把張益唐坑苦的雅可比猜想，被Fable 5證偽了？

編輯｜Panda

今天上午，一位在 Anthropic 工作的數(shù)學(xué)家 Levent Alpoge 發(fā)了一條推文。

推文開(kāi)頭是一句慵懶的「hello there」，接著他說(shuō)：雅可比猜想是錯(cuò)的。然后他感謝了兩個(gè)人：一個(gè)是「問(wèn)起這件事的好朋友 akhil」，另一個(gè)是「在世界杯決賽期間還在干活的好朋友 fable」。

后面那位「fable」自然是 Anthropic 的大模型 Claude Fable 5。

推文正文剩下的部分是一串誰(shuí)都能抄下來(lái)驗(yàn)證的多項(xiàng)式：一個(gè)從 C3 到 C3 的映射，雅可比行列式恒等于 -2，卻把三個(gè)完全不同的點(diǎn) (0, 0, -1/4)、(1, -3/2, 13/2) 和 (-1, 3/2, 13/2) 一起送到了同一個(gè)點(diǎn) (-1/4, 0, 0) 上。

就這么幾行字。一個(gè)自 1939 年提出、被寫(xiě)進(jìn)斯蒂芬·斯梅爾「21 世紀(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題」清單、困住整整一代代數(shù)幾何學(xué)家、連兩個(gè)變量的最簡(jiǎn)單情形都沒(méi)人解決的猜想，被一條推文當(dāng)成了隨手一提的腳注。

簡(jiǎn)而言之，F(xiàn)able 5 找到了雅可比猜想的一個(gè)反例：

這條推文引發(fā)廣泛關(guān)注，瀏覽量已經(jīng)超過(guò) 500 萬(wàn)，田淵棟等諸多大佬留言轉(zhuǎn)發(fā)評(píng)論，宛如過(guò)年。

這是一條推文，也是一篇論文

學(xué)術(shù)圈的反應(yīng)很快。斯坦福的數(shù)論學(xué)家 Jared Duker Lichtman 轉(zhuǎn)發(fā)并逐步拆解了這個(gè)反例，還順手挖出了一段幾乎像電影橋段的歷史巧合（后面細(xì)說(shuō)）。他把這項(xiàng)工作的署名寫(xiě)作「Alpoge、Mathew 和 Claude Fable 5」——這里的 Mathew 指芝加哥大學(xué)的代數(shù)幾何學(xué)家 Akhil Mathew，也就是推文里那位「問(wèn)起這件事的 akhil」。

在 Hacker News 上，熱度同樣很高，評(píng)論區(qū)彌漫著一種混合了敬畏和荒誕的情緒。有人寫(xiě)下那句被反復(fù)引用的話(huà)：「他就……把它發(fā)了條推。」另一位補(bǔ)刀：「我給維基百科詞條加 {{Cite tweet}} 的時(shí)候都有點(diǎn)不好意思。」還有人盯著那個(gè)非常規(guī)寫(xiě)法的「thanx」感慨：「這個(gè)『thanx』要載入史冊(cè)了。」

也有人被那條推文的形式逗樂(lè)了：這個(gè)猜想撐了 85 年，而推翻它的公告發(fā)在一個(gè)七天后就會(huì)過(guò)期的格式里。

X 上的氣氛更松弛，有人說(shuō)這條推文本來(lái)可以讓一個(gè)人獲得博士學(xué)位：

還有人說(shuō)「我太喜歡 AI 讓突破性數(shù)學(xué)變得這么隨意了」；有人貼出自己讓 Fable 驗(yàn)證結(jié)果時(shí)模型的反應(yīng)，按幾位網(wǎng)友的描述，模型一邊瘋狂地用五種方法反復(fù)核對(duì)，一邊不敢相信這是真的。還有一句流傳甚廣的調(diào)侃：「我讓 Fable 幫我驗(yàn)證，它徹底炸了！我完全看不懂這些是什么意思，但我的 AI 覺(jué)得我是個(gè)傳奇級(jí)數(shù)學(xué)家。」

