北京
5月21日凌晨，OpenAI宣布[1]，他們的內部通用推理模型自主給出了單位距離問題全新的下界構造，推翻了數(shù)學界長期的猜想。
審核結果的專家、菲爾茲獎得主蒂莫西·高爾斯（William Timothy Gowers）說，這是AI首次獨立解決數(shù)學核心未解問題的“里程碑時刻”。
撰文 | 嘉偉
歷史 傳奇數(shù)學家的猜想和絕妙思路
1946年，傳奇數(shù)學家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）在《美國數(shù)學月刊》（The American Mathematical Monthly）上發(fā)表了一篇影響深遠的論文。在這篇論文中，他提出了兩個即便跨越了80年，仍讓無數(shù)數(shù)學家頭疼不已的“數(shù)點”問題。這兩個問題看上去并不復雜，只關乎空間中有限個點之間的距離分布：
1. 最多“撞車”的距離（單位距離問題unit distanceproblem）：如果你在紙上隨機畫下n個點，其中任意兩點連線，某一個特定的距離——比如恰好相距1厘米——最多能同時出現(xiàn)多少次？換句話說，我們怎樣排列這些點，才能讓相距1厘米的點對（成對的點）最多？此時，點對的數(shù)量u(n)又是多少？
2. 最少種類的距離（不同距離問題distinct distances problem）：同樣是這n個點，它們兩兩連線會產生各種各樣的長度。那么，這些長度的種類（不同數(shù)值的個數(shù)）最少能有多少種？怎樣擺放這些點，才能讓整個點集產生的距離數(shù)目最單調、最匱乏？
他的思路非常精彩有趣。
最簡單的構造方法是取一個中心點，把其余n-1個點全部放在同一個圓周上。如此一來，中心點到所有圓周點的距離都相等。
于是立刻得到u(n)≥n – 1。
另一方面，如果所有點之間都能兩兩等距，那么相同距離的總數(shù)將達到n(n-1)/2。小于0.5n^2。如此輕易就能得到它的上下界。
但二維歐氏平面有嚴格的幾何限制。在平面里，最多只能有3個點兩兩等距，即正三角形。因此“所有點彼此等距”在二維中根本不可能實現(xiàn)。
于是問題變成u(n)真正的增長速度，究竟更接近n，還是更接近0.5n^2？
埃爾德什發(fā)現(xiàn)，如果想讓某個距離重復很多次，最自然的候選構型是整數(shù)格點（square lattice）。也就是棋盤一樣的網格。
傳統(tǒng)認為最優(yōu)構造是“重縮放的方格網格”。| 圖源：OpenAI
原因并不只是“排列整齊”，而是網格背后隱藏著數(shù)論結構。
最簡單的整數(shù)網格，相當于用單位正方形鋪滿平面，每個點和它周圍的鄰居可以貢獻4個單位距離。但是，如果把鋪滿平面的正方形邊長定為一個無理數(shù)，則每個點可以和鄰居貢獻更多的單位距離！
數(shù)論就此介入！
關鍵就在于一個整數(shù)能否寫成兩個平方數(shù)之和。這是代數(shù)數(shù)論里非常經典的費馬平方和理論。現(xiàn)在是高中數(shù)學競賽里的常用定理：
一個整數(shù)如果能寫成兩個整數(shù)的平方和，當且僅當在其標準素因數(shù)分解中，所有形如4+3的素因子的指數(shù)都是偶數(shù)。
于是，在足夠大的網格中，某些特殊距離會反復出現(xiàn)。因為所謂單位距離是人為定義的，我們可以調整系數(shù)，把出現(xiàn)次數(shù)最多的特殊距離值定為單位距離。
因此長期以來，人們懷疑網格可能已經接近最優(yōu)構型。
2010年，數(shù)學家拉里·古斯（Larry Guth）和內茨·卡茨（Nets Katz）發(fā)表論文，證明了平面上n個點最少也必須產生約n∕(logn)種不同距離。
