一道價值十萬美元的數學題

盧瓦爾河，被譽為"法蘭西的母親河"。盧瓦爾河谷是拉伯雷、笛卡爾、巴爾扎克、喬治·桑、普魯斯特、香奈兒出生或成長的地方，也是達·芬奇晚年定居、謝世之地。17 世紀法國數學家馬林?梅森牧師也生成斯長于斯，他的名字與數學史和計算機發展史上最迷人的謎題之一 —— 梅森素數永遠聯系在了一起。

蔡天新教授的新作《梅森素數》，用通俗易懂的語言講述了梅森素數的傳奇故事和研究現狀，這一傳奇跨越2500年，涉及亞歐非美4大洲。到2024年為止，人們共找到52個梅森素數，其中有不少由業余愛好者找到，有的因此領走了10萬美元的獎金。考慮到部分讀者的好奇心，書后還有10多條附錄，包括52個梅森素數的發現者和發現時間。為了寫作本書，蔡教授還探訪了盧瓦爾河畔的小鎮與城堡。數學的理性之美，與人文的感性之光，在這本書里相互交融。

下文經授權摘自蔡天新著《梅森素數》“引子”與“第一章”，有刪節。

撰文 | 蔡天新

一張10萬美元的支票

道生一，一生二，二生三，三生萬物。

——（東周）老子

2000年的一個春日，居住在美國汽車城底特律的印度人哈吉拉特瓦拉（Nayan Hajratwala）先生收到了總部設在舊金山的電子前沿基金會（EFF）一張5萬美元的獎金支票，因為一年前的6月，他找到了第38個梅森素數，這也是到那時為止人類發現的最大素數。眾所周知，素數或質數是大于1且不能乘法分解的正整數。例如，最小的4個素數是2、3、5、7，它們也是10以內所有的素數。

那個價值5萬美元的素數是：

2^6972593?1

這也是人類知道的第一個位數超過100萬的素數，如果把這個素數寫成我們熟悉的十進制形式的話，它有2098960位。

可是，哈吉拉特瓦拉先生并不是一個數學家，他甚至很可能對尋找素數的數學理論一無所知——雖然他贏得了這筆獎金。他是總部設在倫敦的普華永道會計事務所（Price Waterhouse Coopers）的從業人員，這家會計師事務所擁有近15萬名員工，遍布150多個國家和地區。哈吉拉特瓦拉先生所做的一切，就是從互聯網上下載一個程序。這個程序在他平常不太使用的奔騰II 350型計算機上悄悄地運行，經過111天的計算后，前面所說的梅森素數在1999年6月的某一天出現了。

九年零兩個月以后，即2008年8月，加利福尼亞大學洛杉磯分校的計算機專家史密斯（Edson Smith）找到了第47個梅森素數，有12978189位。這是人類發現的第一個超過1000萬位的素數，當然也是當時已知最大的素數，他因此獲得了EFF寄來的一張10萬美元的獎金支票，同時他的發現還被紐約的《時代》周刊推選為年度50項科學發明之一。

早在公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得便在其名著《幾何原本》第9卷中的命題20證明了，素數有無窮多個。筆者愿意相信，梅森素數也會有無窮多個。反正下一張支票，即獎金額度為15萬美元的支票，仍在等待下一位主人，會開給第一個找到超過一億位的梅森素數的幸運兒。2024年10月11日，英偉達公司的一名前員工找到了第52個梅森素數，有41024320位，這也是迄今人類發現的最大素數，可是離一億位的獎勵要求仍有距離（或許只是一步或兩步之遙）。

值得一提的是，此前一年，第50個梅森素數由美國田納西州聯邦快遞公司（FedEx）的電氣工程師佩斯找到，有23249425位。可能是因為50這個整數的緣故，日本一家叫虹色的小出版社在不到一個月的時間里出版了一本名叫《2017年最大的素數》的書，全書共720頁，沒有任何文字，只有一個數字，那就是第50個梅森素數。此書出版后第4天，首印的1500冊圖書便銷售一空了。

《2017年最大的素數》

那么，何為梅森素數？誰又是梅森先生呢？

梅森神父的沙龍

盧瓦爾河谷是孕育法蘭西精神的地方。

——（法國）夏爾·戴高樂

01

美麗的盧瓦爾河谷

1588年9月8日，一個秋高氣爽的日子，在巴黎西南盧瓦爾河大區的薩爾特（Sarthe）省，一個男孩降生了，他便是后來的天主教神父馬林·梅森（Marin Mersenne），一個神奇的數學家兼物理學家。梅森的祖輩都是農民，小時候他在故鄉的教會學校念書，加入了當地的教會組織。盧瓦爾河是法國的第一大河和母親河，她最美的一段是中游280公里長的河谷。兩岸有許多精致的小山丘，古老的城堡掩映在綠樹叢中。薩爾特省因同名的盧瓦爾河支流得名，此河流經的省會勒芒與巴黎的直線距離大約200公里。

