99歲女數學家，剛剛發表重磅成果

作者按

我們曾報道過當時 94 歲的女數學家瓊·伯曼（Joan Sylvia Lyttle Birman）當選美國科學院院士。文中最后一句寫道：“祝賀瓊·伯曼，也祝愿她繼續產出更多的數學成果！”現在看來祝福已經成真。就在 2026 年 7 月 7 日，arXiv上貼出了已 99 歲的伯曼與 Vasudha Bharathram 和 Tara E. Brendle 合作的一篇重磅論文”The Burau representation of the braid group is faithful for n = 4“。

這篇文章的三位作者都是女性。其中 Vasudha Bharathram 是普林斯頓大學剛剛畢業的本科生，高中時就在伯曼指導下研究這個問題。兩人 2021 年合作發表了一篇相關論文。Tara Brendle 是伯曼多年以前的博士生，目前是格拉斯哥大學教授。

伯曼等人的這篇論文研究的是辮群 Bn 的 Burau 表示是否忠實。這個問題的研究已經有半個多世紀的歷史。最早是 Magnus 和 Pelus 在1969年證明 n=3 時 Burau 表示是忠實的。上世紀九十年代時人們取得了一系列進展，證明了當n≥5的時候 Burau 表示不是忠實的。剩下 n=4 的情形始終懸而未決，直到今天伯曼等人宣布這種情形是忠實的，徹底終結了這一問題。

在 AI 時代，大家自然會問證明是否使用了 AI。根據作者的聲明，她們僅僅使用AI檢查了證明。

在 99 歲時解決歷史悠久的難題，即便該論文是三人合作完成，也足以令人欽佩。此前我們報道過另外一位高齡數學家 Vietoris 103歲時發表獨作論文，不過那篇論文的重要性跟伯曼等人的這篇不能相提并論。

下面附上我們 2021 年對伯曼的介紹。

撰文丨倪憶（加州理工學院數學系教授）

2021 年 4 月 26 日，美國科學院宣布了新當選的院士和外籍院士名單。在 120 名新科院士中，有 59 名女性，創下了紀錄。其中有一位來自紐約哥倫比亞大學巴納德學院（Barnard College）的女數學家，瓊·伯曼（Joan Sylvia Lyttle Birman），出生于 1927 年 5 月 30 日，還差一個月就滿 94 歲。這個年紀當選院士，即便不是紀錄，想必也沒有幾個人能排在她前面。

2008年，瓊·伯曼在普林斯頓高等研究院

張愛玲說過：“出名要趁早?！边@話似乎尤其適合數學領域。有一種說法稱數學是屬于年輕人的學科，數學界最高獎之一的菲爾茲獎就只頒發給不超過 40 歲的數學家。大眾的目光更多地匯聚在那些“神童”身上，看他們如何一路開掛，仿佛不是少年天才就沒有前途。即便是魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）和張益唐這樣大器晚成的數學家，也在很年輕的時候便開始從事高質量的數學研究。從這一點來看，伯曼的經歷在數學家中相當罕見。

瓊·伯曼原姓萊特（Lyttle），出生于紐約的一個猶太移民家庭，是四姐妹中的老三。不同于傳統的“猶太高知”形象，瓊的父母都沒有上完中學，但他們對子女的教育非常嚴格。即便瓊在考試中得了 98 分，父母也會追問：“那兩分是怎么丟的？”

萊特家四姐妹，左一為瓊

高中畢業后，瓊進入斯沃斯莫爾學院（Swarthmore College）學習數學。為了離家更近，她轉學至巴納德學院。這是哥倫比亞大學附屬的一所女子學院，是著名的“七姐妹學院”之一。當時常春藤聯盟的大學僅招收男生，普林斯頓、哈佛、耶魯都是到 1969 年才招收女生。（作為對比，北京大學在1920年便招收了第一批女生。）對有志于接受高等教育的女性來說，七姐妹學院就是她們最好的選擇。然而，巴納德學院開設的數學課程很淺，高級數學課必須要到馬路對面的哥大本部去上。瓊經常發現自己是班上唯一的女生，這不禁讓她產生了“女生不適合學數學”的念頭。

少女時代的瓊

1948年大學畢業后，瓊在工業界工作了十多年。在此期間，她短暫回到哥倫比亞大學，于 1950 年獲得物理碩士學位。同樣在 1950 年，她與物理系同學約瑟夫·伯曼（Joseph Leon Birman）結婚。（約瑟夫后來成為一位知名物理學家和社會活動家。上世紀八十年代，中美兩國物理學會設立了一個合作研究計劃，讓中國的中年物理學家有機會赴美深造，約瑟夫·伯曼就是這一計劃的美方負責人。他跟周光召、黃昆等中國物理學家都有交往。）

