其實現(xiàn)在的高考數(shù)學(xué)題比以前簡單多了，真的！

每年高考數(shù)學(xué)一結(jié)束，只需要零秒就能猜到網(wǎng)上會怎么吐槽。畢竟哪怕是相對簡單的2024年和2025年高考數(shù)學(xué)，平均分也很難達到及格線，至于地獄難度的2022年，已經(jīng)是不堪回首的記憶了。但是如果我們翻開近一百年的中學(xué)數(shù)學(xué)大綱，可能會發(fā)現(xiàn)一個令人意外的事實：今天的數(shù)學(xué)題可比我們的父輩特別是祖輩簡單多了。

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數(shù)學(xué)教育太落后了，中學(xué)必須學(xué)微積分！

眾所周知，數(shù)學(xué)在18-19世紀(jì)有了長足的發(fā)展，出現(xiàn)了歐拉、高斯、黎曼等影響世界的數(shù)學(xué)家，但是彼時的數(shù)學(xué)教育還非常落后，仍然以歐幾里得的《幾何原本》為核心，讓學(xué)生學(xué)習(xí)那些酸澀的證明。這就產(chǎn)生了兩個非常嚴(yán)重的問題，一個是數(shù)學(xué)研究的后備軍跟不上，沒有大量的數(shù)學(xué)研究者幫助天才數(shù)學(xué)家省下一個下午；另外一個便是社會對勞動力的數(shù)學(xué)素質(zhì)要求很高，但是難以用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教育來滿足。

▲ 大家并非沒有想著改善原有的數(shù)學(xué)教學(xué)，但是辦法是，把《幾何原本》的證明做的好看一些，讓大家學(xué)起來更方便。這是Oliver Byrne于1847年編撰的《幾何原本》前六卷（taschen）

英國工程師約翰·培利（John Perry）對此特別不滿，他甚至因為英國人數(shù)學(xué)素質(zhì)差而別國同行嘲笑。1901年9月，他在英國科學(xué)促進會格拉斯哥年會上，對著數(shù)學(xué)與物理分會和教育分會的聯(lián)席會議，把現(xiàn)行數(shù)學(xué)教學(xué)罵了個痛快。他從自身的經(jīng)歷出發(fā)講述數(shù)學(xué)教育的局限性：當(dāng)年當(dāng)學(xué)徒時就知道一些三角和大量代數(shù)，還精通幾何；想學(xué)工程理論，但手頭兩本書全是看不懂的數(shù)學(xué)符號；渴望知道微積分，但是不知道去哪里學(xué)。回過頭看，他覺得自己“為獲得這些符號的知識而喘息了好幾年”。他由此感慨道：純粹數(shù)學(xué)家們偶爾也批評我們的教學(xué)方法，西爾維斯特批評過，德·摩根也批評過，但批評歸批評，什么都沒變。我們不能再等了。再等下去，大英帝國就要完蛋了！

他提的具體主張有幾條：讓學(xué)生用方格紙畫函數(shù)曲線，從圖形上讀出斜率、極值和變化率；用實驗和測量代替純紙面推導(dǎo)來學(xué)幾何；更根本的一條是微積分必須進中學(xué)，而且不是作為尖子生的選修，是面向所有學(xué)生的基礎(chǔ)課。他相信，一個善于思考的教師應(yīng)該“能讓小男孩迅速掌握微積分的基本概念”。這場演講引發(fā)了一場持續(xù)數(shù)小時的討論，后來結(jié)集出版為《數(shù)學(xué)教學(xué)討論錄》。討論的余波還促成了英國科學(xué)促進會成立一個專門委員會，研究數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀和改進方向。

▲ 1899年，約翰·培利出版的《實用數(shù)學(xué)》教科書，第一章便是指數(shù)與對數(shù)（archive）

德國那邊，菲利克斯·克萊因（Felix Christian Klein）推動得更有系統(tǒng)。克萊因是當(dāng)時德國數(shù)學(xué)界最有組織力的人之一，他深知純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)之間的鴻溝不是大學(xué)才存在的，而是在中小學(xué)逐漸形成的。1904到1905年間，他主導(dǎo)了德國數(shù)學(xué)教學(xué)改革的整體規(guī)劃，在梅蘭會議上拿出了具體的課程方案，明確要求把函數(shù)概念和微積分初步寫進中學(xué)大綱。他跟培利方向一致，但做法更制度化和專業(yè)化。不僅有專門的委員會，還出版了《中學(xué)數(shù)學(xué)講義》和《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》兩本書。