事實(shí)上，也有人認(rèn)為這條推文本身就是一篇論文，他們還舉例了歷史其它一些篇幅很小的數(shù)學(xué)論文，甚至比這條推文更短：

熱鬧之外，也有認(rèn)真的懷疑。有人第一反應(yīng)是：這個(gè)反例這么「小」，degree 這么低、系數(shù)也不大，85 年里難道沒(méi)人做過(guò)一次小范圍的窮舉搜索嗎？這個(gè)問(wèn)題，我們放到后面回答。

雅可比猜想到底在問(wèn)什么

先把這件事說(shuō)清楚，它其實(shí)比聽(tīng)上去友好。

想象一個(gè)多項(xiàng)式映射：輸入幾個(gè)數(shù)，只用加法、乘法和整數(shù)次冪，輸出另外幾個(gè)數(shù)。Alpoge 給的這個(gè)例子就是把三維空間里的點(diǎn) (x, y, z) 映射到三維空間里的另一個(gè)點(diǎn)。

對(duì)任何這樣的映射，你都能寫(xiě)出一個(gè)叫「雅可比矩陣」的東西，里面裝滿(mǎn)了它的偏導(dǎo)數(shù)，本質(zhì)上是一張表，描述每個(gè)輸出對(duì)每個(gè)輸入的微小擾動(dòng)有多敏感。這張表的行列式是一個(gè)數(shù)，它告訴你：在某一點(diǎn)附近，這個(gè)映射是不是「局部可逆」的。

雅可比猜想問(wèn)的是一個(gè)很具體的版本：如果這個(gè)行列式處處等于同一個(gè)非零常數(shù)，那能不能保證整個(gè)映射是全局可逆的。也就是說(shuō)，你總能從任意一個(gè)輸出倒推回那個(gè)唯一的輸入，而且倒推的公式還是個(gè)多項(xiàng)式？

微積分里的反函數(shù)定理已經(jīng)告訴我們，非零的雅可比行列式是局部有光滑逆的必要條件。1939 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家 Ott-Heinrich Keller 想知道的是：這個(gè)「局部」的條件，夠不夠強(qiáng)到撐起「全局」的結(jié)論。

聽(tīng)上去像是 1950 年之前就該被解決的問(wèn)題。結(jié)果它成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)里最著名的陷阱之一。

為什么它撐了 85 年

雅可比猜想在數(shù)學(xué)家中間的名聲，是「看起來(lái)平易近人，實(shí)則專(zhuān)啃學(xué)術(shù)生涯」。它排在斯梅爾那份面向 21 世紀(jì)的問(wèn)題清單的第 16 位，和黎曼猜想、Navier-Stokes 方程并列。即便是最簡(jiǎn)單的兩變量情形，至今也沒(méi)被解決。

它還以「假證明」多而聞名。維基百科詞條里就有一句幾乎是免責(zé)聲明式的描述：雅可比猜想以大量后來(lái)被發(fā)現(xiàn)含有微妙錯(cuò)誤的已發(fā)表和未發(fā)表證明而「臭名昭著」。

幾十年下來(lái)，研究它的人養(yǎng)成了一種近乎條件反射的謹(jǐn)慎：一個(gè)新的雅可比猜想「證明」出現(xiàn)時(shí)，默認(rèn)是「有罪推定」，先假設(shè)它錯(cuò)了再說(shuō)。

正是這種名聲，讓這次的公告顯得格外不同。因?yàn)檫@一次不是又一個(gè)「證明」，而是相反的東西：一個(gè)寫(xiě)得明明白白、滿(mǎn)足猜想全部前提、卻偏偏不可逆的具體函數(shù)。

反例，用大白話(huà)說(shuō)