梅森像

盧瓦爾河谷盛產梨和蘋果等新鮮蔬果，每到秋天，這里漫山遍野都是紫色的石楠花，花叢中長滿了野生的蘑菇。還有遐邇聞名的白詩南葡萄酒，既可釀成干型，也可釀成甜型。巴黎人喜歡來這里秋游、打獵或捉野鴨。有一個說法，要完整地領略法蘭西風情，需要去兩個地方，一是巴黎，二是盧瓦爾河谷。多元文化匯聚的巴黎代表了法蘭西浪漫而前衛的一面，而盧瓦爾河谷則是法蘭西古樸優雅的后花園。巴黎的美，美在各種文化的撞擊和矛盾；而盧瓦爾河谷的美，則美在她的自然、恬靜和純粹。

盧瓦爾河畔的蒙梭羅城堡

在薩爾特河匯入之前，盧瓦爾河流經了中央大區的安德爾-盧瓦爾省，安德爾河是盧瓦爾河另一條更大的支流，省名Indre-et-Loire就是把兩條河流的名字連在一起的，而且是按照字母順序排列的，et的意思是“和”，相當于英文里的and，而它東北面的省份Loir-et-Cher (盧瓦-謝爾) 卻沒有按字母順序排列，雖說也由兩條河流的名字組成。必須指出的是，安德爾-盧瓦爾省是數學家、哲學家勒內·笛卡爾（Rene Descartes, 1596-1650）的故鄉，他出生的小鎮圖賴訥在該省南部邊緣，如今已改名笛卡爾鎮。

笛卡爾比梅森小八歲，但曾在同一所學校學習，即拉弗萊什的皇家大亨利學校，又譯拉弗萊什公學。拉弗萊什是薩爾特省副省會和第二大城市，盧瓦爾河另一條支流盧瓦河（Loir）流經此城。笛卡爾出身貴族，母親早逝，父親另娶妻子，他小時候由外祖父母帶大，八歲時父親送他進了這所由國王亨利四世創建的貴族學校。開明的校長見他身體虛弱，卻又聰明，便允許他早晨睡懶覺，在床上看書而不必到教室早自修。

亨利四世中學——巴黎最好的兩所中學之一 | 圖源：作者攝

1610年5月14日，當亨利四世的馬車駛過巴黎的一條街道時，一個激進的天主教徒沖進馬車，用匕首刺傷了國王，他于次日去世。按照國王的生前意愿，他的心臟被取出，安葬在皇家大亨利學校，校方挑選了24位成績優異的學生參與護送，14歲的笛卡爾也在其中。笛卡爾在這所學校學習了八年，除了人文學科，還學習醫學、數學和其他自然科學，他后來建立了平面坐標系和解析幾何，同時創立了二元論哲學，成為“近代哲學之父”（德國哲學家黑格爾語）。

02

梅森神父的沙龍

生于養于盧瓦爾河流域，梅森自小聰穎好學，并虔誠地參加教會組織的活動，后來被送到拉弗萊什的皇家大亨利學校研修，在那里他與笛卡爾有一段共同的時光。1611年，23歲的梅森又被推選去巴黎，學習神學和希伯來語。兩年以后，他正式成為神父，并留在巴黎。在17世紀的歐洲，對普通人家的父母來說，神父、醫生和律師是最希望孩子從事的三大職業。梅森在米尼姆修道會的兩座女修道院授課，他強烈地反對煉金術和占星術，努力捍衛科學。32歲那年，梅森開始學習數學和音樂，并以傳道的名義在西歐進行廣泛持久的旅行，僅意大利就去了15次。

梅森的修道院復原圖，梅森沙龍在其中

梅森與同代最杰出的同胞科學家德扎爾格、伽桑狄、笛卡爾、費爾馬、帕斯卡爾等人交往，并與意大利的伽利略、托里拆利，荷蘭的惠更斯等通信，成為伽利略學說堅定的支持者。由于當時沒有科學雜志，人們可能畢生研究同一個問題，而相互之間并不知道。梅森通過旅行和通信，把消息及時傳遞給同道。有一個流傳甚廣的說法，“告訴梅森一個新發現，意味著全歐洲的人都知道了。”不僅如此，梅森本人也對某些問題進行研究或給出建議。例如，他曾研究過擺線，并建議荷蘭人惠更斯利用擺線作為計時器，后者因此研制出擺鐘。

