為什么你感受不到數學的美？看了這篇還沒愛上數學的，我沒見過！

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講數學之美，分形圖形是不可不講的。如果說有什么東西能夠讓數學和藝術直接聯系在一起，答案毫無疑問就是分形圖形。

在數學發展的過程中，很多時候提出新的數學問題，開創新的數學領域，最初的動機并不是解釋生活中的現象，而是因為它本身的美妙。幾乎所有的數學家都認為數學是優美的。而普通人要如何感受數學的美呢？

數學科普大神顧森的這本《思考的樂趣》就從“生活中的數學”、“數學之美”、“幾何的大廈”、“精妙的證明”和“思維的尺度”五個維度，用了大量的案例來展現數學的樂趣，每一個讀過的人都會被深深吸引。這是一個熱愛思考的年輕人積攢的讓人一讀就欲罷不能的趣味書。

《思考的樂趣》出版至今，收到了十余萬的讀者的喜愛。今天就選取其中最能代表數學之美的”分形“，分享給大家。

講數學之美，分形圖形是不可不講的。如果說有什么東西能夠讓數學和藝術直接聯系在一起，答案毫無疑問就是分形圖形。

讓我們先來看一個簡單的例子。首先畫一個線段，然后把它平分成三段，去掉中間那一段并用兩條等長的線段代替。這樣，原來的一條線段就變成了四條小的線段。用相同的方法把每一條小的線段的中間三分之一替換成一座小山，得到了16條更小的線段。然后繼續對這16條線段進行類似的操作，并無限地迭代下去。圖1是這個圖形前五次迭代的過程，可以看到第五次迭代后圖形已經相當復雜，我們已經無法看清它的全部細節了。

圖　1

你可能注意到一個有趣的事實：整個線條的長度每一次都變成了原來的

。如果最初的線段長度為一個單位，那么第一次操作后總長度變成了

，第二次操作后總長度增加到

，第次操作后總長度為

。毫無疑問，操作無限進行下去，這條曲線將達到無限長。難以置信的是這條無限長的曲線卻“始終只有那么大”。

現在，我們像圖2那樣，把3條這樣的曲線首尾相接組成一個封閉圖形。這時，有趣的事情發生了，這個雪花狀的圖形有著無限長的邊界，但是它的總面積卻是有限的。有人可能會說，為什么面積是有限的呢？雖然從圖2看結論很顯然，但這里我們還是要給出一個簡單的證明。3條曲線中每一條在第次迭代前都有條長為

的線段，迭代后多出的面積為個邊長為

的等邊三角形。把

擴大到，再把所有邊長為

的等邊三角形擴大為同樣邊長的正方形，總面積仍是有限的，因為無窮級數

是收斂的。很難相信，這一塊有限的面積，竟然是用無限長的曲線圍成的。

圖　2

這讓我們開始質疑“周長”的概念了：剪下一個直徑為1厘米的圓形紙片，它的周長真的就是厘米嗎？拿放大鏡看看，我們就會發現紙片邊緣并不是平整的，上面充滿了小鋸齒。再用顯微鏡觀察，說不定每個小鋸齒上也長有很多小鋸齒。然后，鋸齒上有鋸齒，鋸齒上又有鋸齒，周長永遠也測不完。分形領域中有一個經典的說法，“英國的海岸線有無限長”，其實就是這個意思。

上面這個神奇的雪花圖形叫做科赫雪花，那條無限長的曲線就叫做科赫曲線。他是由瑞典數學家馮?科赫（Helge von Koch）最先提出來的。

分形這一課題提出的時間比較晚。科赫曲線于1904年提出，是最早提出的分形圖形之一。我們仔細觀察一下這條特別的曲線。它有一個很強的特點：你可以把它分成若干部分，每一個部分都和原來一樣（只是大小不同）。這樣的圖形叫做“自相似”（self-similar）圖形。自相似是分形圖形最主要的特征，它往往都和遞歸、無窮之類的東西聯系在一起。比如，自相似圖形往往是用遞歸法構造出來的，可以無限地分解下去。一條科赫曲線包含有無數大小不同的科赫曲線。你可以對這條曲線的尖端部分不斷放大，但你所看到的始終和最開始一樣。它的復雜性不隨尺度減小而消失。另外值得一提的是，它是一條連續的，但處處不光滑（不可微）的曲線。曲線上的任何一個點都是尖點。

