【解題研究】巧用位似理解共線——2026年成都中考數學第26題

【解題研究】巧用位似理解共線——2026年成都中考數學第26題

一元二次方程根與系數的關系，在學生學習完方程解法之后，可以從求根公式推導出來，新舊版教材描述完全相同：

當學生學習完二次函數之后，這個關系又進一步升級，若直線與拋物線有兩個交點，則這兩個交點的橫坐標，也滿足這個式子，決定拋物線和直線位置、形狀的恰恰就是解析式中的參數，聯立方程之后，這些參數刻畫出了坐標之間的關系，利用好這個關系，是解函數壓軸題的基礎。

而位似則是特殊的相似，我們在九年級下冊學習的時候，有如下描述：

理解位似圖形的概念，對于理解本題幫助極大。

題目

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+2(k>0)與拋物線y=x2相交于A，B兩點，C，D兩點在拋物線上，且CD∥AB.

(1)若點A的坐標為（-1，1），求k的值和點B的坐標；

(2)在(1)的條件下，記C，D兩點的橫坐標分別為m，n(m

(3)若AB=2CD，直線AC，BD的交點E恰好落在x軸正半軸上，求點E的坐標和k的值.

解析：

01

(1)將點A坐標代入y=kx+2，求得k=1，直線y=x+1與拋物線y=x2聯立方程，解得另一根x=2，則點B(2,4)；

02

(2)CD所在直線解析式設為y=x+t，將它與拋物線聯立得方程x2-x-t=0，點C和點D的橫坐標m，n，就是這個方程的兩個根，所以由韋達定理可得m+n=1；

然后我們來理解函數y=(x-h)2總在x=n處取最大值，這是一個開口向上的拋物線，在給定范圍內存在最大值和最小值，然而總在x=n處取最大值，意味著在m≤x≤n內，x=n時函數值最大；

根據二次函數對稱性，我們知道，開口向上的拋物線上的點，離對稱軸越遠，函數值越大，以此反推m≤x≤n內的拋物線上的點，x=n時，該點離對稱軸最遠，顯然函數y=(x-h)2的對稱軸是x=h，如下圖：

觀察紅色加粗拋物線和它的對稱軸(橙色加粗直線)，不妨把這條拋物線頂點H，x軸上的點M，N單獨拎出來，如下圖：

第一種情況：當點H在M左側時，NH最長

當點H在線段MN上時，又有兩種情況如下：

這兩種情況中，點H可能偏向M或N，即無法判斷HN是否最長，但我們也注意到這個“偏”字，啥叫偏？依據是什么？

現在我們終于找到這個關鍵點了，即MN中點，若點H在中點左側，我們稱“偏左”，則HN最長；若點H在中點右側，我們稱“偏右”，則HN

當然，最后一種情況，當點H在N點右側，HN

現在我們找到“總在x=n處取最大值”的解決辦法了，即只要對稱軸x=h在線段MN中點左側即可，由前面韋達定理可知MN中點橫坐標為1/2(m+n)=1/2，所以h≤1/2；

03

(3)注意AB=2CD這個條件，結合前面給出的CD∥AB，很容易聯想到三角形中位線，CD是△ABE的中位線，如下圖：

設點A(a,a2)，B(b,b2)，我們聯立直線y=kx+2和y=x2之后，得方程x2-kx-2=0，于是由韋達定理得a+b=k，ab=-2；

于是我們可得AB中點F的橫坐標為1/2(a+b)=k/2，同理CD中點G的橫坐標也是1/2(a+b)=k/2，對于圖中的△ABE和△CDE，它們是位似圖形，點E是位似中心，而點F和點G是對應連上的中點，它們的連線經過位似中心，所以E，F，G共線，其中F，G橫坐標相同，意味著EF⊥x軸，即點E坐標為(k/2,0)；

由于點C，D分別是AE，BE中點，由中點公式可得它們的坐標，分別是C(a/2+k/4,a2/2)，D(b/2+k/4,b2/2)，我們將點C坐標代入拋物線解析式y=x2中，推導如下：

綜上，k=2√2，E(√2，0).

解題思考

借用線段中點概念和位似圖形的概念，理解本題中錯綜復雜的參數關系，會覺得簡單許多，并不需要借助所謂二級結論，事實上個人認為把一些二級結論包裝起來的所謂簡單，并不是真的簡單。

我們在二次函數圖象與性質的教學中，關于對稱軸，關注點還可以拓寬一些，描述拋物線對稱性的視角還可以多樣化，在課堂上去拓展視野，比用習題效果會更好，也就是說，教材要求的探索二次函數圖象性質，是真的要放手給學生探究。

成都這道函數壓軸題質量非常高，函數味道很濃，雖然也有含參方程，但實際上并不需要解，韋達定理已經幫我們建立了它們間的關聯。特別是本題最后一問中的AB、CD中點與點E共線，利用位似，更好理解，不需要借助“高級”的知識。

回歸課堂，回歸教材，把概念深深印在學生腦海中，形成網絡，自然就完成了授人以漁。