新定義“中外比點(diǎn)”——2025年廣東省中考數(shù)學(xué)第23題

新定義“中外比點(diǎn)”

2025年廣東省中考數(shù)學(xué)第23題

其實(shí)就是黃金分割，只不過(guò)換了個(gè)馬甲而已。

人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第18頁(yè)，專(zhuān)門(mén)有篇閱讀與思考材料，講述了黃金分割數(shù)，如下圖：

說(shuō)起線段的分割，我們?cè)谛W(xué)階段就體驗(yàn)了平均分概念，從數(shù)的平均分，到形的平均分，七年級(jí)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)過(guò)線段中點(diǎn)，以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步了解三等分、N等分，在學(xué)習(xí)數(shù)軸的時(shí)候，上面的單位長(zhǎng)度也是一種等分。

而像黃金分割這樣的“不等分”，學(xué)生接觸并不多，但在實(shí)際生活中又極其重要，因此教材中安排了這段材料，在前面學(xué)習(xí)過(guò)無(wú)理數(shù)、二次根式、一元二次方程之后，再來(lái)理解黃金分割，就具備了起碼的知識(shí)儲(chǔ)備。

這段閱讀與思考材料，在教學(xué)中，需要幫助學(xué)生理解黃金比是如何得到的，形的問(wèn)題如何轉(zhuǎn)換成數(shù)的問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用代數(shù)推理去研究圖形問(wèn)題。

題目

定義：把某線段一分為二的點(diǎn)，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時(shí)，則稱(chēng)此線段被分為中外比，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為中外比點(diǎn).

(1)如圖1，點(diǎn)P是線段MN的中外比點(diǎn)，MP>PN，MN=2，求PN的長(zhǎng)；

(2)如圖2，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)求作一點(diǎn)C把線段AB分為中外比.(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

(3)如圖3，動(dòng)點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y=k/x(k>0,x>0)的圖象分別與矩形OABC的邊AB，BC相交于點(diǎn)D，E，與對(duì)角線OB相交于點(diǎn)F.當(dāng)△ODE是等腰直角三角形時(shí)，探究點(diǎn)D，E，F(xiàn)是否分別為AB，BC，OB的中外比點(diǎn)，并證明.

解析：

01

(1)不妨設(shè)PN=x，則PM=2-x，按中外比點(diǎn)的定義，PM是大線段，PN是小線段，整體線段是MN，于是可得2:(2-x)=(2-x):x，化為乘積式后為(20-x)2=2x，解得x=3-√5，即PN=3-√5；

02

(2)作圖依據(jù)是人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第27頁(yè)，利用勾股定理作長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段，如下圖：

由于中外比點(diǎn)將長(zhǎng)度為2的線段所分兩部分中，較長(zhǎng)部分為√5-1，較短部分為3-√5，因此我們需要構(gòu)造一條長(zhǎng)度為√5的線段，不妨將線段AB長(zhǎng)度視為2個(gè)長(zhǎng)度單位，將其作為直角邊，畫(huà)一個(gè)直角三角形，使另一條直角邊長(zhǎng)度為AB的一半，即1個(gè)長(zhǎng)度單位，則它的斜邊長(zhǎng)為√5，步驟如下：

第一步，延長(zhǎng)AB，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交射線AB于兩點(diǎn)C和D：

第二步，分別以C、D點(diǎn)為圓心，大于CD一半的長(zhǎng)為半徑作弧，在射線AB上方，兩弧交于點(diǎn)E，作直線BE，則BE⊥AB：

第三步，分別以A、B為圓心，大于AC一半的長(zhǎng)為半徑作弧，分別在射線AB上、下方交于點(diǎn)F、G點(diǎn)，連接FG，交AB于點(diǎn)H，此時(shí)點(diǎn)H為線段AB中點(diǎn)：

第四步，以B為圓心，BH為半徑作弧，交直線BE于點(diǎn)K，連接AK，我們便得到了Rt△ABK，它的兩直角邊分別是1和2，斜邊AK=√5：

第五步，以K為圓心，BK為半徑作弧，交AK于點(diǎn)M：

第六步，以A為圓心，AM為半徑作弧，交射線AB于點(diǎn)N：

則點(diǎn)N即為所求，然后按題目要求，將字母N改為C，其余字母可去掉；

利用上圖我們可得Rt△ABK，其中AB=2，BK=1，則AK=√5，而B(niǎo)K=MK=1，則AM=√5-1=AN，所以BN=2-(√5-1)=3-√5；

當(dāng)然，用這種方法作圖，點(diǎn)N不是唯一的，還有偏A點(diǎn)一側(cè)也可以作出中外比點(diǎn)(黃金分割點(diǎn))，圖略；

03

(3)我們先設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(m,n)，則E(k/n,n)，D(m,k/m)，對(duì)于△ODE是等腰三角形這個(gè)條件，需要判斷哪個(gè)角是直角，顯然∠DOE不可能是直角，因此只剩下兩種情況，∠OED=90°或∠ODE=90°；

第一種情況，∠OED=90°，如下圖：

很容易得到△OCE≌△EBD，因此CE=BD=k/n，OC=EB=n，又BD=n-k/m，EB=m-k/n，于是得到兩個(gè)等式

k/n=n-k/m①

n=m-k/n②

由①得k=mn2/(m+n)，由②得k=mn-n2，聯(lián)立這兩個(gè)式子得

n2=m2-mn；

然后我們來(lái)驗(yàn)證點(diǎn)E是否線段BC的中外比點(diǎn)；

計(jì)算EB2=n2，再計(jì)算CE·BC=k/n·m，將k=mn-n2代入得

CE·BC=m2-mn，由于前面已經(jīng)有n2=m2-mn，所以得到等式EB2=CE·BC，化為比例式后為BC:EB=EB:CE，符合中外比點(diǎn)的定義，因此點(diǎn)E是線段BC的中外比點(diǎn)；