梅森享有“聲學之父”的美譽，并在音樂理論方面有創造性的貢獻。梅森定律描述了弦振動的諧波，適用于吉他和鋼琴。1635年，他建立了非正式的巴黎科學協會，有140位通訊會員，包括數學家、天文學家和哲學家等，他們來自法國、意大利、荷蘭和英格蘭等國家。梅森與會員們保持著聯系，他在巴黎的家是個大房子，定期在家中舉辦沙龍，帕斯卡爾父子是其中的常客。梅森出版的著作有《科學中的真理》和《宇宙的和諧》等。

左圖：18世紀最偉大的數學家歐拉，他找到了第8個梅森素數。（圖源：作者攝）；右圖：找到第25個和第26個梅森素數的高中生諾爾。

插曲

布萊士·帕斯卡爾（Blaise Pascal,1623-1662）比梅森小34歲，兩人可謂是忘年交，他的父親老帕斯卡爾與梅森同齡，是個稅務官員。小帕斯卡爾出生在法國中部的多姆山省，四歲那年母親去世，由父親和兩個姐姐對他進行教育。在他們精心培養下，帕斯卡爾自小就喜歡幾何學，他曾獨立地得到歐幾里得幾何的前32條定理。發現了兒子的數學天賦以后，父親決定把家搬到巴黎，為了培養兒子，他后來未再續弦。

12歲那年，帕斯卡爾發現”三角形的內角和等于180度”。隨后，他父親滿心喜歡地帶他參加梅森沙龍的學術活動，讓他大開眼界，并結交了許多科學家。

在德扎爾格的影響下，18歲的帕斯卡爾寫成《論圓錐曲線》。這本小冊子的大部分已經散失，但是一個重要結論被保留下來，那就是帕斯卡爾定理：圓錐曲線的內接六邊形其三對邊延長線的交點共線。圓錐曲線指橢圓（包含圓）、雙曲線和拋物線，據說笛卡爾看過后對此書大為贊賞，但是不敢相信它出自一個少年之手。

帕斯卡爾是純粹的數學家和物理學家，同時也是卓有成就的思想家和作家，他短促的生命甚至為人類的日常生活也做出了有益的貢獻。

帕斯卡爾定律是流體力學中的一條重要定律，天氣預報時的氣壓單位叫帕或千帕，保險業的第一個數學公式也是由帕斯卡爾給出的。在帕斯卡爾生命的最后一年，他親自為巴黎市民設計了第一輛公共馬車，隨后，他又建議市政府成立出租馬車服務公司來管理這一新的交通工具，這是今天全世界每座城市的公交汽車服務公司和出租車服務公司的前身。

德扎爾格（Girard Desargues, 1591-1661）出生在法國第三大城市里昂的一個神職人員家庭，比梅森小三歲。他年輕的時候做過陸軍軍官，后來鉆研工程技術，成了一名工程師和建筑師。他曾建議巴黎市政府利用機械裝置提升塞納河的水位以供應城內居民，后來他擔任黎塞留樞機主教和首相的科技顧問。

1628年，他作為軍事工程師參加了包圍濱海城市拉羅舍爾的戰斗，在那里見到笛卡爾，兩人成為朋友。此時正值歐洲的30年戰爭，之前笛卡爾已有10年時間在漫游和軍旅生涯中度過，但他只是文官而不實際參戰。

1630年，德扎爾格在巴黎加入了梅森的科學協會和沙龍，對年輕的帕斯卡爾有著重要的影響。德扎爾格提出了“無窮遠點”的概念，把直線看作具有無窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作割線的極限，這些概念都是射影幾何學的基礎。

憑借這些概念的引入，他回答了兩個世紀前全才的意大利雕刻家阿爾貝蒂就透視原理提出的一個問題——同一描摹對象在相互平行的兩塊玻璃屏板上的投影之間的數學關系。而德扎爾格定理是這樣說的：假如平面或空間的兩個三角形的對應頂點的連線共點，那么它們的（三組）對應邊（延長線）的交點共線。

德扎爾格定理是射影幾何學的基本定理，射影幾何學是研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換后依然保持不變的圖形性質的幾何學分支，又稱投影幾何學。