Alpoge 貼出的這個(gè)函數(shù)，接收三個(gè)數(shù) (x, y, z)，輸出三個(gè)新數(shù)，全部由輸入的和與積搭出來(lái)。它的雅可比行列式算出來(lái)是常數(shù) -2，處處非零——正好是猜想在意的那個(gè)條件。

但它把三個(gè)貨真價(jià)實(shí)不同的起點(diǎn)，(0, 0, -1/4)、(1, -3/2, 13/2) 和 (-1, 3/2, 13/2)，送到了同一個(gè)終點(diǎn) (-1/4, 0, 0)。一個(gè)不可逆的函數(shù)必須干的，正是這件事：把至少兩個(gè)不同的輸入壓到同一個(gè)輸出上。這里它一口氣壓了三個(gè)。

一次這樣的「碰撞」就足以擊沉整個(gè)猜想。剩下的全是算術(shù)，任何人拿筆把數(shù)字代進(jìn)去就能驗(yàn)證。也因此，數(shù)學(xué)圈這次接得這么快。Lichtman 在拆解里寫(xiě)道，由于 F 把三個(gè)不同的點(diǎn)送到了同一個(gè)像，它不可能可逆。

一個(gè)繞不開(kāi)的問(wèn)題：為什么以前沒(méi)人找到？

回到前面那個(gè)懷疑：例子這么小，怎么以前沒(méi)人窮舉出來(lái)？

Hacker News 上有人給出了一個(gè)不算浪漫但可能接近真相的解釋?zhuān)翰皇钦也坏剑菦](méi)人去找。學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)里錢(qián)不多，真正熱愛(ài)它的人往往盯著的是「高價(jià)值」的大定理，而這種把猜想一擊斃命的低次反例，歷史上多半是業(yè)余愛(ài)好者的領(lǐng)地；而近幾年「一切皆可變現(xiàn)」的風(fēng)氣，又把人從這類(lèi)無(wú)功利的智力消遣里推開(kāi)了。

換句話(huà)說(shuō)，答案可能不在數(shù)學(xué)里，而在「誰(shuí)有閑心去搜」這件事上。

也有人提出，F(xiàn)able 之所以能合成出這個(gè)反例，或許恰恰因?yàn)樗缸x過(guò)」大量前人失敗的證明。那些錯(cuò)誤嘗試?yán)飳?duì)多項(xiàng)式施加的種種約束，可能以某種方式被模型內(nèi)化，再借著作者的反復(fù)提示和 Wolfram Alpha 的驗(yàn)證，一點(diǎn)點(diǎn)逼近到最終這串式子上。這個(gè)說(shuō)法目前只是猜測(cè)，反對(duì)者的反駁也很直接：那些「假證明」是奔著證明去的，未必對(duì)「找反例」有任何幫助；退一步說(shuō)，反例就是反例，在此之前沒(méi)人找到過(guò)，哪怕他們同樣讀得到那些前人的工作。

這場(chǎng)爭(zhēng)論本身，或許比反例更有意思——它觸及的是一個(gè)更大的問(wèn)題：當(dāng)模型開(kāi)始參與真實(shí)的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，它到底是在「檢索」人類(lèi)已有的智慧，還是在「創(chuàng)造」新的東西。

一段關(guān)于張益唐的奇異回響

這個(gè)故事里最戲劇性的部分，其實(shí)和 AI 無(wú)關(guān)。

據(jù) Lichtman 梳理，雅可比猜想（的一個(gè)特例）正是曾在孿生素?cái)?shù)猜想和黎曼猜想上取得過(guò)實(shí)質(zhì)性突破的頂級(jí)數(shù)學(xué)家張益唐博士期間的課題。當(dāng)年他的導(dǎo)師讓他在自己證過(guò)的一個(gè)引理之上做這項(xiàng)工作，而那個(gè)引理后來(lái)被發(fā)現(xiàn)是錯(cuò)的。張益唐的整篇博士論文，也隨之坍塌。

