湖北
【解題研究】尋找消失的線——構(gòu)全等、用勾股定理
在從特殊圖形到一般圖形的過程中，特殊圖形的條件通常會(huì)被更一般化的條件代替，在解這一類壓軸題的時(shí)候，我們需要認(rèn)真研究特殊圖形中的數(shù)量關(guān)系是怎樣產(chǎn)生關(guān)聯(lián)的，而不僅僅滿足于得到答案，把特殊圖形的內(nèi)在關(guān)聯(lián)弄清楚了，再到一般圖形中，至少大方向是正確的。
海淀區(qū)一模第27題，總體上比較簡(jiǎn)單，但這也只是針對(duì)找到思路的學(xué)生，若依然停留在手拉手模型的機(jī)械模仿上，仍然會(huì)被它難倒。
題目
在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=α，D為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-2α得到線段AE，連接CE.
(1)如圖1，α=30°，點(diǎn)E在直線BC上，求證：CE=2CD；
(2)如圖2，用等式表示線段AB，CD和CE的數(shù)量關(guān)系，并證明.
解析：
0 1
(1)當(dāng)α=30°時(shí)，則180°-2α=120°，我們一起找圖1中的特殊三角形，分別是Rt△ABC，Rt△ACE，它們都含30°角，△ACD是等腰三角形，數(shù)量關(guān)系已經(jīng)能夠找到了；
CE=2AC，而AC=CD，故CE=2CD；
0 2
(2)圖2中的AB，CD和CE“天南海北”并不方便尋找數(shù)量關(guān)系，我們需要將它們“集結(jié)”一下，考慮到旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，我們可以認(rèn)為AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-2α得到線段AD，因此將線段AC也進(jìn)行同樣的旋轉(zhuǎn)變換，如下圖：
將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180-2α得到線段AF，連接DF，對(duì)于△ACF，它是一個(gè)等腰三角形，頂角為180°-2α，則底角為α，即∠ACF=α，所以∠ACF=∠BAC，推導(dǎo)出AB∥CF，而∠ABC=90°，所以∠FCD=90°；
接下來觀察AB與CF的關(guān)系：
方法一，過點(diǎn)A作AG⊥CF于點(diǎn)G，如下圖：
我們可以很容易得到矩形ABCG，再由三線合一得到CF=2CG=2AB，最后在Rt△CDF中，由勾股定理得CF2+CD2=DF2，所以(2AB)2+CD2=CE2，即4AB2+CD2=CE2.
方法二，延長(zhǎng)FA交DB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如下圖：
與方法一類似，只不過構(gòu)造了△GCF的中位線AB，同樣可以得到CF=2AB，結(jié)論不變即4AB2+CD2=CE2.
解題思考
探索線段間的數(shù)量關(guān)系類的幾何壓軸題，從特殊圖形到一般圖形，一定存在關(guān)聯(lián)，特殊的數(shù)量關(guān)系是如何得到的，會(huì)受哪個(gè)特殊條件的影響，不受影響的結(jié)論又是什么，這道題在輔助線畫出來之后，學(xué)生會(huì)覺得十分簡(jiǎn)單，但問題是如何想到這樣畫？
題目中的旋轉(zhuǎn)180°-2α，在歷次月考中都有涉及，這需要對(duì)等腰三角形三個(gè)內(nèi)角間的關(guān)系十分熟悉，即底角為α，則頂角一定是180°-2α，而當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為180°-2α?xí)r，旋轉(zhuǎn)前后的線段可構(gòu)成等腰三角形，旋轉(zhuǎn)變換過程中，也容易構(gòu)造全等三角形，這就是本題輔助線思路的由來.
當(dāng)所要探索的線段位置比較“分散”時(shí)，需要我們通過轉(zhuǎn)換將它們“集中”，特殊三角形、特殊位置都是可以考慮的方向，即一般圖形下的特殊關(guān)系.
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