陳省身：無為而治

陳省身是享譽世界的數學大師，也是中國最偉大的科學家之一，被譽為整體微分幾何之父。他深耕基礎數學領域，取得一系列劃時代成果：1945 年，他引進了規范場中的陳類，奠定了整體微分幾何的基礎，深刻的影響了現代數學的許多分支；1970 年，陳省身和西蒙斯將陳類推廣，引入陳-西蒙斯不變量，被廣泛視為幾十年來對現代物理學最具影響的理論。1990 年，身處洛杉磯的陳省身接受了 Jean Pierre Bourguignon 的專訪，回溯了輾轉南開、清華、漢堡、巴黎的求學生涯，講述了追隨嘉當學習的傳奇經歷，也坦誠分享了自己對學科發展、學術研究、人才培養的獨到思考。而貫穿其中的治學與處世的無為而治、順其自然的東方智慧，也讓我們得以走近這位數學巨匠豐盈的精神世界。

采訪人：Jean Pierre Bourguignon，英國皇家科學院院士、歐洲科學院院士、法國數學家，曾任法國高等科學研究所所長、法國數學學會主席、歐洲數學會主席、歐洲研究理事會（ERC）主席等職。曾榮獲法國物理學會 Paul Langevin 獎，法國數學和物理科學Rayonnement Francais獎。

視頻由法國高等科學研究所授權刊發，陳省身教授之女陳璞（May Chu）授權制作。Anthony Phillips 拍攝, Jean-Fran?ois Dars 和 Anne Papillault 制作完成。葉驍煒、鄭坂制作中文字幕，Jean-Pierre Bourguignon 與高等科學研究所青年教授陶中愷協助。（請前往“返樸”公眾號觀看）

求學生涯

我的職業生涯與西方數學家很不同，也與今天的年輕數學家不同。我進入南開讀大學，當時的南開還是個很小的大學，所有專業總共只有約三百名學生。我父親送我去南開，因為他認為我應該接受大學教育。我對以后要做什么工作并沒有主意。對數學的志趣將我帶向了科學。于是，我成為了一名理學院學生。我不太會做實驗，這使數學成了一個自然的選擇。當時數學系只有一名教授姜立夫。他在哈佛師從 Julian Coolidge，獲得博士學位, 姜先生是一位杰出的老師，我跟隨他，聽了他許多課。先是高等微積分和線性代數，之后是一些更前沿的課程（譯者注：彼時南開大學數學系由姜立夫教授獨自支撐)。

在很早的時候，我就一直有做些事情的志向，它不必是非常時髦的事情。1932 年，Wilhelm Blaschke 訪問北京，我當時在清華讀書，聽了他的講座。1934 年，我獲得了一個赴美留學的機會，但我更希望去歐洲，于是就去了漢堡跟隨 Blaschke 學習。到了德國，我并沒有上太多他的課，那時，他經常出差。但他建議我應該去跟 élie Cartan 做博士后。我 1936 年在漢堡。從 1936 年到 1937 年，我在巴黎。

弘揚與Cartan的過往

Cartan 是一個手上有很多小問題的人。我第一次見到 élie Cartan, 他就給了我一個問題。那個問題是：有一個幾何結構，嘗試定義內蘊的聯絡，(這個聯絡) 要給出這個結構所有的解析的、幾何的性質。我自然做不出這個問題。大概一個月過后，我在 Poincaré 所的樓梯上又遇到了他。我們握了握手，然后他問：“你為什么不來見我？我告訴他：“我做不出您的問題。然后他說：“不管怎樣要來見我。”于是我開始常與他交談。后來我對這個領域有了更多的了解。他第一次給我的問題其實是很好的問題，我后來還解決了它。

大概三四個月后，他告訴我可以去他家見他。那時我住在大學城的瑞士樓，他家就在那條街上。我與他大概每兩周見一次面，我不用約定直接去找他。通常他會為我開門，現在這個家是 Henri Cartan 在住。Cartan 的書房就在門口。我們大概交流一個小時，我向他做匯報。我會把這兩周得到的結果寫下來，并把問題用法語寫下來。這樣他就能用法語讀并回答。我們用法語對話。我們的交流非常棒，通常第二天我就會收到 élie Cartan 的信。他會說：“你走了之后我又想了你的問題。“如果這樣做/那樣做會很有趣。”我那段時間很努力，我要在兩周之內去思考，他有很多小問題，我要想他的問題，并且嘗試考慮不同的東西。對于我，這一年至關重要。在這一年內，我完成了一些文章。最主要的是，一年之后我發現 Cartan 對我來說不再難以理解。我具有了像他那樣思考的能力，這使我受益良多。

