從歐拉寫給德國公主的信到文氏圖的符號邏輯，集合圖示法經歷了怎樣的關鍵質變？

我們常常會看到這樣交疊的圓圈：每個圈代表一類事物，重疊的部分歸兩者共有，這就是文氏圖（Venn diagram），或稱維恩圖。

這張文氏圖展示了希臘字母（左上方）、拉丁字母（右上方）以及俄羅斯西里爾字母（下方）共有的大寫字母字符

文氏圖很簡單，并不需特別解釋，就能把抽象的集合關系變成可視化圖像，在邏輯學、集合論乃至計算機科學中廣泛應用。不要只把它當作分類畫圖的小工具，它背后可是對應著初等集合論相當嚴密的邏輯結構。

unsetunset從歐拉圖說起unsetunset

文氏圖是以英國數學家、邏輯學家劍橋約翰·維恩（John Venn，文氏圖正是由其姓氏 Venn 翻譯而來）命名的，但用封閉圖形來表示邏輯關系的思想，有人要更早于維恩。

在 1712 年，德國學者克里斯蒂安?魏澤(Christian Weise)在邏輯學著作中其就做過類似的表達嘗試。

影響更大的是大數學家歐拉，他在 1760 年代寫給一位德國公主的信中，系統地用閉合曲線輔助三段論推理，其中的圖示后來被稱為歐拉圖（Euler diagram）。

這些早期圖示有個共同的局限：只畫實際存在的關系。兩個集合不相交，就畫成兩個分離的圓；一個包含另一個，就畫成大圓套小圓。它們適合針對具體情形舉例說明，卻承載不了完整的邏輯體系。

轉折發(fā)生在 1880 年。劍橋邏輯學家約翰·維恩發(fā)表論文提出改造方案，次年又在專著《符號邏輯》第五章中給出了系統闡述。

他補上了一條關鍵的約束：一張合格的集合圖示，必須呈現集合之間所有可能的邏輯組合，而不只是當下成立的那幾種。哪怕某種組合對應的是空集，圖上也要為它留出區(qū)域——只是那塊區(qū)域里不放任何元素。

這個改動是質變的：圖示從舉例工具，升格為能夠完整承載集合運算的嚴謹表示法。后人便把滿足這種全組合覆蓋要求的圖稱為文氏圖。

unsetunset平面上的映射規(guī)則unsetunset

文氏圖的本質，是在二維平面上用閉合曲線（通常畫成圓或橢圓）表示抽象的數學對象：集合的每個元素對應平面上的一個點，集合本身對應曲線圍出的封閉區(qū)域。

一條標記為 的曲線把平面分成內外兩部分，恰好對應集合論的一條基本原則：任何元素要么屬于 ，要么不屬于，沒有中間狀態(tài)。曲線內部的點代表屬于 的元素，外部的點代表不屬于 的元素。

當多個集合同時出現，它們之間的運算就轉化為區(qū)域的重疊與合并。以兩個集合 與 為例。同時屬于 和 的元素構成兩者的交集，記作 ：

在圖上，交集正是兩圓重疊的公共區(qū)域。若把兩個集合的元素合并，考察屬于 或屬于 （含同時屬于兩者）的元素，便得到并集 ：

對應到圖形上，并集是兩圓覆蓋的全部區(qū)域。

unsetunset文氏圖不等于歐拉圖unsetunset

兩者經常被混為一談，分界其實很清楚：對邏輯可能性的窮盡程度不同。

歐拉圖只畫"有元素的區(qū)域"，沒有交集的兩個集合盡可以畫成分離的圓。而標準的文氏圖則要求： 個集合必須以所有可能的方式交疊，把 種邏輯組合

在平面上一一呈現，空集也不例外。按這個標準，每一張文氏圖都是歐拉圖，反過來則未必——文氏圖是歐拉圖中要求最嚴苛的特例。

例子：互斥關系（哺乳動物 vs 鳥類）

在現實中，沒有動物既是哺乳動物又是鳥類，它們的交集是空的。

• 文氏圖的畫法：必須畫成兩個強制相交的圓。為了表示現實中沒有交集，通常會在重疊的交集區(qū)域涂上陰影（或標記為 ），以此宣告“此路不通”。

• 歐拉圖的畫法：直接畫兩個完全分離、互不挨著的圓。既然現實中沒交集 ，圈就不重疊，視覺上更符合直覺。

例子：包含關系（英國人 vs 倫敦人）

在現實中，所有倫敦人一定都是英國人。

• 文氏圖的畫法：依然是兩個固定相交的圓（形成左、中、右三塊區(qū)域）。然后把“是倫敦人但不是英國人”的那個外側區(qū)域涂黑抹去，標記為空集。

• 歐拉圖的畫法：直接畫一個大圓（英國人），里面完整包裹著一個小圓（倫敦人）。

文氏圖和歐拉圖都用圖形表示集合，但關注點不同，前者是把所有邏輯可能性都列出來，而歐拉圖是只畫實際存在關系。

順帶一提，常規(guī)文氏圖只關心區(qū)域間的位置關系，面積大小沒有含義。在某些數據可視化場景中，人們會額外要求每塊區(qū)域的面積與元素數量成正比，這類變體稱為等比例文氏圖，能同時傳遞邏輯關系與數量對比。

來源：遇見數學

編輯：丁香葉子

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