埃爾德什曾經在若干場合里承認，這是他個人最喜歡的未解難題。為了解答這兩個問題，乃至更一般的平面點集距離問題（例如探討點集構成的整數(shù)距離或有理數(shù)距離），埃爾德什和他那個時代的數(shù)學家發(fā)展出了一套極其優(yōu)雅的理論。雖然現(xiàn)有工具還無法攻克單位距離猜想——實際上80年里的進展十分有限——但在長期探索過程中大家逐漸意識到，這些看似只需“數(shù)數(shù)”和“排列點”的“簡單”問題，不單單是趣味數(shù)學問題里的珍寶，它們具有極高的理論價值，與數(shù)學的不同分支之間存在著引人入勝的聯(lián)系。就如同現(xiàn)代“圖染色理論”是當初為了解決四色猜想而發(fā)展起來的，現(xiàn)代組合幾何學里也有圍繞此類中心問題而構建的理論體系。所以，它們是具有核心地位的開放問題。
隨著時間的流逝，這些問題從普通的未解難題，逐漸進入了組合學、數(shù)論和幾何學著名猜想的行列——它們很容易陳述，卻始終可望而不可即。這有點像是“運氣守恒”——起步階段異常順利，但在隨后的漫長歲月里步履維艱。菲爾茲獎得主陶哲軒曾經評論道：“這簡直是衡量我們的數(shù)學有多可悲的指標。”
現(xiàn)在 AI對人類數(shù)學的傳承與發(fā)展
時間快進到今年。
5月，OpenAI的一個內部模型在執(zhí)行其他任務時，意外找到了突破單位距離猜想的線索。
經過研究人員的調試，同時OpenAI又投入驚人的算力支持，最終在5月21日宣布，他們的內部AI通用模型一舉推翻了埃爾德什單位距離猜想，給出了新的下界構造。OpenAI的研究人員再三明確，這次是一個通用型的AI 模型，是面向廣泛任務，而不是專門為某個領域（比如數(shù)學）單獨訓練的。同時也不存在額外的輔助結構或提示工程，比如把問題拆解成子問題、用外部工具或特殊框架來引導模型推理。
埃爾德什猜測，當n足夠大時，單位距離點對數(shù)增長的冪指數(shù)無限趨近于1，無法跨越任何一個哪怕極其微小的多項式門檻。但AI的結論是，點對數(shù)可以是的^0.014倍。這個差異非常之大，直接推翻了這個具有核心地位的經典組合幾何學猜想。注意，AI并沒有解決單位距離問題本身，而是推翻了埃爾德什推導的單位距離點對數(shù)量的量級下界即最優(yōu)的猜想！
OpenAI請來很多位著名數(shù)學家審核這篇論文，同時邀請他們解讀和評價。菲爾茲獎得主蒂莫西·高爾斯（William Timothy Gowers）稱贊其為人工智能數(shù)學的里程碑成就。[1, 6]
毫無疑問，單位距離問題的解決方案是人工智能數(shù)學的一個里程碑：如果是人類寫論文并提交給《數(shù)學年刊》，我會毫不猶豫地推薦接受。此前沒有任何人工智能生成的證明能接近這一點。
——蒂莫西·高爾斯
《數(shù)學年刊》（Annals of Mathematics）是全球數(shù)學界公認的頂級期刊，影響力和審稿標準都處于金字塔尖。當初懷爾斯和合作者證明費馬大定理的兩篇論文，就是發(fā)表在《數(shù)學年刊》上。
那么AI為什么能解決人類數(shù)學家80年未解的重大問題？我們這一次真的可以知道AI的想法，實際上，OpenAI發(fā)布了記錄AI思考過程的PDF文檔（改寫后的思維鏈摘要）[5]，長達125頁（這還是刪減版）！
之前介紹過埃爾德什的代數(shù)數(shù)論思路，比較有趣的一點是，這一次AI竟然繼承了埃爾德什的傳統(tǒng)，同時借助更復雜的代數(shù)數(shù)論工具，一舉推翻了原始猜想。
歷史上，數(shù)學王子高斯曾提出偉大的洞見，在更高次的代數(shù)數(shù)域中，唯一分解定理通常會失效（一個數(shù)可能存在多種質數(shù)分解方式）：5能寫成兩個整數(shù)的平方和，是因為雖然5是素數(shù)，但是在引入虛數(shù)單位i的復數(shù)域里，5也能分解成5=(1+2i)(1-2i)。
埃爾德什構造法的核心瓶頸在于數(shù)字“2”：在高斯整數(shù)環(huán)中，一個有理素數(shù)最多只能分裂成2個共軛因子，因此組合產生的“點對”數(shù)受限于2的冪次。
AI提出了一個極為大膽的設想：如果我們不在有理數(shù)域上玩這個游戲，而是跳向一個更高的d次代數(shù)數(shù)域K呢？
