準(zhǔn)初二，突破數(shù)學(xué)瓶頸，可以試試這么做

上周寫了給準(zhǔn)初一學(xué)生的建議：

今天繼續(xù)這個(gè)系列的準(zhǔn)初二版本的。

和初一相比，一方面初二的同學(xué)少了很多需要適應(yīng)的東西，一些真的有比較大學(xué)習(xí)障礙，自控能力偏弱，學(xué)習(xí)態(tài)度不佳的同學(xué)已經(jīng)能看出明顯的掉隊(duì)。如果小學(xué)基礎(chǔ)本就一般的話，初一就已經(jīng)是非常重要的一年。

從這個(gè)暑假開始，準(zhǔn)初二的同學(xué)可以把更多的精力聚焦在學(xué)習(xí)內(nèi)容和突破成績(jī)瓶頸方面。

同樣地，普娃和有拔尖需求的娃，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的側(cè)重點(diǎn)理應(yīng)不同。

前者需要解決每個(gè)學(xué)期的所有基礎(chǔ)問題，做熟做扎實(shí)，然后循序漸進(jìn)去挑戰(zhàn)一些更加綜合，難度更大的題目。后者則是在保證基礎(chǔ)穩(wěn)如狗的前提下，不要逃避壓軸題，多花時(shí)間在難題的思考與總結(jié)上，去形成一套解決常規(guī)難題的套路，以及面對(duì)沒見過的新題型的方向。

具體到學(xué)習(xí)內(nèi)容上，初二和初一又有很大的不同。

上一篇講過，初一主要打的是代數(shù)基礎(chǔ)，除了上學(xué)期幾個(gè)代數(shù)章節(jié)外，下學(xué)期也有不等式、二元一次方程組、實(shí)數(shù)這幾個(gè)純代數(shù)章節(jié)，以及數(shù)軸的延伸與函數(shù)的前置知識(shí)——平面直角坐標(biāo)系，依然是代數(shù)。

代數(shù)是基于一定的規(guī)則的運(yùn)算，是保證基礎(chǔ)的關(guān)鍵。因此數(shù)學(xué)能力相對(duì)不強(qiáng)的同學(xué)，首先抓的應(yīng)該是代數(shù)，拿到所有基本的，該拿的分。

初二的代數(shù)章節(jié)主要包括八年級(jí)上學(xué)期的后半部分，即整式乘法、因式分解和分式，緊接著的還有八年級(jí)下學(xué)期第一章二次根式。

計(jì)算部分，純粹可以熟能生巧，因此數(shù)學(xué)基礎(chǔ)偏弱的同學(xué)，完全能夠通過暑假預(yù)習(xí)，“笨鳥先飛”，把量堆上去，到時(shí)候?qū)W起來自然而然就熟練了，進(jìn)而再去優(yōu)化方法，去挑戰(zhàn)一些對(duì)代數(shù)能力要求更高的題目。

而想要突破數(shù)學(xué)的瓶頸，在初二數(shù)學(xué)當(dāng)中，幾何才是更重要的內(nèi)容。八上的幾何與代數(shù)，看似對(duì)半分，但重點(diǎn)難點(diǎn)，以及對(duì)整個(gè)中考的影響大小，幾何才是更重要的部分。

前半個(gè)學(xué)期我們都會(huì)在三角形里遨游，三角形、全等三角形和軸對(duì)稱（本質(zhì)上是等腰和等邊三角形）。初二下會(huì)繼續(xù)出現(xiàn)勾股定理、平行四邊形這兩個(gè)重要的幾何章節(jié)。

比知識(shí)量更能體現(xiàn)幾何在八年級(jí)學(xué)習(xí)中的重要性的是難題。初一上學(xué)期數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)的確定性會(huì)更強(qiáng)，題目再怎么變也就是那幾類，無非就是初始位置變、速度變、方向變，變化相對(duì)可控。

而初二的壓軸題則一定三角形的綜合問題。三角形相關(guān)學(xué)習(xí)和難題將貫穿整個(gè)學(xué)年，并且其知識(shí)儲(chǔ)備和對(duì)幾何題的學(xué)習(xí)和解題感覺會(huì)一直延續(xù)到初二下學(xué)期的勾股與平行四邊形，乃至初三幾何。

