對偶空間與泛函 | 泛函分析第九講

導(dǎo)語

集智學(xué)園聯(lián)合東京都市大學(xué)賈伊陽老師共同開設(shè)了「」課程，本系列課程將以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo)為核心，逐步建立泛函分析的基礎(chǔ)架構(gòu)。第一階段將探討從有限維跨越到無限維的動機(jī)與基礎(chǔ)；第二階段將重點(diǎn)建立度量與完備性，掌握 Banach 空間與不動點(diǎn)定理的精髓；第三階段將深入探討 Hilbert 空間的幾何結(jié)構(gòu)與對偶空間的映射體系。最終，在第四階段，將梳理完整的結(jié)構(gòu)總覽與應(yīng)用地圖，透視這些純粹的數(shù)學(xué)工具如何作為底層基石，廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代物理、復(fù)雜系統(tǒng)模擬與前沿計(jì)算科學(xué)中。

作為系列課程的第九講，賈伊陽老師將以「對偶空間與泛函」為主題，本節(jié)內(nèi)容將聚焦變分法、優(yōu)化與PDE弱解場景，探討線性與有界泛函及Riesz表示定理。課程將揭示對象與對偶的核心關(guān)系，并從范疇論視角進(jìn)行解析。正式分享將于6月7日（周日）19:00-20:30進(jìn)行。

主題：對偶空間與泛函

課程簡介

研究一個(gè)對象，有時(shí)不直接看它本身，而是看它對各種線性測量的響應(yīng)，再由這些響應(yīng)把它認(rèn)出來。優(yōu)化里看函數(shù)沿每個(gè)方向的一階變分，解偏微分方程時(shí)讓方程乘上各種測試函數(shù)再積分，幾何里讓微分吃進(jìn)一個(gè)切向量、吐出一個(gè)數(shù)，這三件事都是「用所有線性尺子去探測對象」。把作用在一個(gè)空間上的全體線性尺子（線性泛函）收集起來，它們自己又組成一個(gè)空間，這就是對偶空間。叫「對偶」是因?yàn)閷ο笈c尺子地位對等、互為鏡像：在有限維里兩者一樣大，取兩次對偶還會回到原點(diǎn)。

本講從有限維出發(fā)：行向量正是作用在列向量上的線性泛函，坐標(biāo)即對偶基。隨后進(jìn)入無限維，說明代數(shù)對偶「過大」、連續(xù)對偶才有用，且對偶空間依賴于所選范數(shù)。核心是 Riesz 表示定理——在 Hilbert 空間里把每個(gè)連續(xù)泛函等同于一個(gè)向量，讓尺子與對象重新對上，并以此打通變分法、最小二乘、PDE 弱解（Riesz 與 Lax–Milgram）。

后半轉(zhuǎn)向伴隨算子，它描述「觀測如何沿映射反向傳播」：矩陣轉(zhuǎn)置、微分算子的分部積分、優(yōu)化中的對偶變量，都是同一定義的不同面孔；再延伸到弱收斂、切空間與余切空間、同調(diào)與上同調(diào)、de Rham 配對，直至范疇論中「對偶是反變函子」。學(xué)完能用一根對偶的主線，重新看待分析、幾何與優(yōu)化中反復(fù)出現(xiàn)的同一結(jié)構(gòu)。

課程大綱

1. 從配對到對偶空間

2. Riesz 表示定理

3. 對偶視角下的應(yīng)用

4. 伴隨算子

5. 對偶的幾何與結(jié)構(gòu)視角

關(guān)鍵術(shù)語

• 對偶空間：作用在某空間上的全體連續(xù)線性泛函構(gòu)成的空間

• 線性泛函：把向量映成標(biāo)量的線性映射

• 配對（pairing）：把「向量」與「泛函」組合成標(biāo)量的雙線性運(yùn)算

• 代數(shù)對偶／連續(xù)對偶：全體線性泛函與只取連續(xù)的那些；無限維下后者才有用

• Riesz 表示定理：Hilbert 空間中每個(gè)連續(xù)泛函都唯一對應(yīng)一個(gè)向量

• 伴隨算子：滿足 ?Ax, y? = ?x, A*y? 的算子，反向拉回觀測

• 弱收斂：所有對偶元素作用后都收斂，比范數(shù)收斂弱

• Lax–Milgram 定理：保證一類變分問題弱解存在唯一的定理

• 余切空間：流形上線性泛函構(gòu)成的空間，與切空間對偶

• de Rham 配對：微分形式與鏈通過積分構(gòu)成的對偶配對

課程信息

課程主題：對偶空間與泛函

課程時(shí)間：2026年6月7日（周日） 19:00-20:30

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內(nèi)通知）；集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3個(gè)工作日內(nèi)上線）

課程主講人

賈伊陽，東京都市大學(xué)講師、前日本女子大學(xué)助理教授，前日本成蹊大學(xué)助理教授。研究重點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜性，算法，以及范疇相關(guān)理論。集智學(xué)園《》課程講師。

課程適用對象

• 做微分方程、數(shù)值算法、反問題、信號處理、控制的學(xué)習(xí)者與研究者

• 做優(yōu)化、機(jī)器學(xué)習(xí)、統(tǒng)計(jì)推斷，希望理解正則化與泛化的結(jié)構(gòu)來源的研究者

• 讀量子/數(shù)學(xué)物理文獻(xiàn)，希望把 Hilbert 空間與算子語言用順手的研究者

• 更廣義地：經(jīng)常處理“函數(shù)作為未知量”的問題、并且想要一套可遷移框架的研究者

1. 面對一個(gè)新問題，你能先問對問題：該在哪個(gè)空間里解？該用哪個(gè)范數(shù)衡量誤差？需要什么完備性？算子是否有界？

2. 你能理解常見方法背后的統(tǒng)一邏輯：迭代為何收斂、正則化為何穩(wěn)定、最小二乘為何等價(jià)于投影、弱解為何成立。

3. 你會獲得一套“抽象但可落地”的語言：寫證明、讀論文、做建模時(shí)，能把碎片化技巧收束到結(jié)構(gòu)層面。

1. 課程形式：騰訊會議直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播。本系列課程不安排免費(fèi)直播。

2. 課程周期：2026年3月29日-2026年6月14日，每周日晚19點(diǎn)-21點(diǎn)進(jìn)行。

3. 課程定價(jià)：原價(jià)499

   1. 早早鳥價(jià)299，截止時(shí)間：2026年3月22日中午12點(diǎn)

   2. 早鳥價(jià)399，截止時(shí)間：2026年3月30日中午12點(diǎn)

課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5700?from=wechat

付費(fèi)流程：

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程共創(chuàng)任務(wù)：課程字幕

為鼓勵學(xué)員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識傳播成果，并構(gòu)建課程知識共建社群。為此，我們特別設(shè)立激勵機(jī)制，讓您的學(xué)習(xí)之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結(jié)束后，助教會于課程群內(nèi)發(fā)布字幕共創(chuàng)任務(wù)。學(xué)員通過參與這些任務(wù)，不僅能加深對內(nèi)容的理解，還可獲得積分獎勵。積分可兌換其他讀書會課程或?qū)嵨铼勂罚δ某掷m(xù)成長。