如果這個域的整數(shù)環(huán)滿足特定的代數(shù)性質，使得一個有理素數(shù)在其中能夠完全分裂（split completely）為d個不同的理想因子，那么當k 個素數(shù)相乘時，理想因子的組合方式將迎來爆炸式增長——能獲得dk種組合！
如果能將組合的底數(shù)從2徹底解放到d，那么在相同半徑的“圓周”上，我們好像就能塞進多得多的代數(shù)整數(shù)點。這正是AI試圖碾壓埃爾德什網格紀錄的理論原點。
AI和以往的人類數(shù)學家一樣，自然地“聯(lián)想”到把高斯整數(shù)環(huán)替換成一個全實域的虛二次擴張CM域上的整數(shù)環(huán)。CM域有一個很好的性質：一個元素在某一個嵌入下模長為 1，等價于在所有共軛嵌入下都是1。此時擴張次數(shù)d是個偶數(shù)。然而，計算后發(fā)現(xiàn)，在固定的整數(shù)環(huán)上，實際得到的單位距離的個數(shù)量級恰好就是埃爾德什的原始下界。
這也是以往的人類數(shù)學家就此止步之處！因為不確定性帶來巨大的潛在試錯成本，人類數(shù)學家到此為止就會傾向于認為埃爾德什的量級猜想是正確的，而不會繼續(xù)嘗試構造反例。AI的優(yōu)勢則在于，它擁有無限的試錯成本。
AI立刻將數(shù)域擴張次數(shù)推至無窮，此時整數(shù)環(huán)不再嵌入復數(shù)域平面，而是一個高維復數(shù)晶格。AI在推理過程中，自己描述這個構造“令人恐懼”。
然而，將這一代數(shù)野心付諸幾何現(xiàn)實，會遭遇一場毀滅性的物理災難。我們的物理畫布只是2維平面。為了讓這些代數(shù)點在平面上落腳，我們必須將這d維空間通過典范嵌入（canonical embedding）投影回2維復平面。
一旦進行這種降維投影，高維空間中原本舒展、離散的晶格點就會發(fā)生瘋狂的局部堆積和重合。這就好比將一個三維的鐵絲網拍扁在墻上，鐵絲的交點會密密麻麻地擠在一起。在幾何上，這意味著點與點之間失去了硬性的“最小距離約束”，點集在平面上變得過于稠密。一旦晶格發(fā)生塌縮，我們精心構造的“單位距離”就會在密集的噪聲中失效。
為此，AI 動用了代數(shù)數(shù)論中的頂級重型武器——類域論（class field theory）與戈洛德-沙法列維奇（Golod-Shafarevich）無限塔。
AI 借助Golod-Shafarevich定理，構造了一個由數(shù)域一環(huán)套一環(huán)、走向無窮高維度的代數(shù)擴張塔：
這個塔最精妙的代數(shù)剛性在于：它可以在分歧（ramification）受到極其嚴格限制的前提下，讓數(shù)域的次數(shù)d穩(wěn)步走向無窮。
借助這座無限塔，AI在代數(shù)與幾何的兩端精確地調節(jié)著平衡。
在代數(shù)端，利用塔的更高層級，確保素數(shù)能夠充分分裂，讓相同距離的重復次數(shù)（分子）實現(xiàn)數(shù)量級的跨越。在幾何端，由于擴張塔的分歧行為受到了局限，AI得以利用類域論的精細估計，嚴格計算出高維晶格投影到二維平面時的幾何密度。它成功確保了在點集擴張的過程中，最小兩點間距（分母）衰減的速度被牢牢壓制在可控范圍內，最終一舉否定了埃爾德什和數(shù)學界這80年來的長久信念。
因為OpenAI并沒有給AI的構造繪制圖片，《拉馬努金雜志》副主編Alvaro Lozano-Robled在ChatGPT 5.5 Thinking幫助下提供了一個圖片示例（左圖），被各大媒體，包括《自然》期刊引用，但其實這個圖片是錯的。即便是其修正版（右圖），也是無“意義”的。AI的實際構造完全無法繪制，只在n為10的1957151次方才有意義。| 圖源：Alvaro Lozano-Robled
