《人類科學技術史-346》希爾伯特對數學的貢獻（上）

希爾伯特對數學的貢獻（上）

數學大師希爾伯特的成長和成功的道路，是現代人才學的一個典型例子。他的故鄉哥尼斯堡，建于13世紀，是一座著名的大學城，有古老的大學，有著名的哲學家康德的墓地，文化傳統十分深厚。愛好哲學、天文和數學的母親對他更有潛移默化的影響。

希爾伯特讀小學時，適遇后來成為杰出數學家的閔科夫斯基(1864-1909）從俄羅斯搬到哥尼斯堡，并成為希爾伯特的鄰居。覺得自己比較愚鈍的小希爾伯特，在少年奇才閔科夫斯基等的激勵下，學習十分的勤奮努力，并和閔科夫斯基成為摯友。在希爾伯特的學生時代，德國的小學教育十分注重基礎知識和基本訓練，中學和大學充滿自由學習的空氣。著名的數學家雅可比、魏伯等曾在希爾伯特就讀的哥尼斯堡大學里任教，并使該校形成了數學研究中心，年輕人能經常接觸到數學研究最前沿的課題。

1885年，希爾伯特獲博士學位，1893年任哥尼斯堡大學教授，1895年赴哥廷根大學任教授。1902年后一直是德國《數學年刊》主編之一。

1.希爾伯特涉及的主要數學領域

希爾伯特是20世紀最偉大的數學家之一，他常常直攻數學的重大問題，開拓新的研究領域，并努力尋求帶普遍性的方法。他涉及的數學領域以及對數學的貢獻是多方面的。從時間順序上看，主要有以下幾個方面。

他獲得博士學位后，便開始研究果爾丹問題，即不變式系的有限整基的存在定理。希爾伯特獨辟蹊徑，采用了直接的、非算法的方法進行了證明，問題的徹底解決曾轟動數學界。他對代數不變式問題的研究工作，孕育了女數學家愛米.諾特為代表的抽象代數學派。

1894年后，希爾伯特主要研究代數數域論問題，1898年的論文《相對阿貝爾域理論》，是他在這一方面工作的頂峰。日本數學家高木貞治(1875-1960）和奧地利數學家阿廷(E.Artin，1898-1962)在他工作的基礎上發展了類域論。

1899年至1903年，希爾伯特的工作主要在幾何基礎方面。1899年，他發表了著名的《幾何基礎》一書。在此書中，他給出了幾何學的一個清晰的、完備的公理化體系。全體公理按性質分為5組，即關聯公理、次序公理、平行公理、六條全等公理和連續公理。希爾伯特對這些公理之間的邏輯關系作了深刻考察，精確提出了公理系統的相容性、獨立性和完備性的要求，這一方面工作的意義遠遠超出了幾何基礎的范疇。希爾伯特所奠基的公理化方法是19世紀數學發展的結晶，并為20世紀的數學家們起到了導航作用。

1904年，希爾伯特證明了狄利克雷原理，解決了它的適用范圍問題，從而拯救了這一原理，大大豐富了變分法的經典理論。

從1904年到1912年，希爾伯特發展了弗雷德霍姆積分方程論，綜合運用分析、幾何和代數的方法發展了特征函數與特征值理論。他將函數空間中的函數按正交基坐標化為數列，提出具有平方收斂和的數列空間的概念，即希爾伯特空間，他還發現并巧妙處理了"算子譜"理論。這些工作為泛函分析的發展奠定了基礎。這一時期，希爾伯特還證明了數論中的華林(1734-1798）猜想。

此后的大約10年時間，希爾伯特專注于物理領域，他成功地將積分方程論用于空氣動力學問題；研究了物質結構等理論的處理；探討用公理化方法來推演近代物理學問題；在廣義相對論方面的工作令人矚目，他獨立于愛因斯坦推導出了引力場方程，并為孕育統一場論的思想作出了貢獻。

1918年后，希爾伯特對數學基礎的研究形成了"形式主義計劃"的思想，并成為形式主義學派的創立者。按照形式主義計劃，整個數學理論被表現為僅由符號、公式和公理組成的相容的形式系統。他提出證明論(也稱元數學）作為證明形式系統相容性的途徑，元數學堅持推理的有限性。希爾伯特和他的學派，確實證明了一些簡單形式系統的相容性，而且相信，他們將實現證明算術和集合論的相容性的目標。然而，1931年，哥德爾(1906-1976)證明用希爾伯特"元數學"證明算術公理的相容性是行不通的。盡管如此，希爾伯特的形式主義計劃仍不失其重要性，它帶動了20世紀有關數學基礎的研究。

希爾伯特對20世紀數學發展影響最大的工作，乃是他在本世紀初發表的關于23個數學問題的講話。

2.希爾伯特提出的23個數學問題

1900年，關于物理和數學有兩個著名的講話。

一個是19世紀物理學界的元老威廉.湯姆遜(1824-1907)，即開爾文勛爵于1900年4月27日在英國皇家學會上發表的《熱和光的動力理論上空的19世紀烏云》的演講。這個演講的主要基調是，充分肯定19世紀物理學的成就，認為物理學大廈已經建成，余下的只是修修補補的事情了。這個講話之所以著名，原因有兩點。原因之一是研究科學技術史的人們經常引用此演講作為科學保守派的例子，因為，就在此講話發表之后不久，以相對論和量子力學為標志的物理學革命便完全改變了物理學的面貌；原因之二是開爾文勛爵能眼光銳利地指出了物理學"萬里晴空"中還漂浮著的"兩朵烏云"：一是與比熱和熱輻射有關的理論問題，另一則是麥克爾遜-莫雷實驗的"零結果"。但他未能預料這"兩朵烏云"正是即將來臨的物理學革命風暴的前兆。

另一著名演講則是1900年8月8日，德國著名數學大師希爾伯特在巴黎召開的國際數學家大會上，發表的"數學問題"的演說。1897年，在瑞士的蘇黎士召開的第一次國際數學家會議決定，1900年在巴黎召開第二次國際數學家會議。1899年，希爾伯特接到了會議籌備機構的邀請，要他在會上作主要發言。

為了準備一個與世紀交替之際相稱的發言，希爾伯特前后用了8個月的時間，就當時數學研究的最前沿的問題進行了仔細的準備，并與閔科夫斯基、赫爾維茨一起商量，向大會提出23個當時尚未解決的數學問題。這些問題從最一般的基礎問題開始，以變分法和數理方程等接近實用的學科中的問題結束，涉及數學的各個具體分支。

和世紀之交的"物理學演講"不同，希爾伯特提出的23個問題，列出在新世紀里數學家應當努力攻克的目標，為新世紀中的數學發展揭開了充滿挑戰性的、光輝的一頁。這些問題在相當程度上左右和導引了20世紀數學的發展和研究方向。

后來被稱為希爾伯特問題的23個問題，引起了數學界人士的廣泛注意。20世紀最著名的數學家幾乎都為解決希爾伯特問題作出過貢獻。

1975年，交流、總結希爾伯特問題研究進展的國際會議，在美國伊里諾斯大學召開，大會論文匯編成《由希爾伯特問題引起的數學發展》一書。1936年至1974年，獲菲爾茲獎(數學界的諾貝爾獎）的20人中，有12人的工作與希爾伯特問題有關。以下列出希爾伯特23個數學問題，以及有關的進展情況。