關于示性類

從一開始 我就意識到這是一個重要的問題。這一切要從我對 Gauss-Bonnet 公式的證明說起。那是 1943 年，我從中國到了普林斯頓高等研究院，遇到了 André Weil。他剛與 Allendoerfer 合作寫完關于 Gauss-Bonnet 公式的論文。他們的方法是將黎曼流形切成若干帶邊流形，再粘在一起等等。André 問我，為什么不能有一個直接的證明？我便自然地考查了最簡單的情況——曲面的情況。我發現曲面的情況可以提升到叢上用超渡（transgression）公式來證。這個超渡公式不僅蘊含了帶邊曲面 Gauss-Bonnet 定理的證明，還給出了 Gauss 絕妙定理的證明，所有都含在一個公式中。我對此很開心，因為即使在二維情況，這也是 Gauss 和 Darboux 等人所不知道的。Heinz Hopf 在一篇題為《微分幾何與拓撲形狀》的文章中，稱 Gauss-Bonnet 問題為“微分幾何中最重要且最困難的問題”。這篇文章發表于《德國數學家聯合會年報》。因此，我對證明感到非常高興。

接下來，自然地，如果對 Euler 示性類做了什么，便可以嘗試對 Stiefel-Whitney 示性類做類似的事情。這是我做出的第一次嘗試，而我很快意識到必須要做復化。因為在實流形上，撓總是令人頭疼。微分形式與撓不能兼容。我意識到，在復流形上一切都變得簡單。過了很長一段時間后，復示性類才變得有用。

我當時在研究所，把文章的手稿給 Hermann Weyl 看了。他恭喜了我，也感到很高興。在這之前，我有篇文章題為《迷向曲面的幾何》，發表在《數學年刊》上。Hermann Weyl 是審稿人。起初，我從中國把這篇文章寄給 Lefschetz，Lefschetz 當時是《年刊》編輯，我收到他的回信說“我們收到太多投稿，如果您可以撤回投稿就好了。我沒有回 Lefschetz 的信，不過大概一個月過后，我收到 Lefschetz 的另一封信，說：“您的文章己經審過，審稿人高度推薦，我們很高興您的文章將在《年刊》發表”。后附的審稿報告很長，我想有大概十頁。我去了 Princeton 之后，有一天 Hermann Weyl 問我：“陳，你知道你那篇文章的審稿人是誰嗎？”原來就是他，因此他知道我的這個工作。我們有很多聯系。Weyl 表達了對這篇證明了 Gauss-Bonnet 定理的論文的贊賞。

微分幾何，回歸前沿

據我了解，在歐洲大學里，微分幾何曾被稱做“微積分在幾何中的應用，這是很重要的。畢竟微積分的祖師爺們總是運用幾何的概念。而之后，Euler，Lagrange 等人的大量工作也都與幾何密切相關。所以在某種意義上，微分幾何一直是數學中重要的一部分。它的重要性可能一度被取代。首先被復變函數取代，復變函數非常迷人，并在一段時間內幾乎統治了整個數學領域。之后微分幾何的地位又被代數，抽象代數所取代。此后，微分幾何的重要性是通過理論物理的發展被認識到的。愛因斯坦的相對論將關注轉移到了微分幾何上。當然，現在微分幾何相較以前，與更多數學（分支）產生了關聯。這是非常自然的，某種意義上，要說出什么是幾何并不困難。但到了高維，很難看到一個圖像，即使電腦有時能畫出漂亮的圖。而一些真正的進展還是用分析的方法做出來的。

纖維叢

一個偉大的進展就是纖維叢理論的發展。纖維叢或者向量叢。一方面，一般意義下有各種空間；另一方面，又有很特殊的空間，比如歐氏空間、非歐空間，以及這些空間中的一些圖像。纖維叢這個概念將二者結合，纖維上的性質簡單，但底空間可以很一般。示性類很重要，因為它們是少見的與局部和整體性質都相關的不變量。通過運用這兩類性質，微分幾何得到了一些最重要的發展。我認為微分幾何仍會是數學比較中心的分支。