根據(jù)AI的思維鏈文檔，從一開始，它就在考慮構造反例，而非證明埃爾德什的猜想。原因可能有二，一是AI具有非凡的直覺，意識到猜想并不成立；二則是更合理的推測，AI習慣上喜歡尋找反例，因為后者更容易成功，檢索所有可能性是更適合“機器”的推理的方式。雖然這一次的成果，無論如何也不能把它歸于力大磚飛、暴力破解的范疇。
值得一提的是，完成這一壯舉的團隊中有畢業(yè)于清華大學的青年學者陳立杰。他中學時代就是國內信息學競賽界的傳奇少年。16歲拿下全國青少年信息學奧林匹克競賽（NOI）的金牌，保送清華（但他本人沒選擇保送，而是打算參加國際信息學競賽IOI）；18歲以世界第一的成績，斬獲IOI金牌。
2017年，他進入MIT攻讀博士，師從計算復雜性泰斗Ryan Williams。2025年，他和合作伙伴把元數(shù)學思想引入計算復雜性領域，出乎所有人意料地證明：許多復雜性理論中的不同定理（如回文判定的下界）與鴿籠原理等價。
鴿籠原理或抽屜原理（pigeonhole principle）是數(shù)學中最基礎、最常用、也最有力量的工具之一：
如果把+1只鴿子放進個鴿籠里，那么至少有一個鴿籠里會有兩只鴿子。
陳立杰現(xiàn)在是加州大學伯克利分校電氣工程與計算機科學系的助理教授，今年年初加入OpenAI的研究部門。根據(jù)離散數(shù)學領域里的“帶頭大哥”、數(shù)學家Gil Kalai的說法[3]，這次用AI構造單位距離猜想的反例，并把AI證明梳理成人類可讀的文件[4]，這些工作就是由陳立杰主導完成的（雖然論文署名是OpenAI）。
加州大學伯克利分校電氣工程與計算機科學系的助理教授陳立杰丨圖源：
https://chen-lijie.github.io/
陳立杰說：“我今年一月初開始在OpenAI從事推理相關工作，正是因為我相信人工智能將對數(shù)學和一般科學產生巨大影響。但我沒想到，一個數(shù)學領域重大開放問題的解決方案竟然在五月就出現(xiàn)了。”
影響 眾說紛紜
過去半年里，人工智能在數(shù)學研究中的表現(xiàn)，已經開始讓許多人產生一種此前幾乎不可想象的感覺：也許，“數(shù)學”并不像我們曾經以為的那樣，是人類智能最后的堡壘。
這種震動，并不只是因為 AI 能夠完成一些競賽題、計算題，或者輔助形式化證明。真正令人不安的，是它開始觸碰那些長期以來被視為“需要數(shù)學直覺”的領域：構造、猜想、研究路線、甚至理論框架本身。
此時，相信“AI只能吐出訓練數(shù)據(jù)的平均值”這類觀點已經完全站不住腳了。如果推廣這個教訓：所有其他關于某種本質的人類活動將永遠超出AI能力范圍的論點，也同樣可能是自我安慰。
現(xiàn)在，很多人開始支持這種想法：很多大型語言模型（LLMs）是“被管理不當?shù)奶觳拧保恍枰稽c引導就能釋放它們全部的能力。當龐加萊去世時，“最后一位精通全部領域的數(shù)學家走了”。在那之后，每個人要么是代數(shù)學家，要么是分析學家，要么是組合學家。現(xiàn)在AI則可能是現(xiàn)代數(shù)學里的第一位全領域的數(shù)學家。
Writely（即Google Docs）、以及其他7家初創(chuàng)公司的聯(lián)合創(chuàng)始人Steve Newman表示：
我認為我們正在逐漸發(fā)現(xiàn)，人類其實并不擅長數(shù)學。長臂猿會對奧運會攀巖選手嗤之以鼻；因為人類的身體并非為攀巖而生。同樣，越來越多的證據(jù)表明，對于高等數(shù)學而言，我們的大腦可能也遠非最優(yōu)配置。
這絕對沒有對數(shù)學家不敬的意思。我曾兩次獲得國際數(shù)學奧林匹克（IMO）銀牌；我的聰明程度，剛好足以讓我認識到有些人的智力要遠超于我。但現(xiàn)在看來，數(shù)學似乎處于莫拉維克悖論（Moravec’s paradox）的中點位置：介于國際象棋（計算機早前已經超越了我們）和烹飪（要實現(xiàn)通用能力，可能還需要很多年）之間。數(shù)學對人類來說相當困難，因此看來計算機將會在這方面超越我們。
