湖北
【解題研究】知其所以然——海淀區一模選擇壓軸題
當學生在遇到題目中包含有平面直角坐標系、二次函數時，有一種思維慣勢，將條件中的點、線解析化，利用解析幾何的思想來求解，但限于初中數學范圍，有些點、線并不容易利用解析式來表示，因此退而求其次，打算利用幾何直觀來“猜”，好在現在命題時給出的圖形比較標準，只要有足夠的作圖基本功，這也并非不可取。
但我們在研究這一類壓軸題的時候，課堂上不能僅僅靠演示來告知學生結果是什么，更要分析為什么會是這個結果，知其然更要知其所以然。
題目
解析：
01
①圓心C到點A的距離即為半徑，由兩點間距離公式可以求出AC=√5，當MN⊥x軸時，如下圖：
當MN與y軸重合時取最大值，其中CN為半徑，CM=1，所以MN=√5+1，①正確；
02
②由于AB∥x軸，所以△ABQ的面積始終等于△ABO的面積，如下圖：
由于點M在第一象限，所以觀察出四邊形ABMO的面積大于△ABO的面積，即四邊形ABMO的面積大于△ABQ的面積，②錯誤；
03
③作為本題難點，理解等邊△AMN的結構至關重要，頂點A是定點，而另兩個頂點分別在弧AB和拋物線上，有學生嘗試將點M表示成(t,1/2t2)，再用含t的代數式表示點N坐標，企圖用AM=AN來列方程，先不提如何將∠MAN=60°解析化，僅就這個方程，基本無解；哪怕反過來將點N用參數表示也一樣。
不妨從等邊三角形的概念入手，我們知道△AMN三邊相等，三個角均為60°，這是表象，繼續深入，可知等邊三角形的任意兩邊都可以繞其中一個頂點旋轉60°得到，例如AN繞點A順時針旋轉60°，可得邊AM，我們在很多幾何題中用到的旋轉變換基本模型，就是這個原理。但在本題中，如何利用好這一理解呢？
請注意圖中還有一個定點C，則AC也是定線段，當AN繞點A旋轉之后，點C依照同樣的旋轉會在何處，如下圖：
將點C繞點A順時針旋轉60°得到點C'，同樣將點N繞點A順時針旋轉60°得到點N'，于是△ACN≌△AC'N'，我們并不需要去求點C‘坐標，只需要知道它是個定點，而C'N'=CN=√5+1，說明C'N'是定長，我們得到了到定點C'的距離始終等于定長的點N'，由圓的定義可知，點N'一定在以C'為圓心，√5+1為半徑 的圓上，只要這個圓與拋物線有交點，則這個交點即為點M，如下圖：
通過觀察發現圓C'與拋物線一定存在交點M，即存在等邊△AMN，③正確；
04
④以D(0,3/2)為中點的線段MN，我們需要換種理解方式，以點D為圓心的圓，任意一條直徑中點均為點D，這就給我們尋找M、N位置提供了方便，如下圖：
分別以DO和DA為半徑作圓，小圓與弧AB沒有公共點，意味著找不到對應的N點；大圓與拋物線和弧AB均沒有公共點，即找不到對應的M點和N點，
而半徑位于這二者之間的圓，雖然它分別與弧AB有交點，與拋物線也有交點，但顯然這些點并不是直徑的兩個端點，如下圖：
所以滿足條件的線段MN不存在，④錯誤.
解題思考
在解題過程中，利用了幾何直觀，但前提是能夠將圖形準確地畫出來，而且畫出所需要的圖形方便判斷，這就極考驗學生對幾何概念的理解程度。例如等邊三角形的概念，小學就已經學過，知道三條邊相等，三個角均為60°，如果經過初中三年的學習，學生對這個概念的理解仍然停留在小學階段，是失敗的，當我們學習了更多幾何概念之后，這些概念之間會存在新的關聯，用旋轉變換去理解等邊三角形即為其中之一，當然還有更多的關聯，需要在平時的教學中幫助學生融合。
又例如線段中點的概念，這也是自小學就知道的，當我們學習了直徑之后，對于直徑的中點是圓心往往一帶而過，所以在給定中點尋找相應的線段時，不容易聯想到圓，這是個稱手的工具。
我們在復習階段梳理知識的時候，有一項任務就是幫助學生建立知識網絡，這個網絡的核心就是我們平時經常接觸到的“強關聯”，而像本題這樣的邊緣網絡屬于“弱關聯”，能否將這張網建構起來，需要平時就養成多思考的習慣，不能被定勢思維約束，只有思維是開放的，這張網才足夠廣。
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