數學與物理

數學和物理的關系還會變得更近。我們正在做的這類數學，以這次暑期研究（注：活動期間，陳省身接受了本次采訪）為例，數學家與一些理論物理學家的興趣很近。南開研究所物理分所由楊振寧指導，按他的說法，他們在做很好的工作。比如說，他們找到了 Yang-Baxter 方程的新的解。

流形之后，幾何的“新衣”會是什么

注：在《美國數學月刊》發表的一篇文章中，陳先生將幾何與服飾的發展類比，流形的概念被比作現代人的穿衣方式。

我并不了解（服飾的演變），這是個有趣的類比。我認為總會有新衣服出現。人們總穿舊衣服是沒道理的。現在時髦的東西過了幾年后也會變得過時。我認為幾何學家，或者說微分幾何學家，應該考慮奇點。為什么可微性在幾何中扮演如此重要的角色，這是值得注意的。人們會認為或許連續性的概念，例如拓撲學，已經足夠。然而光滑性排除了很多無趣的東西，保留了重要且有趣的東西。函數必須至少二次可微這件事卻很令人費解。當計算變分，需要討論臨界點，那么函數若光滑就好很多。但不得不更進一步，去考查二階微分、二階變分。光滑性只是一個常見的性質，最重要的性質都集中在奇點上。我總認為分層流形的概念或其一些變式應被給予更多關注。畢竟整體微分幾何中幾乎所有重要定理都有組合或離散的對應。這就是困難所在。如何保留重要的東西，丟掉不重要的。這需要一番工作和偉大的洞察。

東西方不同觀念

我不知道東西方是否真的存在區別，可能那只是不同的看法。有人同時在這兩種流派之中。我此前的評論“東方關注所謂‘小而有趣的問題’，西方更關注獨特的問題以及整體的科學觀”，是一種有趣的說法。西方有一種希望追求獨一無二的傾向。比如早年，康德認為歐氏空間是唯一的空間。我想，西方認為只有一個上帝，這根植于西方文化。而中國人不這么感覺。孔子本人就非常自由主義，愿意接受各種想法。

如何判斷研究價值

所有的數學家都喜歡想些小問題。在某些時期，比如，我曾與 Paul Erd?s 這樣的數學家有很多聯系。思考 Erd?s 的問題是很危險的。因為它們很有趣也很有挑戰性，但幾周后也不會有任何進展。André Weil 會建議我不要這么做。某種意義上來說，每個數學家都在其生活和事業中面臨這樣的選擇，不得不做出各種決定和嘗試。即使是為了樂趣而做數學，你也應當意識到某個工作的意義。個人工作與集體工作的界線，或者時髦與否的界線，是不清晰的。這是一個價值判斷的問題。

與學生

我要特別地提到 Jim Simons。Jim 顯然是個非常杰出的學生。他做學生時，他想學習某些知識，他先學會，并發布海報說他要講一堂關于這方面的課。他的課講得非常好，以至于一些老師也去聽他的課。這顯然是一個值得幫助的學生。但總體來說，我愿意盡力幫助學生。我總是對有困難的學生報以同情，并盡可能幫助他們走出困難。

無為而治

純數學家和應用數學家應該在一起。以微分幾何這一學科為例，以示性類為例，它在物理中有應用。不僅如此，微分幾何在生物學問題中也很重要，例如 DNA 結構等等，與閉曲線或閉曲線對的幾何性質有關。在這種意義下，做純數學的人可以對應用的問題做出奠基性的貢獻。但他們也需要有開放的思想。

年輕人不愿從事科研。我想這很顯然，因為（科研）需要刻苦的、長期的工作，但即便數年如一日地深耕某個領域，也無法保證成功，是有一定風險的。（做科研）所承擔的風險和所付出的努力與取得的回報總是不容易匹配。我們自然無法吸引到很多人來做數學家。但我認為這個學科是如此有趣和重要，它將繼續存在下去。

我的觀念不太一樣。我并不嘗試宣傳數學以吸引更多學生。我認為那些愿意付出努力的人會自愿地來（做數學）。如果他們什么也不做，或者找到了更加有回報的事業，或更有趣的事，我會讓他們去做那些事。

我認為數學家是不會短缺的。這是我的感受，是我中式的思維方式：無為而治，順其自然。

本文經授權轉載自微信公眾號“數理人文”（編輯：牛蕓；審核：鄧宇善）。

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