▲ Felix Christian Klein，1849-1925

這兩路人馬后來被合稱“培利—克萊因運動”，是20世紀(jì)數(shù)學(xué)教育的第一次大規(guī)模改革運動。但改革推了十幾年，落地的東西相當(dāng)有限。因為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容是由大學(xué)入學(xué)考試決定的，而考試機構(gòu)不打算在短期內(nèi)改變他們的內(nèi)容。培利自己那套教學(xué)法，在少數(shù)學(xué)校試驗了幾年，效果見仁見智，爭議頗多。1912年，一位培利運動的支持者無奈地寫道：“我們談了許多，行動卻甚少。”但這場運動留下了一個東西，就是“微積分進中學(xué)”這個訴求本身。它此后一直沒有從討論桌上消失。此后的半個世紀(jì)里，各國課程在緩慢地向這個方向移動，直到下一次改革契機的到來。

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苦一苦中學(xué)生，罵名數(shù)學(xué)家來擔(dān)

兩次世界大戰(zhàn)對人類的科技發(fā)展在客觀上起到了促進作用，但是也讓大家看到了科技與國家實力的密切關(guān)系，因此要提升科學(xué)教育的質(zhì)量，作為科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教育的提升也被擺在臺面上。1957年，蘇聯(lián)發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星斯普尼克一號，這讓美國大為震驚，稱之為“斯普尼克時刻”。斯普尼克讓美國從各方面反思自己，其中有種觀點認為，蘇聯(lián)之所以能在太空競賽中領(lǐng)先，都是因為他們的數(shù)學(xué)教育特別扎實，因此美國想要在未來的競爭中取得領(lǐng)先，就要加強公眾的數(shù)學(xué)能力。這場運動也被稱為新數(shù)運動。

▲ 20世紀(jì)60年代美國的新數(shù)學(xué)教材（wiki）

新數(shù)運動的“新”字，是跟培利—克萊因運動對照出來的。第一次運動說的是數(shù)學(xué)該教什么，這次說的是數(shù)學(xué)該用什么方式組織。主導(dǎo)這次運動的人，不再滿足于把微積分搬進中學(xué)，他們要從根本上改變中小學(xué)數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)。而這個改變的核心詞，是“結(jié)構(gòu)”二字。

什么叫數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)？這得從法國的布爾巴基學(xué)派說起。這群法國數(shù)學(xué)家從20世紀(jì)30年代起，用公理化和結(jié)構(gòu)化的方式重寫了整個高等數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)分成代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)三大類，一切從集合論出發(fā)。新數(shù)運動的推動者覺得，既然現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)是這個面貌了，中學(xué)就不該再按老一套的算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角的線性順序教下去，而應(yīng)該讓學(xué)生從一開始就接觸到數(shù)學(xué)的底層結(jié)構(gòu)，比如說集合、等價關(guān)系、運算律、群。說得直白一點：與其教孩子算2+3=5，不如先讓他們搞懂什么叫二元運算。

▲ 布爾巴基學(xué)派的成員構(gòu)成到今天仍然是一個謎，創(chuàng)始成員包括亨利·卡爾坦（站著，最左邊）、安德烈·韋爾（站著，右邊第二位）和索萊姆·曼德爾布羅伊特（坐著，最右邊）（Quanta magazine）

由此就誕生了一個著名的笑話：

一位蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家去法國考察，問小學(xué)生2+3等于幾

小學(xué)生說不知道

再問3+2呢

還是不知道

那你知道什么？

我知道2+3等于3+2，因為這是一個阿貝爾群！

與第一次數(shù)學(xué)改革運動不同的是，新數(shù)運動所影響的國家比之前多得多。美國方面，主要推動者有好幾撥。數(shù)學(xué)界這邊，有芝加哥大學(xué)的貝伯曼（Max Beberman），他在20世紀(jì)50年代末就搞了一套叫UICSM（伊利諾伊大學(xué)學(xué)校數(shù)學(xué)項目）的教材實驗，把集合論的語言和發(fā)現(xiàn)式教學(xué)引入課堂；還有SMSG（學(xué)校數(shù)學(xué)研究組），這是在耶魯大學(xué)的貝格（Edward Begle）牽頭的大型項目，集中了一批頂尖數(shù)學(xué)家編寫全套中小學(xué)教材。政府那邊，1958年國會通過《國防教育法》，聯(lián)邦資金大量注入科學(xué)和數(shù)學(xué)教育的改革，SMSG等項目的經(jīng)費相當(dāng)一部分就來自這條線。

