希爾伯特23問，哪些已解決，哪些仍無答案？

1900年，著名數學家戴維·希爾伯特（David Hilbert）在國際數學家大會上提出了面向下一世紀的23個數學問題。這些問題涉及數學基礎、數論、幾何、分析和代數等廣泛領域，并在后來成為數學發展歷程中的一系列里程碑。無論是已經解決的問題，還是仍未解決的問題，都催生了無數新的研究。

1974年，美國數學會舉辦了一場題為“由希爾伯特問題引發的數學發展”的專題研討會，其會議論文后來匯編成一部厚達600頁的文集。直到今日，大家仍在不斷關注希爾伯特問題取得的新進展或獲得的新解答。

在希爾伯特發表1900年演講的一個多世紀后，他所提出的這些問題在國際數學家大會上仍具有巨大影響。在將于今年7月底于費城舉行的國際數學家大會上，將有兩場報告專門深入探討關于第一問和第六問的令人振奮的新進展。

一個多世紀過去，這23個問題有的已經得到解決，有的只在特定情形下取得突破，還有一些至今仍懸而未決。接下來，我們將逐一回顧希爾伯特23個問題，看看它們分別走到了哪一步。

1. 連續統假設

對數學家而言，并非所有的無窮都具有相同的大小。自然數——1、2、3……——所構成的無窮，小于全體實數所構成的無窮。而在實數的無窮之上，還存在一層層更大的無窮。希爾伯特第一問題也被稱為連續統假設。它斷言，在自然數集合的無窮與實數集合的無窮之間，不存在其他大小的無窮。

根據庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）和保羅·寇恩（Paul Cohen）的研究，數學家已經知道，連續統假設獨立于通常采用的集合論公理體系，也就是說，僅憑這些公理既無法證明它，也無法否定它。不過，不同的公理化立場仍然為進一步研究留下了空間。在2026年國際數學家大會上，David Aspero和Ralf Schindler將介紹他們近期在這一問題上的研究。

狀態：情況復雜

2. 算術公理的相容性

希爾伯特第二問題是要證明算術具有相容性，也就是說，他希望將算術法則建立在一個嚴密無隙、不會產生矛盾的公理體系之上。但在1931年，哥德爾打破了這一設想。他通過不完全性定理證明，對于一個稱為佩亞諾算術（算術的一種常見基礎）的形式體系，不可能僅僅使用皮亞諾算術自身的公理來證明該體系的相容性。至于這一結果是否足以被視為對希爾伯特問題的充分解答，數學界仍存在一定爭議。

狀態：情況復雜

3. 等分解性

任意一個多邊形都可以被切分成有限塊多邊形，再重新拼成任意另一個面積相同的多邊形。希爾伯特第三問題——也是最早得到解決的希爾伯特問題——詢問的是：同樣的結論是否也適用于三維多面體？

1900年，甚至在希爾伯特演講的書面版本正式發表之前，他的學生馬克斯·德恩（Max Dehn）就已經構造出了一個反例。他證明，一個立方體不可能被切分成有限個多面體塊，再重新拼成一個與它體積相同的四面體。

狀態：已解決

如圖中具有剪切全等關系的正方形和三角形所示，要證明兩個多邊形面積相等，有時只需將它們切分并重新排列即可。但一個反例證明，在三維空間中，體積相等的多面體不一定具有這種等分解性。（圖/Lucy Reading-Ikkanda/Simons Foundation; Source: Wolfram Mathworld）

4. 直線是兩點之間的最短距離

這個問題研究的是：當我們放寬歐幾里得幾何的規則時，會出現怎樣的幾何體系。更具體地說，在哪些幾何體系中，直線仍然是連接兩點之間的最短路徑，但標準歐幾里得幾何的其他性質卻未必成立？一些數學家認為，這個問題通常被認為表述過于寬泛，難以給出明確的最終解答；不過，它確實啟發了大量后續研究。