21歲時的伯曼夫婦

1961 年，已經是三個孩子母親的瓊·伯曼進入丈夫任教的紐約大學，成為一名半職的數學研究生。因為家庭負擔沉重，瓊起初每年只修一門課，后來增加到兩門。修夠課程后，她通過了碩士畢業考試。然而，她并不知道這個考試同時也是博士資格考試，而博士生必須是全職學生。在丈夫和系里老師的支持下，她開始攻讀博士學位。作為一名年紀偏大且數學基礎薄弱的學生，她找導師并不順利，先后被兩位教授拒絕。最終，群論專家馬格努斯（Wilhelm Magnus）接受了她。

1962年，伯曼的三個孩子

在博士階段，瓊·伯曼的研究方向是辮群和映射類群。這是兩類起源于拓撲的群，但當時的人主要研究它們的代數性質，很少有人把它們同拓撲結合起來。馬格努斯的導師德恩（Max Dehn）證明了所有閉曲面的映射類群都是有限生成的，馬格努斯希望把德恩的定理推廣到帶洞的曲面。馬格努斯本人證明了虧格 0 的情形，還證明了虧格 1 并且洞的個數是 1 或者 2 的情形。他給伯曼的博士論文主題就是解決虧格 1 并且洞的個數是 3 或者 4 的情形。大出馬格努斯意料的是，伯曼用拓撲方法定義了一個正合列，今天稱為“伯曼正合列”，并利用這個正合列證明了任意虧格和帶任意多個洞的曲面的映射類群都是有限生成的。這是關于映射類群的一個基本結果，至今仍被廣泛引用。

辮群里的一個基本關系丨圖源：https://theportal.wiki

伯曼在 1968 年獲得博士學位。她已經41歲了，有三個孩子。對于大多數人來說，此時已經到了人生的下半場，可以混日子等退休了?？蓪τ诓鼇碚f，她波瀾壯闊的數學生涯才剛剛開始。她在紐約的斯蒂文斯理工學院（Stevens Institute of Technology）找到了一份教職。在那里，她與一位研究生希爾登（Hugh Hilden）合作發表了六篇論文，將映射類群的對稱子群與辮群聯系起來，并且運用這一理論對一類特殊情形證明了龐加萊猜想。她還證明了（虧格大于 2）的閉曲面映射類群的一維同調群是 Z/2Z 的子群，這改進了菲爾茲獎得主芒福德（David Mumford）的結果。伯曼的學生鮑威爾（Jerome Powell）最終證明了這個同調群是零。這時的伯曼已經是辮群和映射類群領域無可爭議的頭號專家。

1971-1972 年，她應邀在普林斯頓大學數學系訪問一年，在那里開設了一門關于辮群和映射類群的研究生課程。在當時的普林斯頓數學系，她是唯一的女教師。她的課程講義隨后被普林斯頓大學出版社出版，是辮群和映射類群的第一部系統性專著。1973 年，伯曼被母校巴納德學院聘為數學系主任，從此一直在那里工作。辮群跟紐結理論有著密切聯系。伯曼一直持有一種理念，就是用辮群來研究紐結。1984 年，新西蘭數學家瓊斯（Vaughan Jones）在研究算子代數時發現了辮群的一個新的表示，于是他聯系了伯曼，兩人開始會面討論。從伯曼那里，瓊斯學到了許多關于辮群和紐結理論的內容。最終在伯曼的幫助下，他發現了一個新的紐結不變量——瓊斯多項式。在瓊斯發表的論文里，他寫道：“在許多應當感謝的人里，作者要特別指出瓊·伯曼。她對這個新主題的貢獻有著無法估量的重要性?！?strong>1990年，瓊斯獲得菲爾茲獎，而在國際數學家大會上介紹他的工作的人正是伯曼。

1986年，瓊斯和伯曼

伯曼影響過不止一位菲爾茲獎得主。她和英國數學家西爾瑞斯（Caroline Series）在八十年代中期發表了幾篇論文，研究曲面上的全體閉測地線。在她們工作的基礎上，麥克肖恩（Greg MacShane）證明了一個關于有洞環面上閉測地線長度的著名恒等式。伊朗數學家米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani）在她的博士論文里將麥克肖恩恒等式推廣到了任意曲面，并用它證明了關于模空間上積分的一系列令人驚異的結果，包括對伯曼和西爾瑞斯文章中提出的一個閉曲線計數問題的解答。2014年，米爾扎哈尼成為迄今為止唯一一位獲得菲爾茲獎的女數學家。