▲ UICSM的數(shù)學(xué)實驗教材（americanhistory）

法國這邊走得比美國更遠。1959年，法國數(shù)學(xué)家迪厄多內(nèi)（Jean Dieudonné）喊出了“歐幾里得滾蛋”的口號。20世紀(jì)60年代末，一批布爾巴基成員直接參與了中學(xué)教材的編寫，其中最激進的做法是把微積分之前的所有內(nèi)容用集合論的語言統(tǒng)一重寫。幾何不再是從公理出發(fā)的演繹體系，而是被當(dāng)作線性代數(shù)的直觀模型來講。向量、仿射變換、向量空間，這些大學(xué)數(shù)學(xué)系的標(biāo)配，出現(xiàn)在了法國中學(xué)的課堂上。

▲ André Revuz主編的6年級數(shù)學(xué)教材

蘇聯(lián)的時間晚一些，安德烈·柯爾莫哥洛夫（Андре?й Никола?евич Колмого?ров）從20世紀(jì)60年代起擔(dān)任蘇聯(lián)中學(xué)數(shù)學(xué)課程委員會的組長，1968到1969年間推出了新的教學(xué)大綱，覆蓋4到10年級，整個中學(xué)階段。內(nèi)容包括引入集合論作為基礎(chǔ)語言，用向量和坐標(biāo)方法重新組織幾何教學(xué)，把概率論和組合數(shù)學(xué)編入課程，強調(diào)函數(shù)的統(tǒng)一觀點。柯爾莫哥洛夫親自操刀編寫了6到8年級的幾何教科書，核心思路是用向量取代傳統(tǒng)的歐幾里得演繹體系，不再從公理出發(fā)一條一條地證，而是用向量運算和坐標(biāo)變換來處理幾何問題。他同時也把自己最拿手的概率論塞進了中學(xué)課本。

▲ 蘇聯(lián)6-8年級教材——幾何，480頁塞進去了1300道習(xí)題，這是第五章向量

中國雖然沒有直接進行新數(shù)運動，也進行了一場“數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化”的嘗試，口號是“能編多高編多高”。解析幾何、概率統(tǒng)計都塞進了中學(xué)，最激進的試點方案甚至寫到了常微分方程，平面幾何則大幅精簡，正負數(shù)和計算題下放到小學(xué)。代數(shù)、幾何、三角不再分科，而是統(tǒng)稱“數(shù)學(xué)”，號稱“一條龍”體系。不過這些嘗試很快就被叫停。

▲ 微積分學(xué)包括極限與聯(lián)系、微分學(xué)、積分學(xué)和常微分方程、空間解析幾何等五章（新中國中小學(xué)教科書圖文史·數(shù)學(xué)）

新數(shù)運動很快就遇到了問題。首先是老師們看不懂，教材是頂尖數(shù)學(xué)家寫的，教書的卻是普通的中學(xué)老師。很多教師自己就沒學(xué)過集合論和抽象代數(shù)，現(xiàn)在要他們用這套語言去給十四五歲的孩子講數(shù)學(xué)，場面可以想象。第二個問題是學(xué)生跟不上。集合、等價類、二元運算這些概念，對一個剛學(xué)完分數(shù)加減法的孩子來說，簡直是誤闖天家。家長更困惑，他們翻開孩子的數(shù)學(xué)課本，發(fā)現(xiàn)自己完全看不懂，連作業(yè)都沒法輔導(dǎo)。第三個問題是，計算能力大面積滑坡。新數(shù)運動貶低機械運算，強調(diào)概念理解，但概念理解沒建立起來，基本計算能力反而丟了。