在梅森的科學協會中，也有來自巴黎以外的同胞，最著名的便是南方圖盧茲城里的費爾馬（Pierre de Fermat，1601-1665），他是個地方法官。因為當年的法國政府有要求，法官要盡量避免參加社交活動，以免判案時遇到熟人有偏頗，于是費爾馬就把無數個夜晚奉獻給了數學研究。經過梅森的介紹，費爾馬與帕斯卡爾通信，有一陣子他們討論了賭博中獲勝的概率問題，他們的通信奠定了概率論這門學科的基礎。

梅森的科學協會和沙龍是1666年由國王路易十四宣布成立的法蘭西科學院的雛形，據說那會兒法國有15個類似的科學技術協會，梅森的協會和沙龍之所以能夠勝出，應該得益于他吸引的同仁水平之高。遺憾的是，法蘭西科學院成立時梅森已不在人世了，其他人成為該科學院的創始院士。1648年9月1日，梅森死于肺膿瘡引發的并發癥，享年60歲。有的歷史學家認為，那天他與老同學笛卡爾在一起時，因為天氣太熱飲用了過量的淡水。正如達·芬奇死于弗朗索瓦一世懷中，梅森是死在好友伽桑狄懷中。這位伽桑狄與笛卡爾一樣，也是一位數學家兼哲學家，我們將在第12節詳細介紹。

03

梅森素數的奧秘

值得一提的是，萊吉烏斯在拉丁語里的意思是皇家，萊吉烏斯教授（Regius Professor）在牛津、劍橋、圣安德魯斯、格拉斯哥、阿伯丁、愛丁堡和都柏林大學均屬于皇家教授頭銜。例如，牛頓的老師巴羅（Isaac Barrow, 1630-1677）30歲那年被劍橋大學任命為 Regius Professorship of Greek，但教了兩年他就不教了，因為來修希臘語的學生太少了。

于是，巴羅便改教數學，又被學校任命為新設立的盧卡斯講席教授，結果就教出了牛頓。等到牛頓26歲，其成就超過了巴羅，38歲的巴羅便主動讓賢了，牛頓出任第二任盧卡斯講席教授。如今，盧卡斯教授已成為劍橋乃至英國最具聲望的教授職位。“一個愛書的人，他必定不至于缺少一個忠實的朋友、一個良好的導師、一個可愛的伴侶和一個溫情的安慰者。”巴羅的這句名言流傳至今。

為牛頓讓賢的巴羅

通常來說，已知最大的梅森素數也是已知最大的素數（反例在本書中偶有出現），因此梅森素數的尋找顯得特別有意義。尤其是在過去近半個世紀里，因為大素數可以用來構造密碼學中的公開密鑰系統。可是，我們既無法判定是否存在無窮多個梅森素數，也無法判定是否有無窮多個梅森合數，雖說兩者之中至少有一個成立。但是，如果存在無窮多個4m+3型索菲·熱爾曼素數，則必定有無窮多個梅森合數。

索菲·熱爾曼素數是指這樣的素數p，2p+1也是素數。例如2、3、5、11、23是索菲·熱爾曼素數，而7、13、17、19、27不是索菲·熱爾曼素數。它得名于法國女數學家和物理學家索菲·熱爾曼（Sophie German,1776-1831）。上述有條件下無窮多個梅森合數的存在性證明并不高深，只需用到初等數論中二次剩余的性質。另一方面，我們可以利用梅森素數的性質證明素數有無窮多個，這個證明需要用到抽象代數里有關群論的知識（以上兩個證明參見附錄1和附錄2）。

熱爾曼出生于巴黎的一個殷富人家，父親有很多藏書，有不少是科學方面的書籍，她從小就讀到阿基米德的故事、牛頓和歐拉的著作，對數學和物理學尤感興趣。但在她生活的年代，女性是遠離大學和學術的，于是她只好化名男子與同胞數學家拉格朗日、勒讓德以及德國數學家高斯等通信，她在費爾馬大定理的研究中做出了突出貢獻。后來高斯建議哥廷根大學授予她榮譽博士學位，可惜未及授予她便患乳腺癌去世了。

2016年，法國發行紀念熱爾曼的郵票

1889年，為紀念法國大革命100周年，埃菲爾鐵塔在巴黎建成，鐵塔四周刻有72位法國科學家和工程師的姓氏，其中數學家有16位，按照索菲·熱爾曼的貢獻，她本有機會位列其中，但可能因為性別的緣故，她沒有被選中。另一個遺憾是，群論的創立者伽羅瓦（évariste Galois，1811-1832）也沒有被選中，他在20歲那年死于情人決斗。伽羅瓦利用自己的發明徹底解決了根式求解代數方程問題，由此發展出來的一整套有關群和域的理論被稱為伽羅瓦理論。

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