湖北
巧思秒通選擇壓軸
反比例函數(shù)小綜合
在2022版新課標(biāo)中，對(duì)反比例函數(shù)內(nèi)容要求如下：
①結(jié)合具體情境體會(huì)反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；
②能畫(huà)反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式y(tǒng)=k/x(k≠0)探索并理解k>0和k<0的圖象的變化情況；
③能用反比例函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題；
關(guān)于反比例函數(shù)的圖象——雙曲線(xiàn)，2013版教材中有一個(gè)信息技術(shù)應(yīng)用內(nèi)容，如下圖：
其實(shí)這條性質(zhì)在學(xué)生畫(huà)雙曲線(xiàn)的時(shí)候，可以直觀感受到，結(jié)合幾何畫(huà)板的探索，更加深了印象，有時(shí)在解題過(guò)程中想起它，效果出奇地好。
題目
如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在x、y軸上，反比例函數(shù)y=k/x(k≠0,x>0)的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M，N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM，ON，MN。下列結(jié)論：①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四邊形DAMN與△MON面積相等；④若∠MON=45°，MN=2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,√2+1)，正確的有（ ）
A、4個(gè) B、3個(gè) C、2個(gè) D、1個(gè)
解析：
根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及正方形的對(duì)稱(chēng)性，不妨將其公共對(duì)稱(chēng)軸作出來(lái)觀察，如下圖：
①點(diǎn)A、C關(guān)于直線(xiàn)y=x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)M、N也關(guān)于直線(xiàn)y=x軸對(duì)稱(chēng)，則△CON與△OAM也關(guān)于它軸對(duì)稱(chēng)，因此△CON≌△OAM；
②容易得到ON=OM，而不一定與MN相等，因此這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的；
③借助第一個(gè)結(jié)論中的全等，再加上矩形ODNC中，對(duì)角線(xiàn)ON將它分成兩個(gè)全等的三角形，于是可得到△NDO≌△OAM，如下圖：
將這兩個(gè)三角形的重疊部分減掉，剩下部分面積相等，并將藍(lán)色部分替換成紅色部分，即梯形DAMN變成了△MON；
④若MN與直線(xiàn)y=x相交于點(diǎn)E，如下圖：
依然由這個(gè)組合圖形的軸對(duì)稱(chēng)性，∠COB=45°，∠NOE=1/2∠MON=22.5°，于是∠CON=22.5°，在等腰△MON中，OE是其底邊上的中線(xiàn)、高，則∠OEN=90°，易得E、C關(guān)于ON軸對(duì)稱(chēng)，CN=EN，同理AM=EM；
接下來(lái)就容易計(jì)算了，△BMN是等腰直角三角形，于是BN=BM=√2，而點(diǎn)E是MN中點(diǎn)，則EN=EM=1，于是AM=1，得到正方形邊長(zhǎng)AB=√2+1，則點(diǎn)C(0,√2+1).
解題思考
實(shí)際解題過(guò)程中，有不少學(xué)生不自覺(jué)用“解析法”，將正方形頂點(diǎn)用參數(shù)表示，然后再去計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)、線(xiàn)段長(zhǎng)度和圖形面積，較為復(fù)雜，作為選擇題壓軸題，通常都會(huì)有一定技巧，這些技巧的來(lái)源則是對(duì)基礎(chǔ)概念的理解，以及對(duì)函數(shù)、幾何圖形的性質(zhì)的熟練運(yùn)用，只有深入理解以上內(nèi)容，才有可能在解答過(guò)程中游刃有余。
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