狀態：表述過于寬泛

5. 李群

李群是描述連續變換的一類代數對象。在最初的理論表述中，挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie）假定這些變換還具有可微性，也就是說，它們所描述的連續變換可以利用微積分工具加以分析。希爾伯特想問的是：如果去掉這一可微性假設，李最初建立的理論框架是否仍然成立？

20世紀50年代初，安德魯·格里森（Andrew Gleason）、迪恩·蒙哥馬利（Deane Montgomery）和利奧·齊平（Leo Zippin）證明，可微性并非一個必需的假設。不過，對這一問題另有一種更加一般化的理解，而該版本至今仍未解決。

狀態：部分情形已解決

6. 物理學的公理化

希爾伯特最關心的問題之一，是理解數學各領域的基礎；如果某個領域尚未具備這樣的嚴格基礎，就為它建立一套公理化基礎。希爾伯特第六問題，是要把這種公理化方法推廣到那些高度數學化的物理學分支。

目前，不同物理領域已經陸續實現了公理化：從1903年的經典力學，到2025年由鄧煜（Yu Deng）、扎赫爾·哈尼（Zaher Hani）和馬驍（Xiao Ma）完成的流體動力學公理化工作。

狀態：部分情形已解決

7. 某些數的超越性

如果一個數能夠成為某個有理系數多項式的零點，那么這個數就稱為代數數。例如，2是多項式x?2的一個零點，而√2是多項式x2-2的一個零點。代數數既可以是有理數，也可以是無理數；像π這樣的超越數，則是那些不屬于代數數的無理數。

希爾伯特第七問題研究的是代數數的冪。考慮表達式a?，其中a是一個不等于0或1的代數數，b是一個無理代數數。那么，a?是否一定是超越數？

1934年，亞歷山大·格爾豐德（Aleksandr Gelfond）和特奧多爾·施奈德（Theodor Schneider）分別證明了答案是肯定的。

狀態：已解決

8. 素數問題

著名的黎曼猜想涉及某個復函數零點的位置，并對素數的分布具有重要影響。希爾伯特還在這一問題中納入了其他與素數有關的問題。時至今日，黎曼猜想仍被視為數學中最重要的未解問題之一。

狀態：未解決

黎曼ζ函數沿臨界線 (1/2+it) 運動時形成的軌跡。黎曼猜想研究的正是這一函數的行為，至今仍是數學中最重要的未解問題之一；一旦得到解決，它有望揭示素數分布中隱藏的規律。（圖/Lucy Reading-Ikkanda/Simons Foundation; Source: Linas Vepstas）

9. 廣義互反律

這個問題涉及代數數域，也就是在有理數域的基礎上加入一些數，例如√2或某些復數，由此得到的擴張數域。希爾伯特希望找到適用于任意代數數域的、最一般形式的互反律，也就是確定：在給定的數域中，哪些多項式方程可以求解，需要滿足什么條件。多年來，數學家在這一問題以及與之密切相關的第十二問上已經取得了大量進展，但二者都尚未得到完全解決。

狀態：情況復雜

10. 丟番圖方程

含有有限個變量、且系數均為整數的多項式方程，稱為丟番圖方程。例如：x2+y2 = 5或 3xy = z3都是丟番圖方程。按照經典定義，人們要找的是這類方程的整數解。希爾伯特想知道，是否存在一種通用算法，能夠判斷任意一個丟番圖方程究竟有沒有整數解。1970年，尤里·馬季亞謝維奇（Yuri Matiyasevich）證明，這樣的算法并不存在。與此同時，關于某些特定類型丟番圖方程的相關問題，至今仍是十分活躍的研究領域。

狀態：已解決

11. 任意二次型

二次型是這樣一類表達式，例如x2+2xy+y2：它的系數都是整數，而且每一項中未知數的總次數都等于2。在上述二次型中，9可以用整數來表示——只需令 x=1、y=2；但8無法由這個二次型在整數范圍內表示。一些形式不同的二次型，可能能夠表示同一組整數。希爾伯特希望找到一種對二次型進行分類的方法，從而判斷兩個二次型是否表示同一個數的集合。赫爾穆特·哈斯（Helmut Hasse）在一種特定情形下解決了這個問題，但在其他數學框架下，相關研究仍在繼續。