后面的故事很多人都知道了：論文垮掉后，張益唐拿不到需要的推薦信，多年輾轉(zhuǎn)于各種工作之間，直到四十多歲才拿到一個(gè)穩(wěn)定的學(xué)術(shù)職位；但他最終證明了素?cái)?shù)間隔有界這一里程碑式的結(jié)果。這被認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最勵(lì)志的翻身故事之一。

而如今，這個(gè)曾在張益唐學(xué)術(shù)生涯起點(diǎn)處把他絆倒的猜想，四十年后被另一群人外加一個(gè)大模型在世界杯決賽夜給了結(jié)了。歷史的回響，有時(shí)候安排得比小說(shuō)還工整。

但先別急著改教科書(shū)

有一件事必須說(shuō)清楚：截至發(fā)稿，這個(gè)結(jié)果還沒(méi)有經(jīng)過(guò)正式的同行評(píng)審。而該猜想的維基百科詞條經(jīng)過(guò)多次拉鋸式的反復(fù)修改，目前已經(jīng)對(duì)該推文的證明給予了認(rèn)可。

好消息是，這個(gè)反例的驗(yàn)證門(mén)檻極低：它不是一份幾十頁(yè)、需要專(zhuān)家逐行審查的證明，而是一個(gè)把數(shù)字代進(jìn)去就能算的具體函數(shù)。也因此，在缺乏正式論文的情況下，社區(qū)仍然愿意在幾小時(shí)內(nèi)認(rèn)真對(duì)待它。多位數(shù)學(xué)家已經(jīng)用 Wolfram Alpha 復(fù)算并確認(rèn)了那幾個(gè)關(guān)鍵數(shù)值。但「大家都算過(guò)、看起來(lái)對(duì)」和「已被學(xué)界正式接受」之間，仍隔著一道流程。

圍繞它的后續(xù)問(wèn)題也已經(jīng)浮現(xiàn)。比如，猜想的某個(gè)「修補(bǔ)版」是否還能幸存？社區(qū)里流傳著一個(gè)據(jù)稱(chēng)來(lái)自 OpenAI 模型的提議：如果補(bǔ)上一個(gè)排除「無(wú)窮遠(yuǎn)處退化」的條件，猜想或許仍然成立。這個(gè)補(bǔ)丁版本是真能被證明，還是又一個(gè)等著崩塌的死胡同，現(xiàn)在沒(méi)人知道。

值得追問(wèn)的，不只是一個(gè)猜想的生死

把這件事放進(jìn)更長(zhǎng)的脈絡(luò)里，它是最近一連串結(jié)果中的最新一個(gè)。這些結(jié)果共同指向一個(gè)判斷：前沿模型正在從競(jìng)賽題和智力游戲，走進(jìn)真正的開(kāi)放問(wèn)題。就在不久前，還有 AI 系統(tǒng)被報(bào)道解決了多個(gè)懸置數(shù)十年的 Erd?s 問(wèn)題，并生成了可被機(jī)器驗(yàn)證的形式化證明。

但雅可比這個(gè)例子有點(diǎn)不一樣。它不是在一個(gè)已知題庫(kù)上刷分的形式化證明搜索，而是一位真正的在職數(shù)學(xué)家，把模型當(dāng)成一個(gè)研究協(xié)作者，去獵捕一個(gè)有名有姓、懸了幾十年的具體猜想的反例；然后不聲不響地發(fā)了條推。

https://x.com/alpoge/status/2079028340955197566

https://x.com/jdlichtman/status/2079066717762863249

https://news.ycombinator.com/item?id=48973869

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture

https://officechai.com/ai/an-anthropic-researcher-says-fable-just-helped-him-disprove-the-85-year-old-jacobian-conjecture/

https://explainx.ai/blog/fable-5-jacobian-conjecture-counterexample-alpoge-july-2026