湖北
【解題研究】做好線段搬運——溫州瑞安二模第24題
最短路徑問題，在人教版數學八年級上冊是作為綜合與實踐版塊出現的，如下圖：
從教材中我們可以看出，這一類問題在八年級時主要是基于兩個定理“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”，而到了九年級的時候，新增了圓、二次函數，那么這一類問題的復雜程度提升了。
但無論哪一種最短路徑問題，核心就是將這些路徑（通常情況下是若干條線段和）通過轉化，變成一條線段，在課堂上，我們也可以戲稱之為“搬運”，搬運方法比較多，平移、全等、對稱、圓的性質等均可用。
題目
如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=4，CE平分∠BCD，交AB于點E，點F在AB上，且AE=BF.
(1)如圖2，當點E與點F重合時，求tan∠ECD的值；
(2)如圖3，點G在射線AD上，且點E在點F上方時，連結DE、FG.
①當EF=5/3時，求AD的長；
②若AD+AG=5，求DE+FG的最小值.
解析：
01
(1)很基礎的問題，由AE=BF可知此時點E為AB中點，得到BE=5/2，而由角平分線可得∠ECD=∠ECB，在Rt△BCE中直接利用三角函數定義求得tan∠ECB=5/8，即tan∠ECD=5/8；
02
(2)①當EF=5/3，且AB=5，AE=BF條件加成下，可求得AE=EF=BF=5/3；
夾在平行線間的角平分線也是平時常見的構型，不妨延長CE、DA交于點H，如下圖：
由角平分線可得∠BCE=∠DCE，再由平行得∠BCE=∠H，于是∠DCE=∠H，DH=DC；
由前面的計算可知AE:BE=1:2，我們易證△AEH∽△BEC，相似比為1:2，所以可以求出AH=2，再設AD=x，則DH=x+2，即DC=x+2，而DM=AB=5，CM=BC-BM=BC-AD=4-x，這樣在Rt△DCM中，利用勾股定理列方程得(4-x)2+25=(x+2)2，解得x=37/12；
②基本思路是將DE和FG轉化至同一條直線上，如下圖：
作點G關于AB的對稱點G'，連接MF，由對稱可得FG=FG'，圖中的四邊形ABMD可證其為矩形，得到AD=BM，再加上AE=BF和一對直角，可證△ADE≌△BMF，所以DE=MF，這樣我們成功將DE+FG轉化成了FM+FG'，上圖中紅色虛線；
點G'和點M為定點，所以根據兩點之間線段最短，當G'、F、M共線時，DE+FG最短，如下圖：
觀察Rt△MDG'，DG'=AG'+AD=AG+AD=5，DM=AB=5，可求出MG'=5√2，即DE+FG最小值為5√2.
解題思考
本題的兩條線段DE和FG設置得很有意思，這四個端點沒有一個是定點，然而卻相互關聯，因此用傳統的將軍飲馬模型去套，多數會無從下手，當我們分析圖中的等量關系時AD+AG=5是突破口，這說明我們需要尋找一條線段，長度是5，這才想到軸對稱，將原本重疊的兩條線段分開，變成一條線段DG'，再借助全等將DE也搬過來，拼在一起。
最短路徑問題、線段最值問題通常的思路學生都明白，實際解題中，需要通過對條件的解讀，找到合理落實思路的突破口，最終回歸到兩個基本“最值定理”，包括我們常見的將軍飲馬模型，本質也是這個思路，所以在教學中，不是僅僅教學生怎樣做，更要教學生為什么這樣做。
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