湖北
【解題研究】新定義“伴隨對稱拋物線”——2026年江西省中考數學第23題
在二次函數壓軸題中，拋物線加幾何圖形是常態，雙拋物線題型了，平移也是常態，但2026年江西省中考數學第23題的雙拋物線，卻用了另一種比較少見的形式——中心對稱；
當兩條拋物線出現在平面直角坐標系中的時候，它實質上也具備了一些分段函數的特征，在這個背景下探究點、線間的關系，依然還是二次函數圖象性質的拓展，對學生而言，理解新定義中的“伴隨對稱拋物線”，并研究它的圖象性質，正是九年級學習二次函數經驗的遷移。
題目
職位描述
如果兩條不共頂點的拋物線，都經過對方的頂點，那么稱這兩條拋物線互為”伴隨對稱拋物線“.
(1)試判斷y=x2-4x+4與y=-x2+2x是否互為”伴隨對稱拋物線“，并說明理由；
(2)如圖1，若C1：y=a1(x-h1)2+k1與C2：y=a2(x-h2)2+k2互為”伴隨對稱拋物線“，頂點分別為A1，A2，記C1，C2組成的圖形為C.
①試猜想a1與a2的數量關系，并證明；
②進一步探究可知C為中心對稱圖形，請確定C的對稱中心的位置；(直接寫出結果)
③如圖2，若C1：y=x2，h2>0，B1，B2分別為C1，C2上的點，且四邊形A1B1A2B2為正方形，求(h2-2)(h1-1)(h2+1)的值.
解析：
0 1
(1)分別求出這兩條拋物線的頂點為(2,0)，(1,1)，再分別代入另一條拋物線后，即可判斷它們是“伴隨對稱拋物線”；
0 2
(2)①根據新定義，將這兩條拋物線的頂點分別代入另一條拋物線解析式中，可得它們間的關系式，推導如下：
②題目已經給出了中心對稱圖形，而這兩條拋物線的頂點就是對應點，所以直接根據中心對稱的概念，對稱中心就是兩頂點連線的中點，即
③由正方形A1B1A2B2可建立頂點B1和B2坐標的關聯，我們分別過這兩點向x軸作垂線，如下圖：
很容易證明△A1B1E≌△B2A1F，不妨設點B1(m,m2)，可得點B2(m2,-m)；
我們把點A2(h2,k2)代入y=x2中，得k2=h22；
把點(0,0)代入y=a2(x-h2)2+k2中，得0=a2h22+k2，將k2=h22代入后，得a2=-1，即y=-(x-h2)2+k2；
再將B2代入C2中，推導如下：
解題思考
在含參二次函數題型中，學生感到最困難的就是尋找參數間的關系，由于字母較多，不容易摸清它們之間源自何處，去往何方，我們平時解決較簡單的二次函數問題時，其實已經隱藏著含參問題的方法，一般而言，點在函數圖象上，可以將點坐標代入該函數解析式得到一個含參等式；函數圖象交點則可聯立方程，方程的解即為該點的橫坐標；線段長度可用端點坐標表示等。方程即為含未知數的等式，所以這一系列等式，就刻畫出題目中參數間的關系。
有學生在代入參數的時候，有時會陷入恒等的怪圈，原因是把源自同一個關系的不同等式相互代入，那自然會變成恒等式，這需要學生理解每一次代入，等式的源頭在哪里。
我們在課堂上接觸到的一般是數字系數的解析式和方程，在成功解決這一類問題之后，需要適當進行遷移運用，字母代替數字稱之代數，初中學段的符號意識正是需要在課堂上培養的核心素養。
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