監測預警基礎43-這次學透 ARIMA之第4講：ARMA 拆開一點都不難！

系列簡介

這是我們一系列原創技術貼，從易到難，每天學習一點。所有內容均為疾控數據分析、科研論文相關，或者說很多和現在的熱門監測預警相關，所以我們這個系列就叫“監測預警基礎”。

今天是第43節，這算是我們一個小專題吧，大概11講，我們細化，短篇化，徹底把ARIMA模型搞懂。

今天是學透ARIMA專題第4講的內容，拆開每一部分講，這樣就徹底清楚了。

上一篇我們學習了 ARIMA 定階的核心工具，但很多新手還是會犯嘀咕：

AR、MA 這兩個模型，到底分別在擬合什么規律？難道要先做 AR 才有 MA？兩個模型合在一起的 ARMA，又解決了什么問題？

這一篇我們就把三個基礎模型徹底拆開講，全程用傳染病監測場景舉例，避開復雜數學推導，看完就能搞懂每個模型的本質，以及階數 p、q 的實際含義。

1. 大白話本質理解
AR 是 Autoregression（自回歸）的縮寫，核心邏輯非常簡單：用過去幾期的真實發病數，來預測當期的發病數
這個邏輯完全貼合我們對傳染病的常識：傳染病發病有連續性，本周的病例數，一定和前幾周的病例數直接相關 —— 上周病例多，本周大概率不會突然降下來；上周進入流行期，本周會繼續上升。
2. 模型公式與疾控場景解讀
p 階自回歸模型記作 AR (p)，公式非常好懂：

我們用疾控的場景對應翻譯如下：

3. 現在來理解一下，P階到底是什么意思？
p 就是自回歸的階數，p 等于幾，就代表模型用了前幾期的發病數來預測當期
AR (1)：只用上周 1 期的病例數預測本周，適合連續性極強的序列

• AR (2)：用上周 + 上上周 2 期的病例數預測本周

• AR (3)：用前三周的病例數預測本周

• 在疾控實際數據里，流感、手足口這類有連續流行趨勢的傳染病，大多符合低階 AR 模型的特征，一般 p 在 1-3 之間就足夠。

• 4. 對應定階特征：

• 呼應上一篇的知識點：AR (p) 模型的 PACF 圖（偏自相關圖）會在 p 階截尾，ACF 圖呈拖尾狀態。比如平穩序列的 PACF 在第 3 階之后全部落入置信區間，我們就初步判斷是 AR (3) 模型，p=3。

MA 是整個 ARIMA 體系里最容易被誤解的模型，我們先澄清兩個最常見的誤區：

第一，MA 的 “移動平均”，不是對病例數的滑動平均，和我們之前講的做數據平滑用的 7 天移動平均完全不是一回事；

第二，MA 是完全獨立的模型，不需要先做 AR 才能得到殘差，不存在 “先 AR 后 MA” 的先后順序。

1. 大白話本質
MA 是 Moving Average（移動平均）的縮寫，它的核心邏輯是：用過去幾期的突發隨機沖擊，來預測當期的發病數
什么是突發隨機沖擊？就是不在常規流行趨勢里的意外因素，也是疾控工作里最常見的變量：
正沖擊：某周突然出現學校聚集性疫情、境外輸入病例引發本地傳播、大規模篩查檢出大量病例。
負沖擊：某周恰逢假期檢測量驟降、防控措施落地快速壓制了傳播。
這些突發因素的影響，不會只持續 1 周。比如一次學校聚集疫情，當周會出現大量病例，第二周還會有續發病例，第三周影響才完全消失 ——MA 模型捕捉的，就是這種 “突發沖擊的滯后影響”。
2. 模型公式與疾控場景解讀
q 階移動平均模型記作 MA (q)，公式如下：

我們采用疾控常見的場景翻譯一下：

3. q 階到底是什么意思？
q 就是移動平均的階數，q 等于幾，就代表突發沖擊的影響會持續 q 期
MA (1)：突發沖擊只影響當期和下一期，第二周就完全消失

• MA (2)：突發沖擊會持續影響兩期，第三周才消失

• MA (q)：沖擊的影響持續 q 期

• 4. 大家最關心的問題：這些沖擊（ε）從哪來？

• 理論上，這些隨機沖擊是構成時間序列的原生因素，是我們假設的、影響發病的意外變量；實操中，軟件擬合 MA 模型時，會通過迭代算法，一邊計算沖擊的權重 θ，一邊同步推算出每一期的沖擊值，全程不需要我們手動計算，也不需要依賴 AR 模型的結果 —— 你只需要輸入原始發病數據，指定 q 的階數，軟件就能自動完成全部計算。

1. 為什么需要組合模型？
單獨的 AR 模型，只能捕捉 “發病自身的延續趨勢”；單獨的 MA 模型，只能捕捉 “突發沖擊的滯后影響”。
但我們疾控的真實監測數據，往往兩種規律同時存在：
比如流感流行期，病例數既有自身的持續上升趨勢（AR 項捕捉）；同時又會受到聚集疫情、寒潮、假期等突發因素的干擾，沖擊的影響會持續數周（MA 項捕捉）。
這時候單獨用 AR 或者 MA，都沒法完整擬合數據的規律，就需要把兩者結合起來，也就是 ARMA 模型。
2. 模型本質
ARMA (p,q) = AR (p) + MA (q)，同時用「前 p 期的發病數」和「前 q 期的突發沖擊」，共同預測當期的發病數。
它的公式就是把兩個模型拼在一起，同時包含自回歸項和移動平均項，兼顧了序列的自身延續性和突發波動的滯后影響，是適配性最強的基礎平穩序列模型。
3. 對應定階特征
當 ACF 圖和 PACF 圖都呈現拖尾狀態，沒有明顯的截尾時，就說明序列同時有自回歸和移動平均特征，適合用 ARMA (p,q) 組合模型。

我總結一下，大家可以記住一個最樸素的區分：AR 是 “用過去的病情，推現在的病情”，看的是發病的延續性；MA 是 “用過去的意外，推現在的病情”，看的是突發因素的滯后影響。

很多新手會陷入 “必須手動定階完美” 的誤區，盯著 ACF/PACF 圖反復糾結 p 和 q 到底選幾。

這里給大家兩個疾控建模的實用建議：

第一，手動定階只是初步參考：真實監測數據很少有理論上完美的截尾，初步定出 p 和 q 的范圍就可以，比如 p 可能是 2 或 3，q 可能是 0 或 1；

第二，最終用 AIC 準則篩選最優模型：把初步范圍內的組合都試一遍，選 AIC 值最小的模型，就是擬合效果最優的。后面我們講實操的時候，會教大家用auto.arima()函數一鍵完成自動篩選，非常方便。

到這里，我們已經把 AR、MA、ARMA 三個平穩序列模型，以及差分（d）都講完了。

下一篇我們就把三個參數 p、d、q 合在一起，串起完整的 ARIMA (p,d,q) 建模全流程，給大家一套標準化的 5 步建模法，拿到任何監測數據，都知道從哪下手、每一步做什么。

參考：

《時間序列分析-基于R》. [M] .王燕.中國人民大學出版社出版

傳染病預測預警技術及實踐案例分析. [M]. 楊鵬, 王小莉. 人民衛生出版社

編輯：普通疾控人 | 審核：詩酒趁年華

文章來源 | 原創

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本文具體說明

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