再來(lái)驗(yàn)證點(diǎn)D是否線段AB的中外比點(diǎn)；

計(jì)算BD2=(n-k/m)2，把k=mn-n2代入，化簡(jiǎn)得BD2=n2·n2/m2；

再計(jì)算AD·AB=n·k/m，把k=mn-n2代入，化簡(jiǎn)得n2(1-n/m)；

再將前面所得n2=m2-mn兩邊同除以m2，得n2/m2=1-n/m，于是得到BD2=AD·AB，化為比例式為AB:BD=BD:AD，符合中外比點(diǎn)的定義，因此點(diǎn)D是線段AB的中外比點(diǎn)；

最后來(lái)驗(yàn)證點(diǎn)F是否線段OB的中外比點(diǎn)；

由點(diǎn)B坐標(biāo)可知OB的解析式為y=n/m·x，與反比例函數(shù)y=k/x聯(lián)立，可求出點(diǎn)F坐標(biāo)為(√mk/n，√nk/m)，由于求“斜”向長(zhǎng)度需要勾股定理，不妨化斜為直，推導(dǎo)如下：

過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸，若點(diǎn)M是線段OA的中外比點(diǎn)，則點(diǎn)F也一定是線段OB的中外比點(diǎn)；

所以點(diǎn)M是線段OA的中外比點(diǎn)，即點(diǎn)F是線段OB的中外比點(diǎn)；

第二種情況，∠ODE=90°，如下圖：

同樣可得△OAD≌△DBE，因此BE=AD=k/m，BD=OA=m，又AD=n-k/m，BE=m-k/n，得到兩個(gè)等式

k/m=m-k/n①

m=n-k/m②

由②得k=mn-m2，聯(lián)立這兩個(gè)式子得m2=n2-mn，

接下來(lái)的驗(yàn)證方法和第一種情況完全類(lèi)似，不再贅述；

綜上，當(dāng)△ODE是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)D、E、F分別為AB、BC、OB的中外比點(diǎn).

解題思考

本題源自教材，不禁想到另一個(gè)問(wèn)題，我們的老師，有多少是正經(jīng)上過(guò)這節(jié)課？或者是一帶而過(guò)？甚至壓根沒(méi)講？畢竟全國(guó)各地中考出現(xiàn)黃金分割這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，多數(shù)屬于送分題；還有尺規(guī)作圖操作，考場(chǎng)上有一些省市不允許帶圓規(guī)，那自然也沒(méi)了操作題，也有省市采用了替代方案，用網(wǎng)格作圖或無(wú)刻度直尺作圖。

2022版新課標(biāo)中，對(duì)于尺規(guī)作圖是有要求的，“能用尺規(guī)作圖，作……”的要求有六處，有一處帶*號(hào)，學(xué)生對(duì)用圓規(guī)作弧、截取操作需要熟練掌握，同時(shí)每一步尺規(guī)作圖背后，一定會(huì)有相應(yīng)的作圖依據(jù)，學(xué)生在進(jìn)行操作的同時(shí)，腦子里也在推理，這個(gè)過(guò)程完美實(shí)現(xiàn)了用數(shù)學(xué)眼光觀察、用數(shù)學(xué)思維思考、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，恰好是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，2025年開(kāi)始各省市中考題，也逐漸讓尺規(guī)作圖回歸，個(gè)人認(rèn)為符合新課標(biāo)要求。

課堂上我們需要讓學(xué)生明白的第一個(gè)事實(shí)，就是為什么會(huì)存在這樣的“不等分”，和前面學(xué)的平均分(等分)相比，意義又在哪里？?jī)H僅通過(guò)課前展示幾張畫(huà)、幾段視頻，學(xué)生就能體會(huì)到“不等分”的數(shù)學(xué)美么？無(wú)論是公開(kāi)課也好，我自已上課也罷，當(dāng)我們?cè)谥v臺(tái)上問(wèn)學(xué)生“舞臺(tái)上站哪里最美觀？”類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，有多少學(xué)生是發(fā)自內(nèi)心這樣認(rèn)為？我們前面一直學(xué)習(xí)的是對(duì)稱(chēng)美，突破一下子不對(duì)稱(chēng)了，美從何來(lái)？

因此，僅僅是讓學(xué)生觀察并判斷美不美？這種數(shù)學(xué)眼光要求太高了，我們可以從特殊的矩形激發(fā)學(xué)生的興趣，用一個(gè)黃金矩形，它的寬：長(zhǎng)=√5-1/2，在它的長(zhǎng)邊上截取寬的長(zhǎng)度，剪下這個(gè)正方形，剩下的矩形，再計(jì)算它的寬：長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)仍然是√5-1/2，繼續(xù)從中剪掉一個(gè)正方形，剩下的矩形長(zhǎng)寬比不變，成功引起了學(xué)生的興趣，其它的比值的矩形例如1:2有這樣的效果嗎？

當(dāng)學(xué)生觀察這樣的矩形時(shí)，腦子里有推理、有計(jì)算，才能稱(chēng)為數(shù)學(xué)眼光。