AI在數(shù)學領域仍然存在重大的弱點。例如，AI系統(tǒng)尚未表現(xiàn)出識別有趣研究方向的能力，也無法提出能作為后續(xù)研究基礎的新概念。但它們在某些方面已經開始展現(xiàn)出超人類的水平。而一旦AI在某個領域開始超越人類，我們都知道接下來會發(fā)生什么。
莫拉維克悖論是人工智能研究中一個非常反直覺、但極其重要的觀察：對人類來說最困難的任務（如數(shù)學、邏輯推理），對計算機反而容易； 對人類來說最容易的任務（如走路、識別物體、抓東西），對計算機反而極難。它由機器人學家 Hans Moravec于1980年代提出，后來經其他學者進一步闡述。
在采訪中對AI證明單位距離猜想給予了很高評價的高爾斯，在更私人的場合下表示：“AI的數(shù)學潛力讓我想起了童話故事Jeremy Fisher里的一句話‘a much worse thing happened’——只是把原文里的 ‘worse’（更糟）換成‘disturbing’（更令人不安）更貼切。”
今年早些時候，多倫多大學的助理教授、算術代數(shù)幾何學家Daniel Litt自問道：模型在數(shù)學研究的各個方面都會對人類擁有絕對優(yōu)勢嗎？（也就是說，不僅僅是證明定理，還包括品味、創(chuàng)造力、理論構建、哲學思辨等錯綜復雜、難以捉摸的無形特質。）在足夠長的時間尺度上，答案大概是肯定的，但其中有些技能似乎既難以衡量，又難以訓練。除了好奇心之外，人類還能貢獻什么？很可能在數(shù)學研究技能中存在一條“長尾”，在未來的一段時間內，人類將在這些技能上繼續(xù)保持優(yōu)勢。就像大多數(shù)其他職業(yè)一樣，中期來看，很可能會存在許多無法自動化的瓶頸[5]。
盡管AI在單位距離猜想上取得了令人振奮的突破，但在攻克重大難題方面，人類向來不乏輝煌的戰(zhàn)績。至少在當下，AI依然停留在組合現(xiàn)有工具的階段，尚未展現(xiàn)出從無到有構建新穎理論的能力。
在數(shù)學的世界里，還有無限多更有趣的未解問題存在。比如說，現(xiàn)在單位距離問題相當于回到了原點，我們仍未知道n足夠大的時候，其單位距離點對個數(shù)的量級是多少。
參考來源
[1] An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry | OpenAI
[2] An explicit lower bound for the unit distance problem，https://arxiv.org/html/2605.20579v1
[3] Amazing: Erd?s’ Unit Distance Problem was Disproved! It was achieved by AI! | Combinatorics and more
[4] Planar Point Sets with Many Unit Distances，https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf
[5] Rewritten Chain of Thought for the Solution to the Unit Distance Problem。
https://cdn.openai.com/pdf/1625eff6-5ac1-40d8-b1db-5d5cf925de8b/unit-distance-cot.pdf
[5] Mathematics in the Library of Babel — Daniel Litt
[6] REMARKS ON THE DISPROOF OF THE UNIT DISTANCE CONJECTURE ，https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf
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