米爾扎哈尼丨圖源：網絡

1991 年，俄羅斯數學家阿諾爾德（Vladimir Arnold）訪問哥倫比亞大學。伯曼在數學樓的門廳見到了阿諾爾德，后者在電梯前把行李箱放下，從中取出一篇他的學生瓦西列夫（Viktor Vassiliev）寫的論文，對伯曼說：“你必須讀讀這篇超級棒的論文！里面有從奇點理論而來的紐結不變量，你應該幫助宣傳一下！”（關于阿諾爾德的一些往事，見《那些不被允許領取菲爾茲獎的數學家》）伯曼把這篇論文復印了許多份，寄給了她能想到的每一個相關的數學家。她和當時在哥倫比亞大學任職的中國數學家林曉松一起深入研讀了瓦西列夫的論文。最終，伯曼和林曉松用自己的方式對瓦西列夫不變量給出了公理化的定義，并且證明了瓊斯多項式是一種特殊的瓦西列夫不變量。伯曼和林曉松對瓦西列夫不變量的刻畫是如此成功，以至于大多數人都是通過他們的論文來學習瓦西列夫不變量，并且使用“有限型不變量”（finite type invariant）這個更符合他們的公理系統的名字來稱呼瓦西列夫不變量。這篇是 MathSciNet 上伯曼被引用次數最高的論文。

伯曼和林曉松丨圖源：Notices of the AMS

有這樣一件事可以說明伯曼的治學態度。1973 年，伯曼和希爾登在《數學年刊》上發表了一篇論文，其中包含 7 個定理。2016 年，有兩名數學家發現伯曼和希爾登論文中的定理 5 是錯誤的。對這種情況，通常的處理方式就是在同一雜志上發表一篇更正，指出錯誤即可。但伯曼和希爾登檢查了 MathSciNet 上引用他們論文的全部 42 篇文獻，確認沒有一篇引用了錯誤的定理 5，并在更正中加以說明。他們的更正發表于 2017 年，距離前一篇論文已經有 44 年，是筆者所知間隔最長的。

在長達五十多年的學術生涯里，伯曼發表了一百多篇論文，涉及到低維拓撲和幾何群論的許多領域。2006年，79 歲的伯曼從巴納德學院教授的職位上退休。但她不愿意就此退休，于是又以“研究教授”的身份繼續留校，直到近年才正式退休。2007-2008年，筆者在哥倫比亞大學做博士后，當時伯曼仍然每天到校工作。伯曼在80歲以后發表了十幾篇論文，其中最新一篇完成于2018年，當時她已經91歲高齡！

伯曼和她培養的部分博士

伯曼一直熱心參與數學界的社會工作，尤其是對開放獲取期刊的倡導以及對女數學家的支持。1990年，為了紀念她的二姐露絲·萊特·薩特（Ruth Lyttle Satter），伯曼捐資給美國數學會，設立了露絲·萊特·薩特數學獎（Ruth Lyttle Satter Prize in Mathematics），頒發給最杰出的女數學家。華裔數學家楊麗笙、張圣容、鄔似玨曾獲得此獎。（露絲跟瓊有著相似的經歷。她本科畢業于巴納德學院，生育四個孩子后，于41歲開始攻讀植物學博士，45歲時獲得博士學位。她在與疾病作斗爭的同時取得了突出的學術成果。）伯曼夫婦后來又捐款給女數學家協會（Association for Women in Mathematics），設立了瓊和約瑟夫·伯曼拓撲與幾何研究獎（Joan & Joseph Birman Research Prize in Topology and Geometry），頒發給拓撲和幾何領域的優秀青年女數學家。他們還捐款給美國數學會，設立了瓊和約瑟夫·伯曼女學者獎金（Joan and Joseph Birman Fellowship for Women Scholars），用以減輕職業生涯中期的女數學家的個人負擔。

狀如蝴蝶的洛倫茨吸引子，伯曼曾深入研究過其中出現的紐結丨圖源：reddit.com

伯曼獲得過許多榮譽，包括斯隆獎、古根海姆獎、肖夫內獎。她是紐約科學院院士、美國藝術與科學學院院士、歐洲科學院外籍院士。2021 年當選美國科學院院士，可謂實至名歸。祝賀瓊·伯曼，也祝愿她繼續產出更多的數學成果！

主要參考資料

[1] Interview with Joan Birman, Notices of the AMS 54 (2007), no. 1, 20-29.

[2] Dan Margalit, The Mathematics of Joan Birman, Notices of the AMS 66 (2019) no. 3, 341-353.

本文經授權轉載自微信公眾號“普林小虎隊”。作者注：文中圖片除標明外，均來自Celebratio Mathematica.

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