這是剛剛過去的八年級(jí)越秀區(qū)期末數(shù)學(xué)壓軸題，可以看到其考點(diǎn)的綜合。

第一問平行四邊形的證明，題目底圖是矩形，并且出現(xiàn)不止一個(gè)直角三角形，思路上理應(yīng)圍繞勾股定理展開。同時(shí)可以看到，第三問“GH+EH=2GH”這個(gè)條件，學(xué)生應(yīng)該想起“截長(zhǎng)補(bǔ)短”構(gòu)造全等或“將軍飲馬”等和“線段轉(zhuǎn)換”相關(guān)的內(nèi)容，這些內(nèi)容其實(shí)是出現(xiàn)在八上那幾章三角形里面的，是整個(gè)八年級(jí)壓軸非常常見的考點(diǎn)。

但幾何卻是另一個(gè)要求。幾何除了要求同學(xué)們記熟判定與性質(zhì)之外，其題目變化多端，聯(lián)系緊密，邏輯要求高。

給你一道計(jì)算題，你可能算錯(cuò)，你可能粗心，但你肯定知道題目要你干啥。但給你一道幾何題，你可能就不知道怎么證，是通知所學(xué)的哪些知識(shí)去做這道題——一道題可以涉及多個(gè)知識(shí)。

不少學(xué)生學(xué)習(xí)比較死板，缺乏對(duì)不同知識(shí)之間關(guān)聯(lián)程度的思考，如果自己校內(nèi)或校外的老師在教學(xué)過程中是照本宣科，割裂知識(shí)之間聯(lián)系的， 學(xué)生容易陷入“大腦 宕機(jī) ”的境地，面對(duì)題目腦子一片空白，不知道從何入手。

要突破這層瓶頸，就不能只是一味刷題了。有一些方法，也許能幫助大家。

首先，你要構(gòu)建起一顆顆“樹”，要明白大多數(shù)知識(shí)之間不是獨(dú)立存在的。

比如初二下學(xué)期我們會(huì)開始接觸一次函數(shù)。一次函數(shù)會(huì)涉及一元一次和二元一次方程，會(huì)涉及不等式，它是深度的七下平面直角坐標(biāo)系的延伸，而后者的前置知識(shí)是七上的數(shù)軸問題……你要看到，函數(shù)不過是加入了新配方的舊知識(shí)，是一種延伸。

再比如八下，仔細(xì)琢磨一下，為什么課本安排按照的是二次根式——勾股定理——四邊形這個(gè)順序？因?yàn)榄h(huán)環(huán)相扣，勾股需要用到二次根式的計(jì)算，而特殊平行四邊形里又有大量的直角三角形，則必然會(huì)出現(xiàn)勾股相關(guān)知識(shí)，當(dāng)然還有八上的三角形。

其次，公式定理不應(yīng)死記硬背

死記硬背只能解決死記硬背的問題，但是現(xiàn)在出題靈活度比不是過去能比的，酒瓶換新酒很多同學(xué)就看不出來。

全等的五個(gè)判定，絕大多數(shù)學(xué)生都會(huì)記得。但你有想過為什么“SAS”可以，而"SSA”卻不行嗎？

勾股定理的多種證明方式，課本出現(xiàn)過，很多考題的背景知識(shí)里其實(shí)也有，你有弄明白嗎？如果你推倒過，弄明白了，你就知道“三垂直模型”這個(gè)初中數(shù)學(xué)經(jīng)典常考模型是個(gè)什么東西，很多題目你一看就會(huì)知道它很可能靠這個(gè)。但有的同學(xué)，卻從頭到尾只是知道那一條公式，就覺得自己掌握了勾股定理。

還有函數(shù)“一次函數(shù)與方程（組）、不等式”這一節(jié)書，你知道為什么起這么一個(gè)標(biāo)題嗎？它們有什么聯(lián)系？你會(huì)看圖嗎？要知道，這是任何一份一次函數(shù)考題里都必然會(huì)出現(xiàn)的考點(diǎn)，會(huì)看圖就是秒做，幾乎不用計(jì)算的送分題。