分形圖形有一種特殊的計算維度的方法。我們可以看到，在有限空間內就可以達到無限長的分形曲線似乎已經超越了一維的境界，但說它是二維圖形又還不夠。1918年，數學家費利克斯?豪斯道夫（Felix Hausdorff）提出了豪斯道夫維度，它就是專門用來對付這種情況的。簡單地說，豪斯道夫維度描述了對分形圖形進行縮放后，圖形所占空間大小的變化與相似比的關系。例如，把正方形的邊長擴大到原來的2倍后，正方形的面積就將變成原來的4倍；若把正方形的邊長擴大到原來的3倍，則其面積就將變成原來的9倍。事實上，兩個正方形的相似比為1:a，它們的面積比就應該是1:a2，那個指數2就是正方形的豪斯道夫維度。類似地，兩個立方體的相似比為1:a，它們的體積比就是1:a3，這就告訴了我們，立方體的豪斯道夫維度是3。然而，一條大科赫曲線包含了4條小科赫曲線，但大小科赫曲線的相似比卻只有1:3。也就是說，把小科赫曲線放大到原來的3倍，所占空間會變成原來的4倍！因此科赫曲線的豪斯道夫維度為

。它約等于1.26，是一個介于1和2之間的實數。直觀地說，科赫曲線既是曲線，又非曲線，它介于線與面之間。

很多分形圖形的維度都介于1和2之間。比如說謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形：像圖3那樣，把一個三角形分成4等份，挖掉中間那一份，然后繼續對另外3個三角形進行這樣的操作，并且無限地遞歸下去。每一次迭代后整個圖形的面積都會減小到原來的

，因此最終得到的圖形面積顯然為0。因而和科赫曲線正好相反，它已經不能算二維圖形了，但說它是一維的似乎也有些過了。事實上，它的豪斯道夫維度是

，也是一個介于1和2之間的圖形。

圖　3

謝爾賓斯基三角形的另一種構造方法如圖4所示。把正方形分成四等份，去掉右下角的那一份，并且對另外3個正方形遞歸地操作下去。挖幾次后把腦袋一歪，你就可以看到一個等腰直角的謝爾賓斯基三角形了。

圖　4

謝爾賓斯基三角形還有一些非遞歸的構造。1983年，斯蒂芬?沃爾夫勒姆（Stephen Wolfram）發現，在一個網格中，從一個黑色格子開始，不斷按規則生成下一行的圖形（見圖5），也能得到謝爾賓斯基三角形。這種圖形生成方法有一個很酷的名字，叫做“細胞自動機”。

圖　5

謝爾賓斯基三角形有一個神奇的性質：如果某一個位置上有點（沒被挖去），那么它與原三角形頂點的連線上的中點處也有點。這給出了一個更為詭異的謝爾賓斯基三角形構造方法：給出三角形的3個頂點，然后從其中一個頂點出發，每次隨機向任意一個頂點移動

的距離（走到與那個頂點的連線的中點上），并在該位置作一個標記；無限次操作后所有的標記就組成了謝爾賓斯基三角形。

楊輝三角與謝爾賓斯基三角形之間也有不可思議的關系。如圖6，把楊輝三角中的奇數和偶數用不同的顏色區別開來，你會發現由此得到的正是謝爾賓斯基三角形。也就是說，二項式系數（或者說組合數）的奇偶性竟然可以表現為一個分形圖形！這相當于給出了謝爾賓斯基三角形的第五種構造方法。利用簡單的代數方法生成如此優雅的圖形，實在是令人嘆為觀止。請記住謝爾賓斯基三角形這個最經典的分形圖形，因為在未來的某個時刻，我們將會在某個出人意料的地方用到它。

大家或許已經看到了數學的奇妙之處：一個如此簡單的公式，竟能形成如此美觀精細的圖形。說到這里，我們不得不提另一個奇跡般的分形圖形。

圖　6

考慮函數

。固定的值后，我們可以通過不斷地迭代算出一系列的值：

, …。比如，當時，我們可以依次迭代出：

可以看出，值始終在某一范圍內，并將最終收斂到某一個值上。

但當

時，情況就不一樣了。幾次迭代后我們將立即發現值最終會趨于無窮大：

經過計算，我們可以得到如下結論：當屬于時，值始終不會超出某個范圍；而當小于

或大于1.5后，值最終將趨于無窮。

現在，我們把這個函數擴展到整個復數范圍。對于復數

，取不同的值和值，函數迭代的結果不一樣：對于有些，函數值始終約束在某一范圍內；而對于另一些，函數值則將發散到無窮。我們把滿足前一種情況的所有初始值所組成的集合稱為朱利亞集，它是以法國數學家加斯頓?朱利亞（Gaston Julia）的名字命名的。