到了70年代，大家逐漸開始放棄新教材，回到了更為傳統(tǒng)的路線。新數(shù)運動雖然失敗，但他也留下來了一些遺產(chǎn)。一方面，集合論的語言和函數(shù)概念從此確實進入了中學(xué)課本，雖然不再是主角，但至少存在了；另一方面，它給后來的改革者提供了一個反面教材：數(shù)學(xué)教育改革不能只靠數(shù)學(xué)家。

1999年，《時代》雜志將新數(shù)學(xué)列入20世紀(jì)100個最糟糕的想法名單。

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數(shù)學(xué)到底該怎么教呢？

新數(shù)運動失敗以后，人們開始反思：改革到底留下了什么？說全盤失敗，也不完全對。它提出的幾條思路，包括要把現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新發(fā)展反映到課程里、重視科學(xué)方法、強調(diào)發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)、把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成過程而不是結(jié)果等。這些想法本身沒有錯，而且在后來的改革里一直存在。我國現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課改，很多提法都能追溯到新數(shù)運動那一代人。

第三次改革從1980年代初開始，一直延續(xù)到現(xiàn)在。它面對的形勢跟前兩次不一樣了。中等教育在各國基本普及，上大學(xué)不再是少數(shù)人的事，終身教育的說法也出來。“以學(xué)生的發(fā)展為本”這句話在各國的政策文件里反復(fù)出現(xiàn)。同時，信息技術(shù)滲透到日常生活，公眾對數(shù)學(xué)的理解深度也得跟上。再加上各國數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量普遍下滑，焦慮感在政界和公眾中蔓延，改革不得不推。

20世紀(jì)80年代末，美國全國數(shù)學(xué)教師委員會（NCTM）發(fā)布了課程標(biāo)準(zhǔn)，把“問題解決”定為學(xué)校數(shù)學(xué)的核心，同時強調(diào)應(yīng)用性、降低統(tǒng)一性、增加選擇性，倡導(dǎo)探究式學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，評價也不只看考試分數(shù)，還看“努力程度、行為表現(xiàn)和到校上課率”。聽起來也是很好的，結(jié)果落地出問題了。

過分強調(diào)問題解決，基礎(chǔ)知識就沒人管了。過分強調(diào)應(yīng)用性，數(shù)學(xué)學(xué)科本身的系統(tǒng)性被拆散了。過分強調(diào)學(xué)生的興趣和自主建構(gòu)，跟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身的特性產(chǎn)生了沖突，畢竟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可能總是好玩的。合作學(xué)習(xí)也有問題。沒有精心設(shè)計的合作幾乎必然跑偏，學(xué)生不知道該討論什么，聊著聊著就離題了，而且容易催生依賴心理，最后全靠大腿帶。

到了20世紀(jì)末，美國數(shù)學(xué)教育界爆發(fā)了一場激烈的公開論戰(zhàn)，史稱“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭”（Math Wars）。一邊是以NCTM為代表的改革派，堅持建構(gòu)主義和問題解決路線；另一邊是傳統(tǒng)派，要求恢復(fù)系統(tǒng)知識的講授和基本技能的訓(xùn)練。加州是這場戰(zhàn)爭的主戰(zhàn)場，所以加州的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在改革派和傳統(tǒng)派之間來回搖擺了好幾輪，很多工程師和科學(xué)家家長對學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)怒不可遏，自己給孩子補課。

最后“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可能總是好玩的”被寫進了政策討論。這場轟轟烈烈的運動，似乎又是虎頭蛇尾。似乎這就成為了數(shù)學(xué)教育改革的必然結(jié)局。每一個方向都糾正了前一次的偏失，每一個方向也都制造了新的偏失。回頭看，有用、嚴(yán)謹、為學(xué)生，這三個訴求，沒有一個是錯的，但也沒有一個可以單獨撐起數(shù)學(xué)教育。怎么把三者擰到一起，到今天仍然是個沒有標(biāo)準(zhǔn)答案的問題。

所以，當(dāng)大家看著數(shù)學(xué)題反反復(fù)復(fù)的風(fēng)格與難度切換覺得頭大如斗的時候，可能數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)老師們更加難過。人類世界又走到了數(shù)學(xué)與時代發(fā)展錯位的地步，這次應(yīng)該怎么辦呢？

▲ AI時代，繼續(xù)加強學(xué)生的數(shù)學(xué)教育嗎？沒有人知道答案（圖源網(wǎng)絡(luò)，真實性待考）