湖北
【解題研究】軸對稱破題——2026年福建省中考數學第25題
在人教版八年級下冊數學軸對稱章節中，我們引入了垂直平分線的概念，通常情況下，它和對稱軸關系密切，因此借助軸對稱的性質，我們可推導出它的兩條定理：線段垂直平分線上的點，到線段兩端距離相等；到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。作為一種特殊的全等，軸對稱在壓軸題中屬于常見考點，而二次函數圖象也是軸對稱圖形，在解這一類壓軸題的時候，用好軸對稱，確實會有意想不到的效果。
題目
已知拋物線y=-x2+bx+c.
(1)若b=1，c=2，求拋物線的頂點坐標；
若拋物線上存在一點在軸上方
求證：拋物線與x軸有兩個交點；
(3)拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C(0,2)，直線y=bx+2與y=-bx-1相交于點D，E是y軸上不與點C重合的點，若坐標平面內存在點M滿足MA=MB=MC=ME，試探究CD和DE的數量關系，并證明.
解析：
拋 物 線 的 頂 點 坐 標 是
我 們 將 代 入 中
得 ：
要判斷拋物線與x軸有幾個交點，需要求判別式
∴拋物線與x軸有兩個交點；
(3)作為無圖題，正確畫出草圖至關重要，特別是對于含參數的草圖，不妨將參數設為特殊值畫出來，以便參考；當然在作圖之前，必要的計算不可少。
方法一：數形結合，相似搭橋
由于拋物線與y軸交點已知，所以c=2，拋物線與x軸的兩個交點坐標可用含b的式子表示出來：
解得它的兩個實數根分別為
解讀條件MA=MB=MC=ME，符合“一中同長”，則A，B，C，E在以M為圓心的圓上，如下圖：
可連接AE，則有△AOE∽△COB，得
即OA·OB=OC·OE
2=2OE
∴OE=1即E(0,-1)；
聯立y=bx+2和y=-bx-1得點D坐標
觀察點C，D，E的縱坐標，可發現點D在CE的垂直平分線上，所以CD=DE；
方法二：理解對稱，巧用圓心
由于MA=MB，再加上拋物線的軸對稱性，可知點M一定在拋物線的對稱軸上，即它的橫坐標為b/2，不妨設它的縱坐標為m，由MA=MC得MA2=MC2，可列方程
解 得
所 以 點 坐 標 為
可知MD⊥CE，又由于MC=ME，所以MD是CE的垂直平分線，所以CD=DE.
解題思考
無論哪一種解法，都要求學生對軸對稱性質有充分理解，尤其是垂直平分線相關定理，其實在我們學習平面直角坐標系的時候，還沒有學習軸對稱，但在八年級學習一次函數時，這些知識有沒有融匯貫通，非?？简灲處煹恼n堂教學。
本題的圖是草圖，由于參數b的符號未知，所以會有兩種情況，但結果是一樣的，如下圖：
學生想不到的原因，首先應該回溯課堂，上課的時候，老師有沒有想到，在備課的時候，有沒有對這些概念有足夠深的理解，從而設計出合適的情境，幫助學生加深對概念的辨析，這不僅僅是靠多做題能實現的。
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