【解題研究】穿過參數“迷霧”——2026年武漢中考數學第24題

【解題研究】穿過參數“迷霧”——2026年武漢中考數學第24題

歷年武漢市中考數學函數壓軸題，都有一個共同特點，就是參數比較多，學生需要通過探索這些含參函數、方程，獲得相應的結論例如數量關系、位置關系等，這對學生代數抽象思維提出了較高的要求，面對全是參數的解析式、等式，需要明確題目究竟需要什么，哪些參數是必要的，哪些又是可以消掉的，在目標明確的前提下，利用合適的消參方式，即可完成相應的探索。

對于初中生來講，參數較多的函數題一直是難點，但對于即將進入高中學習的學生來講，代數式恒等變換又是學習基礎，武漢卷將這種題型作為壓軸題，是符合初高銜接需求的。

題目

拋物線C1:y=-x2+2x+3與x軸相交于A，B兩點(點A在點B左側).

(1)求A，B兩點的坐標；

(2)如圖1，直線y=-d(d<0)交拋物線C1于C，D兩點，△BCD的外心E在邊CD上，求d的值；

(3)如圖2，拋物線C2:y=x2+px+q與拋物線C1交于M，N兩點，連接MN，T是線段MN上一點，過點T作y軸的平行線分別交拋物線C1，C2于P，Q兩點，連接PM，PN，QM，QN，求證：△PMN與△QMN的面積相等.

解析:

01

(1)送分題，A(-1,0)，B(3,0)；

02

(2)條件“△BCD的外心E在邊CD上”解讀：外心是三角形外接圓的圓心，圓心E在CD上可推導出CD是直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可判斷出△BCD是直角三角形，且CD是斜邊；再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知CD=2BE；

對于點E而言，它是線段CD的中點，同時拋物線的對稱軸也經過點E，這是拋物線對稱性決定的，所以點E坐標為(1,d)，由兩點距離公式得BE2=4+d2；

由d=-x2+2x+3得方程x2-2x+d-3=0

故兩根和x1+x2=2，x1·x2=d-3

而CD2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2=4-4(d-3)=16-4d

根據CD=2BE得CD2=4BE2，可列方程

16-4d=4(4+d2)，且d<0，解得d=-1

03

(3)解題之前，要明確這道題究竟需要我們做什么，然后再看題目條件提供了什么，最后才開始尋找思路。

圖中的△PMN和△QMN共邊，因此它們面積相等，則這條共邊上的高必須也相等，如下圖：

不妨作這兩條高PC和QD，我們只要證明了PC=QD，問題自然解決，這條路好不好走，取決于我們進一步的思考；

根據上圖我們容易得到，要證明PC=QD，只需要證明PT=QT，這就回到了熟悉的賽道，在函數背景下證明線段相等，將面積相等轉化成了線段相等；

我們需要表示出圖中這些相關線段的坐標，當然是用參數，首先是點M和N，可分別設M(m,y1)和N(n,y2)，點T在直線MN上，且橫坐標為t，可設T(t,y3)，點P和點Q橫坐標均為t，縱坐標可用相應的函數解析式表示，P(t,-t2+2t+3)和Q(t,t2+pt+q)，如果現在就用參數來表示PT和QT的話，比較麻煩，PT=-t2+2t+3-y3，QT=y3-t2-pt-q，無法在含有如此多參數的情況下進行比較，所以需要消參，將PT和QT表達式中的參數消減到可以比較的程度；或者利用中點公式，只要證明P，Q兩點縱坐標和的一半即(p/2+1)t+q/2+3/2等于點T的縱坐標即可，這也是我們的目標；

題目條件中給出的參數是p和q，所以我們想辦法用含p和q的代數式來表示PT和QT的長；

第一步，M，N由何而來？它們是兩條拋物線的交點，所以聯立解析式得方程-x2+2x+3=x2+px+q，參數m和n是這個方程的兩個根，顯然我們并不需要解，也解不出來，利用韋達定理表示出m+n=(2-p)/2，mn=(q-3)/2；

第二步，T由何而來？它在直線MN上，不妨設直線MN為y=kx+b，它與拋物線y=-x2+2x+3的交點橫坐標為m，n；為什么不選擇拋物線y=x2+px+q？因為它參數多，麻煩，所以選擇不含參數的拋物線，聯立方程kx+b=-x2+2x+3，仍然由韋達定理得m+n=2-k，mn=b-3；

第三步，尋找k，b與p，q的關聯，將前兩步得到的結果整理可得(2-p)/2=2-k，(q-3)/2=b-3，于是得到k=p/2+1，b=q/2+3/2，則直線MN解析式為y=(p/2+1)x+q/2+3/2；

第四步，表示T坐標，T(t,(p/2+1)t+q/2+3/2)，發現它的縱坐標恰好等于P，Q兩點縱坐標和的一半，說明點T是線段PQ的中點，即PT=QT；

綜上，可得△PMN和△QMN的面積相等.

解題思考

先不聊參數多寡的問題，這并不是本題考查重點，讓我們回到《怎樣解題》(波利亞)中的基本步驟上來，先理解題目，再擬定方案，執行方案，最后回顧反思。

最難的第3小題，我們需要證明的是兩個三角形面積相等，圍繞這個問題，我們其實可以有很多種方式解決，但最基礎的，是轉化，我們知道面積是兩條線段的乘積，在小學的時候我們先學習了長方形的面積，進一步學習三角形面積，所以底乘高除以2是所有學生非常熟悉的，以此為突破口非常符合學生的認知，這也是本題厚道的地方，就從學生容易想到的突破口開始，不偏不怪。理解了題目意圖，轉化是很自然的思路，沿著這條路走下去，發現證明線段中點確實是最優解，而在坐標系中，這種題目我們見得很多。

在執行解題方案的過程中，我們會遇到新增的參數，例如本題中的m，n，k，b，y1，y2，y3等，這些都屬于輔助性的參數，真正留到最后的只有參數t，p，q，這是題目給出的，所以消參的目標也是明確的，即用含t，p，q的代數式來表示m，n，k，b，y1，y2，y3，在不能解含參方程的情況下，韋達定理的作用就體現出來了，它幫助我們建立兩根間數量關系，而這些關系式，恰恰就是用來消參的。

只要最終目標，用含參數t，p，q的式子來表示所需線段、坐標能實現，路其實可以更多。