狀態：部分情形已解決

12. 將克羅內克關于阿貝爾域的定理推廣到任意代數數域

與第九問類似，這個問題涉及通過加入某些無理數或復數，對有理數域進行擴張。希爾伯特對該問題的原始表述中包含一些錯誤，這可能延緩了研究進展；但這一問題催生了類域論——代數數論的一個重要分支。目前，數學家只對其中少數幾類域擴張形成了完整理解。

狀態：未解決

13. 七次多項式

這個問題要具體得多。它詢問的是：所有七次多項式方程，比如x?+ax3+bx2+cx+1=0，能否僅通過加、減、乘、除運算，以及至多含兩個變量的代數函數求解？1957年，弗拉基米爾·阿諾德（Vladimir Arnold）和安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）證明任意n個變量的連續函數——包括 n=7 的情形——都可以表示為若干二元連續函數的復合。不過，數學家最近在阿諾德的研究中發現了一些線索，表明希爾伯特真正想問的是一個更為一般的問題。由此，數學界重新開始研究這一問題。

狀態：部分情形已解決

14. 不變量系統的有限性

不變量理論是希爾伯特最早關注的數學領域之一。這一代數分支研究群如何作用于其他數學對象。此前，希爾伯特已經證明，以某種特定方式從更大的代數結構中產生的一類環必定是有限生成的；也就是說，只需有限多個基本元素，就可以描述或生成整個環。希爾伯特由此追問：對于范圍更廣的一類環，同樣的結論是否成立？1959年，永田雅宜（Masayoshi Nagata）構造出了一個反例解決了這個問題。

狀態：已解決

15. 舒伯特演算

希爾伯特第十五問題同樣是一個關于數學嚴謹性的問題。他要求數學家為赫爾曼·舒伯特（Hermann Schubert）的枚舉演算建立嚴格的數學基礎。枚舉演算是研究幾何中各類計數問題的一個數學分支。對于段海豹和趙學志在2020年發表的工作是否已經完全解決了這一問題，數學界目前尚未形成共識。

狀態：情況復雜

16. 曲線的拓撲

希爾伯特第十六問題，可以看作對基礎數學課程中函數作圖問題的推廣。形如 ax+by=c 的方程表示一條直線；包含平方項的二次方程則表示某種圓錐曲線，例如拋物線、橢圓或雙曲線。希爾伯特希望建立一種更加一般化的理論，用來描述高次多項式所定義的曲線可能具有的形狀。到目前為止，這一問題仍未得到解決；即使將多項式次數限制在相對較低的八次，問題也依然懸而未決。

狀態：未解決

一條三次實代數曲線。這類曲線是研究n次代數曲線各分支相對位置的重要對象；這一問題是希爾伯特第十六問所提出的代數幾何基礎難題之一。（圖/Lucy Reading-Ikkanda/Simons Foundation; Source: Theon）

17. 將函數表示為平方和

有些函數，例如y=x2，當輸入為實數時，函數值始終非負。希爾伯特想知道，所有這樣的函數是否都可以表示為若干有理函數的平方和。1927年，埃米爾·阿廷（Emil Artin）證明，答案是肯定的。

狀態：已解決

18. 全等多面體、基本區與球體填裝

第十八問實際上匯集了若干彼此不同的歐幾里得幾何問題。

首先，在每一個n維歐幾里得空間中，具有平移不變性的對稱結構是否只有有限多個本質不同的類型？1910年，路德維希·比伯巴赫（Ludwig Bieberbach）對這一部分給出了肯定的回答。

