范圍——數(shù)值略有增減卻不會(huì)無限膨脹——?jiǎng)t初始點(diǎn)即屬于該集合。

這類集合的坐標(biāo)圖呈現(xiàn)出標(biāo)志性特征：無論放大或縮小局部，基本形態(tài)都會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。但直至20世紀(jì)90年代，曼德勃羅集合的標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)始終如同巨型甲蟲，邊緣散布著小甲蟲，小甲蟲上又附著更微小的甲蟲。

計(jì)算機(jī)程序員格林并不欣賞這種"甲蟲軀體"的樣貌。她另辟蹊徑編寫程序，著重展現(xiàn)某些點(diǎn)在平面上跳格移動(dòng)的軌跡細(xì)節(jié)。當(dāng)圖像在屏幕上顯現(xiàn)時(shí)，她不禁倒吸涼氣："我都不確定自己是否真的掐了手臂。"那分明是一尊形神兼?zhèn)涞姆鹜釉煜瘛８窳蛛S即調(diào)整代碼強(qiáng)化色彩層次，最終成就這幅作品。許多數(shù)學(xué)家常將數(shù)學(xué)抽象概念比作靈性體驗(yàn)，而格林的"般若波羅密多分形"正是架通二者的具象橋梁。

《南極光》（2010年）

卡洛·H·塞昆（Carlo H. Séquin）

在數(shù)學(xué)藝術(shù)界，加州大學(xué)伯克利分校計(jì)算機(jī)科學(xué)家塞昆以數(shù)百件作品聞名，這些創(chuàng)作將關(guān)于曲面、扭轉(zhuǎn)與維度的玄妙概念賦予實(shí)體形態(tài)。他用木材、金屬和塑料打造了一座名副其實(shí)的數(shù)學(xué)形態(tài)動(dòng)物園。

據(jù)藝術(shù)家自述，這件作品的靈感源于南半球天空上演的天光奇觀——南極光。雕塑中扭轉(zhuǎn)的緞帶呼應(yīng)著光帶的流轉(zhuǎn)韻律：帶狀體從平面漸變?yōu)榍妫罱K復(fù)歸平整并自我閉合。若以指尖沿雕塑蜿蜒路徑游走，無需抬指便可遍歷全貌，最終返回起點(diǎn)。其內(nèi)表面即外表面，這正是莫比烏斯環(huán)的特性——已知最簡單的不可定向曲面，意味著"正面""背面""內(nèi)外翻轉(zhuǎn)"等概念在此失效。

在塞昆看來，這類視覺形態(tài)不僅引人入勝，更成為理解深?yuàn)W數(shù)學(xué)思想的通道。"這能讓厭惡數(shù)學(xué)的人重新聚焦，"他解釋道，"讓人們看到數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不止是機(jī)械記憶。"

《雙曲平面/擬球面》（2005年）

戴娜·泰米娜（Daina Taimina）

泰米娜的幾何手工藝探索始于20世紀(jì)90年代。彼時(shí)，這位如今已退休的數(shù)學(xué)家正在康奈爾大學(xué)教授非歐幾何分支——雙曲幾何課程。在歐氏幾何中，給定一條直線和直線外一點(diǎn)，經(jīng)過該點(diǎn)且平行于原直線的直線有且僅有一條。但在非歐幾何中，經(jīng)過該點(diǎn)且不與原直線相交的直線可能有多條，這是由于雙曲平面具有恒定負(fù)曲率（球面具有恒定正曲率，負(fù)曲率則更接近馬鞍面的形態(tài)）。因此，雙曲平面上三角形的內(nèi)角和總小于180度——這種彎曲的奇異特性，恰如羽衣甘藍(lán)葉片邊緣的褶皺。

泰米娜希望制作可觸摸的模型，讓學(xué)生能直觀感受曲率。她畢生擅長的鉤針編織術(shù)恰好派上用場。憑借鉤針與毛線，她遵循一個(gè)簡單法則——指數(shù)級增加針數(shù)——?jiǎng)?chuàng)造出雙曲曲面。圖中這件作品呈現(xiàn)為處處具有負(fù)曲率的擬球面形態(tài)。

