湖南
一、預備說明
設題目中的函數均在所討論的點處有定義，討論商函數 在點 處的連續性時，僅有 ， 并不能保證商函數在 附近有定義。因為當 在 處不連續時，即使 ， 仍然可能在任意靠近 的位置取零。 因此，以下關于商函數的討論均額外假設：存在 ，使得 ，
基本結論
(1)若 均在點 處連續, 則 ; ; 在點 處也連續.
(2)若 在點 處連續, 在 處連續, 則 在點 處也連續.
問題（1）： 連續、 不連續
設 在 處連續， 在 處不連續。
1.
結論： 與 在 處 一 定 不 連 續
如果 在 處連續，那么 應當是兩個連續函數之差，從而 在 處連續，這與題設矛盾。
同理，如果 連續，那么 也應當連續，仍然產生矛盾。
因此， 與 都一定不連續。
2.
需要根據 是否等于零進行討論。
情形一：
結論： 在 處 一 定 不 連 續
如果 連續，由于 連續且 ，所以 在 附近不為零。于是 右側是連續函數之商，因此 應當連續，與題設矛盾。
情形二：
結論： 的 連 續 性 不 能 確 定
它可能連續，也可能不連續。
可以連續的例子：令 ，取 ,
則 在 處連續， 在 處不連續，而 所以乘積在 處連續。
可以不連續的例子：取 , 則 所以乘積在 處不連續。
3.
假設 ，并且商函數在 附近有定義。
情形一：
結論： 在 處 一 定 不 連 續
反設 在 處連續。因為 所以 在 附近不為零。于是 由于 都連續且 ，所以 應當連續，與題設矛盾。
情形二：
結論： 的 連 續 性 不 能 確 定
可以連續的例子：取 , 則 不連續且處處不為零，但 所以商函數連續。
可以不連續的例子：取 , 則 連續、 不連續，并且 。此時 所以商函數在 處不連續。
問題（2）： 與 都不連續
設 在 處都不連續。
結論：僅根據這兩個條件，無法確定 、 或 的連續性。不連續性可能相互抵消，也可能不抵消。
以下均取 。
1.
定義 在 處不連續。
和函數可以連續：取 , 則 所以和函數連續。
和函數可以不連續：取 , 則 所以和函數不連續。
因此： 的 連 續 性 不 能 確 定
2.
差函數可以連續：取 , 則
差函數可以不連續：取 , 則 所以差函數不連續。
因此： 的 連 續 性 不 能 確 定
3.
定義
乘積可以連續：取 , 則 所以乘積連續。
乘積可以不連續：取 , 則 所以乘積不連續。
因此： 的 連 續 性 不 能 確 定
4.
假設 ，且 在 的某個鄰域內不取零。 定義
商函數可以連續：取 , 則 都不連續，但 所以商函數連續。
商函數可以不連續：取 , 則 都不連續， ，且 處處不為零。但是
所以商函數不連續。
因此： 的 連 續 性 不 能 確 定
問題（3）：內函數連續，外函數不連續
已知 在 處連續，而 在 處不連續。
結論： 在 處 的 連 續 性 不 能 確 定
外函數 雖然在 處不連續，但 的局部值域可能沒有充分經過 的不連續部分，甚至 可能是常函數。
取 ，定義 則 在 處不連續。
復合函數可以不連續
令 , 則 在 處連續，并且 在 處不連續。
復合函數可以連續
令 , 則 在 處連續，并且 所以復合函數連續。
問題（4）：內函數不連續，外函數連續
已知 在 處不連續，而 在 處連續。
結論： 在 處 的 連 續 性 不 能 確 定
外函數可能保留內函數的不連續性，也可能把內函數的不同跳躍值映射成同一個值，從而消除不連續性。
取 ，定義 則 ，并且 在 處不連續。
復合函數可以不連續
取 , 在 處連續，但是 在 處不連續。
復合函數可以連續
取 , 則 所以復合函數連續。
問題（5）：內函數與外函數都不連續
已知 在 處不連續， 在 處也不連續。
結論： 在 處 的 連 續 性 不 能 確 定
取 ，定義 則 ，且 在 處不連續。
復合函數可以連續
定義 或 在 處不連續。但是由于 只取 和 ，所以 因此復合函數連續。
復合函數可以不連續
定義 則 在 處不連續，并且 所以復合函數在 處不連續。
結論匯總 1. 四則運算
注:對于商函數，還必須保證 在 的某個鄰域內不為零。
2. 復合函數
核心結論
復合函數連續性定理說明： 在 處 連 續 在 處 連 續 能夠推出 在 處 連 續
但這是充分條件，并不是一般意義下的必要條件。
當其中一個函數不連續，或者兩個函數都不連續時，不能簡單斷定復合函數一定不連續。此時需要分析：
當 時， 實際取到或趨近哪些值；
在這些值上的表現；
是否把 的不同跳躍值映射為同一個值；
復合后不連續性是否被抵消。
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