其次，在用正方形鋪滿平面的鋪砌中，對于任意兩個正方形，都存在一種保持整個鋪砌不變的對稱變換，可以將其中一個映到另一個。無論在哪個維度，具有這種性質的鋪砌都稱為等面鋪砌。這一部分的問題關注的是：三維空間中是否存在非等面鋪砌。1928年，卡爾·萊因哈（Karl Reinhardt）發現了這樣一種鋪砌。

最后一個問題是：球體怎樣堆積最為緊密？1998年，托馬斯·黑爾斯（Thomas Hales）提出了一項借助計算機完成的證明，表明水果攤上常見的那種堆放方式，確實是最優的。

狀態：已解決

多個球體以六角形結構緊密填裝的示意圖。第十八問所涉及的三維球體填裝，是指將大小相同的球體進行排列——就像雜貨店貨箱里堆放的橙子一樣——使它們盡可能密集地填滿給定空間。（圖/Lucy Reading-Ikkanda/Simons Foundation; Source: Twisp）

19、20、23. 變分法

變分法研究的是利用一種稱為“泛函”的函數來處理優化問題。其經典例子之一是捷線問題，也就是尋找這樣一條曲線：在重力作用下，一顆小球沿這條曲線滾落所需的時間最短。1696年，約翰·伯努利（Johann Bernoulli）解決了這一問題，此后變分法不斷發展。

希爾伯特在演講中指出，當時變分法領域新近取得的突破尚未得到充分重視；他希望通過將相關問題列入這份清單，促使人們更深入地認識這一領域的重要性。在第十九和第二十問題中，他問道：某些類型的變分問題是否存在解（第二十問）；如果解存在，這些解是否具有特別良好的光滑性（第十九問）。

第二十三問則可以表述為：“進一步發展變分法的方法。”這個問題沒有一個明確界定的終點或具體目標。不過，在20世紀最初幾十年里，希爾伯特及其他數學家在這一領域取得了迅速進展，而相關研究此后一直延續至今。

狀態：情況復雜

21. 具有給定單值的線性微分方程

希爾伯特第二十一問研究的是：對于給定的奇點以及圍繞這些奇點的特定行為，是否存在相應的線性微分方程組。方程的解繞奇點解析延拓一周后所發生的變化，稱為“單值性”。1908年，約西普·普勒梅利（Josip Plemelj）發表了一項一度被認為已經解決該問題的工作。然而，1990年，安德烈·博利布魯赫（Andrei Bolibrukh）針對普萊梅利的結論構造出了一個反例，證明滿足這些條件的微分方程組并非總是存在。

狀態：已解決

22. 單值化

單值化是指將一條數學曲線或一個曲面表示為某個單值參數函數。亨利·龐加萊（Henri Poincaré）和保羅·寇貝（Paul Koebe）于1907年提出的單值化定理，在一種特定情形下解決了這一問題。不過，正如利普曼·貝爾斯（Lipman Bers）在1974年希爾伯特問題研討會上所寫的：“每一代數學家……都會重新思考并重新處理前人發現的解答，將這些解答納入當時的概念體系和符號框架之中。”圍繞第二十二問題的研究至今仍在繼續。

狀態：部分情形已解決

與其說希爾伯特問題是賽程終點處的一條條終點線，不如說它們是一扇扇半掩的門，邀請數學家窺探門后下一個房間里的景象。對于其中許多問題，人們很難明確斷言它們究竟已經解決，還是仍然懸而未決。一個問題往往在某種情形下得到了解決，卻在其他情形下依然開放。有時，一種解答還會促使數學家在新的數學框架中重新提出同一個問題。正是這種開放性，使希爾伯特問題至今仍對數學家保持著持久的吸引力。

#參考來源：

https://www.simonsfoundation.org/2026/06/18/solved-unsolved-and-unsolvable-the-status-of-hilberts-23-problems-in-mathematics/

https://www.simonsfoundation.org/2026/06/18/hilberts-23-problems-at-icm-2026-where-are-we-now/

#圖片來源：

封面圖&首圖：Sean McCabe for Simons Foundation; Portrait of David Hilbert by L. Reidemeister/Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach