集智百科：極限環｜夏沛雯、彭晨

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夏沛雯、彭晨 | 作者

作者簡介

目錄

1. 定義

2. 通用性質

2.1 不變性

2.2 孤立性

2.3 穩定性分類

2.3.1 龐加萊映射示例（二維情形）

3. 二維情形

3.1 拓撲性質

3.2 典型實例

3.2.1 簡單構造的極限環

3.2.2 范德珀爾振子

3.3 極限環的排除方法

3.4 極限環存在性理論

3.4.1 龐加萊–本迪克松定理

3.4.2 李納定理

4. 高維情形

4.1 二維理論的局限

4.2 高維系統中的通用分析工具

4.3 高維系統中的穩定性分析：Floquet 理論

4.4 極限環周圍的相空間結構：不變流形

4.5 極限環失穩后的動力學行為

5. 分岔與極限環的產生和消亡

6. 近似與數值方法

7. 待解決的問題

8. 應用

極限環（limit cycle）是非線性動力學中的重要概念，用于描述動力系統在長期演化過程中所呈現的穩定周期行為。當系統的軌道不收斂于不動點，而是逐漸趨近于一條孤立的閉合軌道時，系統的運動最終表現為沿該閉合軌道的周期運動，這樣的閉軌道稱為極限環。

該概念最早由法國數學家Henri Poincaré在19世紀末研究微分方程的定性理論時提出，是現代動力系統理論中的核心概念之一。極限環通常出現在自治常微分方程所描述的連續動力系統中，用以刻畫系統在長期時間尺度下的周期性行為。

從相空間維數的角度看，極限環可以存在于二維及更高維的系統中，但在一維自治系統中不可能出現極限環。相比之下，二維動力系統中的極限環理論最為成熟，龐加萊–本迪克松定理等經典結果提供了一個存在性判據；在三維及更高維系統中，極限環同樣可以存在，但缺乏與二維系統相當的一般性結論。

本詞條首先在一般 n 維動力系統的框架下給出極限環的嚴格數學定義及其基本性質，隨后重點介紹二維系統中關于極限環的主要判定理論，最后概述高維系統中極限環的若干重要結果及相關研究問題。

1. 定義

極限環的定義：極限環是 n 維（ n ≥ 2 ）動力系統相空間中一條孤立的周期軌道，且在其某個鄰域內不存在其他周期軌道。等價地，至少存在一條不同于極限環本身的軌道，在 t → + ∞ 或 t → ? ∞ 時趨近于該閉合軌道，即極限環是這些軌道的ω極限集或α極限集（其中 ω 極限集為軌道在 t → + ∞ 時的聚集點集合，α 極限集為軌道在 t → ? ∞ 時的聚集點集合）[1]。

值得注意的是，一維自治系統中不可能存在極限環，因為一維相空間中的軌道只能單調遞增、單調遞減或停留于不動點，無法構成閉合曲線。

為使用更形式化的語言描述這一概念，現考慮一個 n 維（ n ≥ 2 ）自治動力系統

x ′ ( t ) = f ( x ( t ) )

其中為光滑向量場[2]。 該系統的一條軌線（trajectory）是滿足上述微分方程的一個光滑解，其在相空間中的像稱為軌道，是的一個子集[1]。 若某條軌線不是常數解，并且存在 T > 0 ，使得

則稱其為周期解，其在相空間中的像稱為周期軌道或閉合軌道，滿足此條件的最小正數 T 稱為其周期[2]。 極限環即為此類周期軌道中滿足孤立性條件的一類。

2. 通用性質

極限環作為動力系統中的孤立閉軌道，具有一系列重要的幾何與動力學性質。這些性質在任意 n 維（ n ≥ 2 ）自治系統中均成立，揭示了極限環如何約束其鄰域內軌道的行為，并最終決定系統的長期演化趨勢。二維系統中極限環還具有額外的拓撲性質，將在。

2.1 不變性

極限環是相空間中的不變集：若系統的初始條件恰好落在該閉軌道上，則對應解將永遠沿該軌道周期性演化[2]。

這一性質來源于微分方程解的存在唯一性定理（Picard定理）：相空間中過同一點只能有一條軌道。因此，若某軌道與極限環有一點相交，則由解的唯一性，該軌道必與極限環重合；反之，極限環外的軌道也不能穿入極限環[3]。

2.2 孤立性

極限環與一般閉軌道的本質區別在于其孤立性——在極限環任意足夠小的鄰域內，不存在其他閉軌道[2]。 這一點可與可積哈密頓系統作對比：在哈密頓系統中，閉軌道以連續族的形式出現，由能量守恒量連續參數化，構成線性或非線性中心；而極限環則是耗散系統的產物，其孤立性正反映了系統能量耗散與補充之間的精確平衡[4]。

孤立性的一個直接推論是：極限環鄰域內的軌道不再是閉合曲線，而只能呈螺旋狀趨近或遠離極限環，這就引出了極限環的穩定性問題。

2.3 穩定性分類

根據鄰近軌道的漸近行為，極限環通?？煞譃槿怺2]：

• 穩定極限環（stable limit cycle）：鄰域內的軌道在 t→+∞時均趨近于該極限環，是系統自發產生穩定周期振蕩的典型來源。
  

• 不穩定極限環（unstable limit cycle）：鄰域內的軌道在 t→+∞ 時均遠離該極限環；若將時間反向（t→?∞），則軌道趨近極限環。

• 半穩定極限環（semi-stable limit cycle）：部分鄰近軌道趨近，另一部分遠離。半穩定極限環通常出現在系統參數的臨界值處，對應一個穩定極限環與一個不穩定極限環合并消亡的周期軌道的鞍結分岔（saddle-node bifurcation of periodic orbits）[5]。

穩定、不穩定與半穩定極限環示意圖（二維情形），引自[2]

穩定性的嚴格定量判斷需借助龐加萊映射（Poincaré map）：在相空間中選取一個與極限環橫截相交的 ( n ? 1 ) 維龐加萊截面，記錄軌道每次穿越截面的位置，從而將連續系統的穩定性問題轉化為離散映射的不動點問題。該返回映射在不動點處的線性化給出一組Floquet乘子（characteristic multipliers）：若除平凡乘子外所有乘子的模均小于 1，則極限環漸近穩定；若存在模大于 1 的乘子，則不穩定。這一判斷與所選截面的具體位置無關[6]。

2.3.1 龐加萊映射示例（二維情形）

以二維極坐標系統為例。取正實軸 θ = 0 為龐加萊截線，設軌道從 r 0 > 0 出發，經過一整圈（用時 T = 2 π ）后返回截線于 P ( r 0 ) 。對徑向方程顯式求解，返回映射的解析表達式為[2]：不動點滿足 P ( r 0 ) = r 0 ，解得 r 0 = 1 ，對應單位圓極限環。在不動點處的特征乘子為 P ′ ( 1 ) = e ? 4 π ≈ 3.5 × 10 ? 6 ，由于其模小于 1，確認該極限環漸近穩定。

以上性質在任意維度下均成立，合在一起揭示了極限環在系統長期行為中的核心作用：穩定極限環是其吸引域內軌道的ω極限集，不穩定極限環則是對應軌道的α極限集。因此，極限環描述的不是某一特殊初始條件下的解，而是系統在大范圍初始條件下共同趨向的漸近行為[2]。

3. 二維情形

二維連續動力系統在理論上具有特殊的重要性，因為平面拓撲結構對軌道的長期行為施加了強約束。許多關于極限環存在性與排除性的基本定理（如龐加萊–本迪克松定理和Bendixson–Dulac準則）僅在二維系統中成立，而在三維及更高維系統中一般不再適用。

3.1 拓撲性質

極限環是相平面上的一條簡單閉曲線。若爾當曲線定理（Jordan curve theorem）指出，任何簡單閉曲線都將平面劃分為內部與外部兩個互不相交的區域，且兩者只以該曲線為公共邊界[7]。 這一性質對極限環鄰域內的軌道行為有根本性的約束：內部軌道與外部軌道處于拓撲上完全隔離的兩個區域，無法在不穿越極限環本身的情況下相互轉化[7]。

此外，極限環內部至少包含系統的一個不動點。若極限環內部只有一個不動點，則該點必為匯、源或中心，而不能是鞍點[1]。

3.2 典型實例3.2.1 簡單構造的極限環極限環可以通過顯式構造二維系統的徑向與角向動力學來得到?？紤]極坐標系統 。徑向方程在 r = 0 與 r = 1 處有不動點：當 0 < r < 1 時 ，軌道向外增長；當 r > 1 時 ，軌道向內收縮。因此只要 r ≠ 0 ，徑向分量均收斂至 r = 1 ，單位圓是系統唯一的穩定極限環，除原點外所有軌道均以其為ω極限[2]。

3.2.2 范德珀爾振子

范德波爾振蕩器 Van der Pol oscillator的穩定極限環

范德珀爾振子是研究極限環的經典非線性系統，由荷蘭物理學家Balthasar van der Pol在研究電子管振蕩電路時提出[8]：

原點處線性化矩陣的特征值實部為正，故原點是不穩定焦點。另一方面，通過估計能量函數可以證明軌道被限制在有界環形區域內。由龐加萊–本迪克松定理知該區域內存在極限環，結合唯一性論證可知恰好存在一條，所有非平衡軌道最終趨向該極限環。參數 μ 較小時振蕩近似正弦波；較大時出現松弛振蕩（relaxation oscillation）[2]。

3.3 極限環的排除方法

極限環排除方法的核心思想是：若能找到一個在系統演化過程中單調變化的量，則系統不可能存在周期軌道。以下三種方法各自利用了不同的結構特征，其中梯度系統與李雅普諾夫函數方法在高維中仍然成立，而Dulac準則為二維專屬方法。

• 梯度系統（gradient system）：若 n 維系統可寫成 x ′ = ? ? V ( x ) ，其中 V 為光滑勢函數，則沿軌道嚴格單調遞減。由于周期軌道要求 V 在一個周期后恢復原值，這與嚴格單調性矛盾，故梯度系統中不存在極限環。這一判定標準同樣適用于任意 n 維系統[2]。

• 李雅普諾夫函數（Lyapunov function）：若能構造光滑函數 V ( x ) 使得在某區域內處處嚴格同號，則該區域內不存在周期軌道。此方法比梯度系統更靈活，適用于任意 n 維系統，但構造 V 一般無系統性方法[1]。

• Dulac準則（Bendixson–Dulac定理）：對于平面系統 x ′ = P ( x , y ) , y ′ = Q ( x , y ) ，若存在連續可微函數 B ( x , y ) 使得加權散度在某單連通區域內處處同號且不恒為零，則該區域內不存在極限環。當 B ≡ 1 時退化為經典的 Bendixson判據。該準則依賴于平面散度，僅適用于二維系統[9]。

龐加萊–本迪克松定理（Poincaré–Bendixson theorem）是二維連續動力系統中最基本的存在性定理，由 Henri Poincaré 于1892年首先提出，Ivar Bendixson 于1901年給出嚴格證明：[10][9]。

設平面自治系統的向量場 f 連續可微。若某條正向軌道有界，且其 ω極限集中不含不動點，則該 ω 極限集本身是一條周期軌道[1][2]。

實際應用中通常通過構造捕獲區（trapping region）來使用：若能找到有界閉區域 R 使得向量場在邊界上處處指向內部且 R 內不含不動點，則 R 內至少存在一條極限環。該定理還揭示了二維系統的深刻約束：有界軌道只能趨向不動點、周期軌道或連接集，二維連續系統不可能出現混沌行為。該定理僅適用于平面或二維流形，對高維系統不成立[1]。

3.4.2 李納定理

對于李納系統（Liénard system），李納定理（Liénard's theorem）給出恰好存在唯一穩定極限環的充分條件[11][1]：

1. f ( x )和 g ( x ) 均為奇函數，且對 x > 0 有 g ( x ) > 0 ；

2. 有且僅有一個正零點 x = a ，在 ( 0 , a ) 上 F < 0 ，在 ( a , + ∞ ) 上 F > 0 ；

3. 當 x → + ∞ 時， F ( x ) → + ∞ 。

范德波爾振子是李納系統取 f ( x ) = μ ( x 2 ? 1 ) 、 g ( x ) = x 的特殊情形。李納定理的意義在于將存在性與唯一性同時給出，且條件可直接從函數形式驗證，無需構造捕獲區。其物理直覺是：系統在小振幅時注入能量（ F < 0 對應負阻尼），在大振幅時耗散能量（ F > 0 對應正阻尼），兩者精確平衡使系統收斂至唯一的周期振蕩解[2]。

4. 高維情形

在二維系統中，極限環的理論已相當完善。然而當系統維度升至三維及以上時，二維的核心工具大多失效，極限環的分析需要借助新的理論框架。本節介紹高維系統中極限環的主要分析工具及其特有的動力學現象。

4.1 二維理論的局限

二維理論的局限：二維系統中極限環的核心分析工具均依賴于平面拓撲的特殊性質，在三維及以上系統中大多失效，且目前尚無與之相當的一般性替代理論。

• 龐加萊–本迪克松定理失效：高維相空間中有界軌道可能趨向奇異吸引子，產生混沌行為。因此，高維系統中不存在與該定理相當的一般性存在性定理[1]。

• Dulac 準則不可推廣：該準則依賴于平面向量場的散度，在高維系統中沒有對應推廣形式[2]。

• 存在性判定困難：目前尚無通用的高維極限環存在性判定方法，實際分析通常依賴霍普夫分岔理論或數值延拓方法。

盡管二維的專屬工具在高維失效，部分方法仍可直接推廣至任意 n 維系統，分別用于排除和確認極限環的存在。

在排除極限環方面，梯度系統與李雅普諾夫函數方法（見）的核心邏輯不依賴平面拓撲，在任意維度下均適用：若能找到一個沿軌道嚴格單調變化的函數，則系統不可能存在周期軌道[2][1]。

在確認極限環存在方面，霍普夫分岔理論適用于任意維度：當不動點的特征值跨越虛軸時，可以嚴格證明附近產生極限環。這是高維系統中為數不多的可以從理論上保證極限環存在的情形之一[5]。

4.3 高維系統中的穩定性分析：Floquet 理論

Floquet 理論通過分析極限環附近的線性化系統，給出了任意維度下極限環穩定性的嚴格定量判據。

設系統存在一條周期為 T 的極限環 Γ 。對系統在 Γ 附近線性化，得到一個以 T 為周期的線性變分方程。該方程在一個完整周期內的基本解矩陣稱為單值矩陣（monodromy matrix），其特征值稱為Floquet 乘子（Floquet multipliers），又稱特征乘子（characteristic multipliers）[12]。

對于 n 維系統，單值矩陣共有 n 個 Floquet 乘子。其中沿極限環切方向本身對應一個模恒為 1 的平凡乘子（trivial multiplier），這是所有連續自治系統極限環的普遍特征，與系統維數無關。去除該平凡乘子后，剩余 n ? 1 個乘子決定極限環的橫截穩定性。

• 若所有乘子的模均小于 1，則極限環漸近穩定；

• 若存在模大于 1 的乘子，則極限環不穩定；

• 若存在模等于 1 的乘子（且其余均小于 1），則對應穩定性的臨界情形，需進一步分析。

在二維情形下， n ? 1 = 1 ，退化為單個特征乘子，與[6]。

4.4 極限環周圍的相空間結構：不變流形

不變流形理論描述了極限環周圍相空間的幾何結構，揭示了高維系統中特有的鞍型周期軌道現象。

Floquet 理論給出了極限環穩定性的定量判據，而不變流形理論則進一步描述了極限環周圍相空間的幾何結構。極限環 Γ 周圍的相空間可按 Floquet 乘子的模分解為三類不變流形[6][13]：

• 穩定流形 W s ( Γ ) ：由在 t → + ∞ 時趨近于 Γ 的軌道構成，對應模小于 1 的乘子；

• 不穩定流形 W u ( Γ ) ：由在 t → ? ∞ 時趨近于 Γ 的軌道構成，對應模大于 1 的乘子；

• 中心流形 W c ( Γ ) ：對應模等于 1 的乘子，軌道在此方向上既不趨近也不遠離 Γ 。

這一分解揭示了高維系統中極限環的一個二維所沒有的現象：鞍型周期軌道（saddle-type periodic orbit）——極限環在某些法向方向上吸引軌道，同時在另一些方向上排斥軌道。這類極限環在實際系統中可充當不同吸引域之間的邊界[5][13]。

鞍型周期軌道 Γ （藍色）的穩定流形 W s ( Γ ) （綠色）上的軌跡在 t → + ∞ 時趨近 Γ ，而不穩定流形 W u ( Γ ) （紅色）上的軌跡在 t → + ∞ 時遠離 Γ ，兩者的 Floquet 乘子滿足 | λ s | < 1 ， | λ u | > 1 。

4.5 極限環失穩后的動力學行為

在三維及以上系統中，極限環失穩后可觸發倍周期分岔、環面振蕩乃至混沌等一系列復雜動力學行為，這是二維系統中不可能出現的現象。

在二維系統中，極限環失穩后只能通過分岔轉變為不穩定極限環或消亡。而在三維及以上系統中，極限環失穩可觸發更為復雜的行為，常見路徑包括倍周期分岔（可通過倍周期級聯進入混沌）以及環面分岔（產生準周期運動，環面進一步破裂后可進入混沌，即Ruelle–Takens情景）。這些現象共同揭示了高維系統動力學的根本復雜性：極限環不再是系統長期行為的終點，而可能只是通往更復雜動力學的一個過渡階段。無論是二維還是高維系統，極限環的產生與消亡均與系統參數的變化密切相關，這一現象將在下一節中系統介紹[2][5]。

5. 分岔與極限環的產生和消亡

在動力系統中，極限環的產生、消亡與結構變化通常與系統參數的變化密切相關。當參數跨越某一臨界值時，系統的定性行為發生突變，這一現象稱為分岔（bifurcation）。分岔可分為兩類：局部分岔（霍普夫分岔、鞍結分岔、倍周期分岔、環面分岔等）僅涉及極限環鄰域內的局部行為；全局分岔（同宿分岔、異宿分岔等）則涉及相空間的全局結構。本節僅就分岔與極限環的直接關聯作簡要介紹，以下各類分岔的核心結論均在滿足相應非退化條件下成立，各定理的完整條件與證明詳見分岔理論詞條及各類分岔的對應詞條。除倍周期分岔僅適用于三維及以上連續自治系統外，以下各類分岔均適用于任意 n 維系統。

超臨界霍普夫分岔示意圖。橫軸為參數 μ ，縱軸為振幅 A 。當 μ < 0 時不動點穩定；當 μ > 0 時不動點失穩，系統產生穩定極限環。

與極限環直接相關的主要分岔類型包括：

• 霍普夫分岔（Hopf bifurcation）：當不動點的一對復特征值實部跨越零且滿足橫截條件與非退化條件時，不動點失穩并在附近產生極限環。超臨界情形產生穩定極限環，亞臨界情形產生不穩定極限環，后者通常與一個已存在的穩定極限環共存。霍普夫分岔是高維系統中為數不多的可以嚴格證明極限環存在的情形之一[5][13]。

• 極限環鞍結分岔（saddle-node bifurcation of periodic orbits）：一條穩定極限環與一條不穩定極限環在參數變化下逐漸靠近，在臨界參數值處合并為半穩定極限環后同時消亡。當系統存在雙穩態時，這一機制可導致遲滯現象（hysteresis）[5][2]。

• 同宿與異宿分岔（homoclinic／heteroclinic bifurcation）：極限環趨近于不動點的連接軌道時，其周期趨向無窮大并最終消亡。在三維系統中，若同宿軌道趨近于鞍焦點且滿足 Shilnikov 條件（鞍焦點的不穩定特征值實部大于穩定特征值實部的絕對值），系統附近可出現可數無窮條周期軌道及混沌動力學，稱為Shilnikov混沌[14][13]。

• 倍周期分岔（period-doubling bifurcation）〔僅適用于三維及以上連續自治系統〕：極限環失穩時產生周期加倍的新極限環，反復發生形成倍周期級聯（period-doubling cascade），最終導致混沌。Feigenbaum于1978年證明這一過程具有普適的定量規律，收斂速率由Feigenbaum 常數δ ≈ 4.669 描述[15][5]。

• 環面分岔（Neimark-Sacker bifurcation）：極限環的一對復特征乘子?？缭?1 時，極限環失穩并產生二維環面吸引子，軌道在其上作準周期運動。若環面進一步破裂，系統可進入混沌狀態。這一分岔是霍普夫分岔在周期軌道層面的類比，適用于任意維度[5]。

6. 近似與數值方法

極限環的精確解析解在一般情形下難以獲得，但對于某些特殊結構的系統可通過近似方法得到定量信息。常用方法包括：

• 松弛振蕩（relaxation oscillation）：適用于具有快慢時間尺度分離特征的系統（典型情形為范德波爾振子大參數極限 μ ? 1 ）。軌道在相平面上緩慢漂移與快速躍遷交替，極限環周期可估算為 T ≈ μ ( 3 ? 2 ln ? 2 ) [2]。

• 平均法（averaging method）：適用于弱非線性振蕩（ ε ? 1 ）。通過對快速振蕩取平均，將原系統化為振幅慢變方程，其不動點對應極限環振幅，穩定性由線性化特征值判定。對于 范德波爾振子，一階近似給出振幅 a = 2 [1][13]。

• 數值延拓方法（numerical continuation）：從已知極限環出發，沿參數方向系統性追蹤極限環分支，同步檢測分岔點。可處理任意強非線性系統，不依賴小參數假設。常用軟件包括 AUTO、MATCONT 與 PyDSTool[5][13]。

7. 待解決的問題

極限環的一般理論至今仍存在若干重要的開放問題，尤其在高維系統中，現有理論框架遠未完善。

• 希爾伯特第十六問題：1900年，大衛·希爾伯特（David Hilbert）提出的第十六問題第二部分詢問：次數不超過 n 的平面多項式系統最多可能存在多少條極限環[16]。 即使對于二次多項式情形（ n = 2 ）該問題至今仍未完全解決；對于一般次數 n ，極限環個數的有限性也尚未得到證明[1]。

• 高維系統中的存在性理論：目前高維系統中確認極限環存在的方法（霍普夫分岔、數值延拓等）均為局部或逐案分析，缺乏系統性的全局存在性理論。建立適用于高維系統的一般性存在性判定框架，是動力系統領域的重要開放問題[13]。

• 高維系統中的排除方法：Dulac 準則在高維系統中無法推廣，而李雅普諾夫函數方法雖適用于任意維度，但其構造缺乏系統性方法，實際應用中往往需要針對具體系統逐案設計[2][13]。

• 極限環的個數與分布：在高維系統中，極限環的個數問題遠比二維復雜，系統可以同時存在多個極限環，且隨參數變化可能經歷復雜的分岔序列。對高維系統中極限環個數與分布的系統性描述，至今仍是開放問題[5]。

8. 應用

科學應用中許多自持振蕩系統的仿真中，極限環具有重要意義。典型例子包括：

• 空氣動力學中的極限環振蕩[17]

• 神經元動作電位的霍奇金–赫胥黎模型（Hodgkin–Huxley model）

• 糖酵解過程中的塞爾科夫模型（Sel'kov model）[18]

• 動物基因表達、激素水平和體溫的周期性變化，屬于晝夜節律（circadian rhythm）[19]

• 癌細胞在局限微環境中的遷移[20]

• 非線性電路系統，包括范德波爾模型（Van der Pol model）[21]

參考文獻

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• 百科積分（支持兌換集智俱樂部周邊：文化衫、復雜科學知識卡以及提現）

• 集智俱樂部創始人張江教授親自指導寫作

• 科研志愿者晉升通道：表現優異者可加入張江教授科研團隊從事科研志愿者

你的百科貢獻之路，從一字一句開始！

第一步，從成為一名字幕志愿者開始！

只需完成一期讀書會講座字幕任務，這不僅是貢獻，更是一次深度的學習。字幕任務過關后，您將升級為“百科志愿者”，開啟編輯詞條、整理術語的進階旅程。

從字幕到百科，這是一條清晰的成長路徑。立即行動，從第一個任務開始你的升級吧！

報名讀書會：「非線性動力學與混沌」

集智俱樂部聯合北京師范大學張江科研組聯和南信大李春彪科研組師生共同發起，由師生共同領讀《非線性動力學與混沌》，以分章節精讀的方式，帶領大家系統學習非線性動力學的基本理論與典型模型，結合洛倫茲系統、Kuramoto模型等經典案例，深入探討混沌的起源、分形與奇異吸引子等前沿問題。

本讀書會不僅讀書，還會系統化地梳理本書中的重要概念，并整理為百科詞條。也就是說，讀完本書，我們會梳理出一套非線性動力學與混沌相關的百科詞條，這才是重點。

我們也會通過梳理詞條的方式，讓學員組成學習小組進行比賽，最終會評出優秀學習小組獲得復雜科學知識卡、汪小帆簽名的《非線性動力學與混沌》、張江簽名的《規模法則》、以及譯者簽名的《復雜-誕生于混沌與秩序邊緣的科學》以及特色集智文化衫！

詳情請見：

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