中國女?dāng)?shù)學(xué)家首獲菲爾茲獎，她攻克的三維掛谷猜想是什么？

2026年7月23日，國際數(shù)學(xué)家大會在美國費(fèi)城開幕。當(dāng)菲爾茲獎得主名單揭曉，兩位中國青年數(shù)學(xué)家王虹和鄧煜的名字赫然在列——這是中國數(shù)學(xué)界的歷史性時刻，中國人第一次捧起了這枚被譽(yù)為"數(shù)學(xué)界諾貝爾獎"的金質(zhì)獎?wù)隆?/p>

生于1991年的王虹，來自廣西桂林，現(xiàn)任紐約大學(xué)科朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所助理教授。她獲獎的核心成果，是破解了困擾數(shù)學(xué)界一個多世紀(jì)的"三維掛谷集猜想"。

從"武士如廁"到百年難題

掛谷集猜想的故事，要從1917年說起。日本數(shù)學(xué)家掛谷宗一提出了一個腦洞大開的問題，后人的敘述版本很生動：一位武士在上廁所時被偷襲，箭如雨下，他只剩一根短棒防身。為了擋下四面八方的箭矢，武士得把短棒旋轉(zhuǎn)一圈——但廁所實(shí)在太小了，他必須讓短棒掃過的面積盡可能小。問，這個面積最小能小到多少？

翻譯成數(shù)學(xué)語言就是：平面上存在一個面積最小的區(qū)域D，讓一根長度為1的線段能在D內(nèi)完成360°旋轉(zhuǎn)嗎？這樣的區(qū)域就叫做掛谷集。

掛谷集的一個例子，左側(cè)為繞單位線段中心旋轉(zhuǎn)的圓，面積為π/4，右側(cè)為剛好可以容納單位線段的三尖瓣線，面積為π/8。（資料圖）

直覺上，線段繞端點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈掃出一個半徑為1的圓，面積是π；繞中點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈掃出半徑1/2的圓，面積π/4。掛谷宗一認(rèn)為極限是π/8——一個三尖瓣線圍成的區(qū)域。但1920年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家貝西科維奇給出了一個顛覆性的答案：平面掛谷集的面積可以無限趨近于零。他構(gòu)造的"貝西科維奇集"包含了指向所有方向的單位線段，但其勒貝格測度為零，換句話說，"面積"為零。

這個結(jié)果把掛谷集從平面幾何推向了分析學(xué)的深水區(qū)。更重要的是，數(shù)學(xué)家們逐漸發(fā)現(xiàn)，掛谷集與偏微分方程、數(shù)論、調(diào)和分析中的限制問題和博納赫-里斯猜想等核心難題都有著千絲萬縷的聯(lián)系。

一個自然的推廣隨之而來：把問題從二維平面推到三維乃至更高維空間。掛谷集猜想因此被提出——n維空間中掛谷集的豪斯多夫維數(shù)和閔可夫斯基維數(shù)等于n。

維數(shù)：當(dāng)曲線也能填滿正方形

這里有兩個關(guān)鍵概念：豪斯多夫維數(shù)和閔可夫斯基維數(shù)。要理解它們，先要理解維數(shù)這個概念并不像看起來那么簡單。

直線是一維，平面是二維，立體是三維——這是常識。但1890年代，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾和德國數(shù)學(xué)家希爾伯特先后構(gòu)造出了能填滿整個單位正方形的曲線。明明是一維的曲線，卻有二維的"面積"。緊隨其后，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基構(gòu)造出了"面積"為零的平面圖形——謝爾平斯基三角形和謝爾平斯基地毯。

在單位正方形內(nèi)生成希爾伯特曲線的前六步，第n步的希爾伯特曲線的長度是2?-2??。（資料圖）

這些反例推翻了數(shù)學(xué)家對維數(shù)的直覺。1918年，德國數(shù)學(xué)家豪斯多夫提出了一種新思路：看體積隨幾何體縮放時的變化率。正方形邊長擴(kuò)大一倍，面積變成四倍，指數(shù)是2；立方體邊長擴(kuò)大一倍，體積變成八倍，指數(shù)是3。這個指數(shù)就是豪斯多夫維數(shù)。閔可夫斯基維數(shù)（也叫計(jì)盒維數(shù)）思路類似，只不過用方格覆蓋來算。

按照這些新定義，皮亞諾曲線的豪斯多夫維數(shù)是2，謝爾平斯基三角形約為1.585。掛谷集猜想正是在這種精細(xì)的維度語言下被表述的。

127頁論文的背后

二維掛谷集猜想在1971年被英國數(shù)學(xué)家戴維斯解決。但升到三維，難題瞬間變得異常艱巨。陶哲軒、1994年菲爾茲獎得主布爾甘等頂尖數(shù)學(xué)家都投入過研究，進(jìn)展卻極其緩慢。1994年，美國數(shù)學(xué)家沃爾夫證明了三維掛谷集的維數(shù)不小于2.5。1999年，卡茨、拉巴和陶哲軒把這個下限提高了微不足道的一百億分之一——2.5000000001。

此后二十多年，這個數(shù)字紋絲不動。直到王虹和扎爾出手。

王虹與不列顛哥倫比亞大學(xué)的約書亞·扎爾合作完成了一個"三部曲"式的攻堅(jiān)。2022年，兩人先解決了"粘性掛谷集"這一特殊情形下的三維猜想。2024年，他們又對一種稍弱一些的阿蘇德維數(shù)證明了三維猜想。最終在2025年，一篇127頁的論文問世，給出了三維掛谷集猜想的完整證明。三篇論文加起來長達(dá)234頁。

陶哲軒在自己的博客上將這項(xiàng)工作稱為"幾何測度論領(lǐng)域的驚人進(jìn)展"。他評價說，論文論證過程中用到了大量前人的思想——包括他自己和合作者的成果——但所需的分析和迭代過程極其復(fù)雜精巧，需要大量全新的思路和方法才能走完全程。

這條攻克之路完美體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究的典型范式：先加條件簡化問題、在簡化版中找核心方法、再對比原版找出技術(shù)障礙、發(fā)展新技術(shù)繞過或攻克障礙、最終完整解決。每一步都需要極深的功力和極大的耐心。

菲爾茲獎的突破性意義

菲爾茲獎每四年頒發(fā)一次，只授予40歲以下的數(shù)學(xué)家。自1936年設(shè)立以來，獲獎?wù)邘缀跞縼碜晕鞣綌?shù)學(xué)強(qiáng)國。王虹和鄧煜的同時獲獎，不僅是中國數(shù)學(xué)的里程碑，也讓"中國何時能出菲爾茲獎得主"這個長久以來的追問，終于有了答案。

值得一提的是，掛谷集猜想的影響遠(yuǎn)超純數(shù)學(xué)范疇。調(diào)和分析中的限制問題、博納赫-里斯猜想等都與掛谷集的最小尺寸直接相關(guān)。這些問題在信號處理、醫(yī)學(xué)成像、地震勘探等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景。王虹和扎爾的突破，也在為這些應(yīng)用領(lǐng)域打開新的可能性。