此后，泰米娜用繽紛色彩鉤織了數(shù)十件模型（最重的約17磅），并開創(chuàng)了"雙曲鉤編"技藝。她創(chuàng)作炫目曲面的方法僅有一個(gè)基本步驟："保持恒定曲率。"

《分形樹》（2002年）

約翰·西姆斯（John Sims）

現(xiàn)居佛羅里達(dá)州薩拉索塔的數(shù)學(xué)家兼藝術(shù)家西姆斯，其創(chuàng)作靈感源自廣闊的數(shù)學(xué)思想。畫面中央描繪了生長于分形結(jié)構(gòu)上的樹木——所謂分形，即具有自相似性的圖案：無論放大或縮小局部，基本形態(tài)始終重復(fù)。

這類圖案在自然界中比比皆是：花椰菜蓬松的冠頂、鋸齒狀的山脈輪廓。科學(xué)家們借其研究從宇宙結(jié)構(gòu)到鳥類飛行軌跡的諸多現(xiàn)象。

這件作品融合了真實(shí)樹木影像、手繪樹木圖稿與樹形分形圖案。西姆斯認(rèn)為，它"詮釋了數(shù)學(xué)、藝術(shù)與自然的交匯"。在《分形樹》中，這些聯(lián)結(jié)的形態(tài)如同建筑模塊，大小相生，最終連綴成宏大的網(wǎng)絡(luò)。

2002年，西姆斯在林林藝術(shù)設(shè)計(jì)學(xué)院聯(lián)合策劃"數(shù)學(xué)藝術(shù)/藝術(shù)數(shù)學(xué)"展覽時(shí)，首次公開展出此作。他還以圓周率數(shù)位序列為靈感創(chuàng)作了大量作品，包括拼布被面和時(shí)裝。2015年，他與數(shù)學(xué)家兼藝術(shù)家薇·哈特合作推出《圓周率日頌歌》，二人在動(dòng)感鼓點(diǎn)與貝斯節(jié)拍中吟誦圓周率數(shù)位。

《圣甲蟲》（2018年）

比亞內(nèi)·耶斯佩森（Bjarne Jespersen）

耶斯佩森自稱魔法木雕師。這位丹麥藝術(shù)家追求的是令人難以置信的效果：他希望人們看到、觸摸、把玩他的木雕作品后，仍不敢相信其真實(shí)存在。"與其說是數(shù)學(xué)家或藝術(shù)家，我更像個(gè)魔術(shù)師。"他如是說。

當(dāng)你捧起這顆球體，很快會(huì)發(fā)現(xiàn)每只甲蟲都能獨(dú)立晃動(dòng)，卻又環(huán)環(huán)相扣——若不破壞整體結(jié)構(gòu)，任何一只都無法剝離。整顆球由單一櫸木塊雕刻而成。

耶斯佩森的靈感源于荷蘭藝術(shù)家M.C.埃舍爾，后者的創(chuàng)作多具數(shù)學(xué)精神。埃舍爾將密鋪幾何圖形（即能無縫拼接覆蓋平面的重復(fù)圖案）推向大眾視野。數(shù)學(xué)家們長期研究密鋪的特性——不僅限于平面，更延伸至高維空間。（埃舍爾本人亦受伊斯蘭藝術(shù)中的密鋪啟發(fā)，尤其是裝飾西班牙南部阿爾罕布拉宮的紋樣。）耶斯佩森的《圣甲蟲》正是以甲蟲為基本單元構(gòu)建的立體密鋪。

最后照例放些跟張大少有關(guān)的圖書鏈接。

青山 不改，綠水長流，在下告退。

轉(zhuǎn)發(fā)隨意，轉(zhuǎn)載請聯(lián)系張大少本尊，聯(lián)系方式請見公眾號底部菜單欄。

掃一掃，關(guān)注微信公眾號“宇宙文明帶路黨”