“將軍飲馬”、以及初三出現(xiàn)更多的“胡不歸”，不要只停留在這些定理的名稱，要真正落到實(shí)處，怎么作線，題目會(huì)有什么變化。

第三，把題目條件和所學(xué)知識(shí)或方法關(guān)聯(lián)起來。

幾何輔助線有時(shí)候確實(shí)是玄學(xué)，某些題目要“試”，但這不是你擺爛的理由，因?yàn)槟阈枰囵B(yǎng)自己有思路，要有想法，看到題目的條件、圖的樣子要合理懷疑題目可能考我這個(gè)那個(gè)，建立起你自己的解題鏈路。比如：

中點(diǎn)可能指向倍長(zhǎng)中線、中位線，直角三角形斜邊上的中線等，視乎條件選擇；

題目告訴你出現(xiàn)了角平分線，一來給相等的角標(biāo)上同樣的符號(hào)，找題目還能否推導(dǎo)出其他相等角，進(jìn)而可能出現(xiàn)等腰、平行的推論，二來反應(yīng)到可能涉及“角平分線的性質(zhì)”，則應(yīng)該考慮過角平分線上的點(diǎn)做垂線；

含有幾何題里面的一些經(jīng)典數(shù)字，如 √2、 √3等這些玩意已出現(xiàn)，特殊角的指向性就很明顯，則理應(yīng)迅速反應(yīng)出來題目可能存在的特殊角直角三角形的三邊關(guān)系；

還包括和各種你能喊得出來，上面提到過或者沒提到過的定理和方法，你要在一次又一次看到題目的時(shí)候，首先反應(yīng)過來“題目要考我這個(gè)”，然后依據(jù)題目條件嘗試作輔助線展開證明，或者設(shè)未知數(shù)展開計(jì)算等等。

做題重要嗎？重要的！沒有量變?cè)趺磿?huì)有質(zhì)變。部分同學(xué)上課也是認(rèn)真的，也會(huì)去思考，但只停留在思考而不是動(dòng)筆層面，聽懂不代表會(huì)做，更不代表拿到分，尤其是現(xiàn)在題目變化程度是如此地大，日常做題免不了。

但另一方面，做題并不在量，而在質(zhì)。你有那么多的學(xué)科要學(xué)習(xí)，那么多的學(xué)習(xí)任務(wù)要完成，數(shù)學(xué)不是唯一的。

如果你本身就在一所不錯(cuò)的學(xué)校里面，學(xué)校給的難題量和難題專題與評(píng)講時(shí)間已經(jīng)足夠，那么只要老師安排的能保質(zhì)完成就很好了。如果你學(xué)校講得不多，你每周都應(yīng)該抽出時(shí)間去完成3~5道壓軸題的練習(xí)，每道限時(shí)在30分鐘左右，任務(wù)包括拿到新題、思考并盡可能寫下思路和過程、對(duì)答案并復(fù)盤（復(fù)盤這道題考什么，自己卡在哪個(gè)點(diǎn)，回憶這個(gè)考點(diǎn)出現(xiàn)頻率）。

如果你基礎(chǔ)薄弱，那沒有捷徑，從計(jì)算開始，從基礎(chǔ)開始，提前預(yù)習(xí)，調(diào)整心態(tài)不要害怕不要逃避，笨鳥先飛。

如果你基礎(chǔ)問題不大但卡在瓶頸上無法更上一層樓，那首先要有一個(gè)突破的決心，但同時(shí)也急不來。不妨按照我上面給的建議，但一定要堅(jiān)持，堅(jiān)持再堅(jiān)持，同時(shí)不斷優(yōu)化自己的思維和解題方式。

當(dāng)然，如果有機(jī)會(huì)，歡迎大家直接過來跟跟我的課，除了數(shù)學(xué)外，區(qū)老師工作室還開設(shè)有初高中的數(shù)理化，有和我一樣優(yōu)秀的老師，詳情可以咨詢叮當(dāng)老師。