由于復數對應了平面上的點，因此我們可以用一個平面圖形直觀地展現出朱利亞集。我們用黑色表示所有屬于朱利亞集的；對于其他的，我們用不同的顏色來區別不同的發散速度，顏色越淺表示發散速度越慢，顏色越深表示發散速度越快。難以置信，由此得到的圖形竟然是一個看上去非常復雜的分形圖形（見圖7）。

圖　7

時的朱利亞集。如果我們把換成別的數，比如

呢？這將會帶來另一個完全不同的分形圖形，圖8就是

所對應的朱利亞集。

圖　8

事實上，對于復數函數

，每取一個不同的復數，我們都能得到一個不同的朱利亞集分形圖形，并且令人吃驚的是，每一個分形圖形都是那么美麗，其中有些經典的朱利亞集甚至有它自己的名字。圖9就是時的朱利亞集，俗稱“飛機”。

圖　9

圖10則是

所對應的朱利亞集。它也有一個形象的名字——杜瓦地兔子。這是以法國數學家阿德里安?杜瓦地（Adrien Douady）的名字命名的。

圖　10

你甚至會不相信，這種簡單而機械的過程可以生成如此美麗的圖形。

不過，并不是所有的復數

時的朱利亞集。這仍然是一個漂亮的分形圖，但它和前面的圖像有一個很大的區別——圖像里不再有連通的黑色區域了。這是因為，真正屬于朱利亞集的點都是一個個離散的點（分布在圖中的各個白色亮斑中），我們已經無法從圖像上直接觀察到了。我們能看到的，都是那些將會導致函數值發散到無窮的點，只是它們的發散速度有所不同。

圖　11

于是，我們自然想到了一個問題：哪些復數對應著連通的朱利亞集呢？數學家貝努瓦?曼德爾布羅特（Benoit Mandelbrot）是最早對這個問題進行系統研究的人之一，因此我們通常把所有使得朱利亞集形成一塊連通區域的復數所組成的集合叫做曼德爾布羅特集。注意，曼德爾布羅特集也是一個由復數構成的集合，它也能表現在一個平面上。神奇的是，曼德爾布羅特集本身竟然又是一個漂亮的分形圖形（見圖12）！

圖　12

在這個朱利亞集里。換句話說，為了判斷一個朱利亞集是否連通，我們只需要測試一下

時的迭代結果即可。因此，我們有了曼德爾布羅特集的一個等價的定義，也就是所有不會讓零點發散的復數

組成的集合。圖12其實就是依據這個原理制作的，其中黑色的區域表示曼德爾布羅特集，即那些不會讓零點發散的復數

；其他的點所對應的復數都將會讓零點發散，淺色代表發散慢，深色代表發散快。

前面說過，分形圖形是可以無限遞歸下去的，它的復雜度不隨尺度減小而消失。曼德爾布羅特集中大小兩個主要圓盤相接處所產生的深溝叫做“海馬谷”（sea horse valley）。圖13展示了它的一個局部大圖。它的細節非常豐富，你會看到很多像海馬尾巴一樣的鉤子以一種分形的方式排列開來。

圖　13

圖14則展現了曼德爾布羅特集最右邊那個深溝的景觀，它也有一個名字，叫做“大象谷”（elephant valley）。

圖　14

曼德爾布羅特集里值得放大的地方太多了。仔細看看曼德爾布羅特集最上方的白色觸須里，是不是有一些小黑點？讓我們放大一下，看看它們究竟是什么吧（見圖15）。

圖　15

你會發現，它們竟然是曼德爾布羅特集本身的形狀！此時，你應該能體會到曼德爾布羅特集的深遂與神秘了吧。

如果有人提到了數學之美，我首先想到的便是曼德爾布羅特集，簡單的函數迭代竟能產生如此令人震撼的結果，壯觀到了讓人敬畏的地步。

如果你整天都被各種數學公式折磨，并且因此厭惡數學的話，不妨在網上找些曼德爾布羅特集的圖片來看看。曼德爾布羅特集完美地詮釋了我非常喜歡的一個比喻：數學不只是一堆公式，正如天文學不只是一堆望遠鏡（見圖16）。

圖　16