量子態是如何量化的

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原創：雷豐圖

校對：牧夫天文校對組

后期、責任編輯：王啟儒

上篇文章我們說到，所有微觀粒子都具有波粒二象性，物理學家把這種“既是波又是粒子”的狀態，起了一個專門的名字——量子態。

很多科普講到這里就停了，仿佛“量子態”是一個用來終結話題的魔法詞匯。但你心里一定還有疑問：量子態到底是個什么東西？它是真實存在的，還是數學家的腦內劇場？為什么它一被測量就“坍縮”？光子究竟是怎么“同時走兩條縫”的？

要回答這些問題，首先我們要了解一下量子態的住處—— 一棟名叫希爾伯特空間的房子里。

希爾伯特空間：一個形容“狀態”的向量空間

先看一個生活中的例子。普通的三維空間，每個向量用三個數字 (x, y, z) 就能描述。

但現在想象你要描述一根琴弦的形狀。琴弦不是三個點，它是連續的一條線。要完整描述它在某一瞬間的形變，你需要給出這條線上每一個點的偏移量——無窮多個點，就需要無窮多個數字。

希爾伯特空間，就是這種需要無窮多個數字才能描述的狀態所組成的空間的一種，同時也是最規整、最適合做物理的那一種。量子態就可以看作是希爾伯特空間里模長為1的向量。

在雙縫實驗里，我們只關心兩種可能：走左縫、走右縫。于是整個無窮維空間被簡化成一個二維子空間，兩條縫分別對應兩個正交的基向量：

|左?：光子確定走左縫的狀態

|右?：光子確定走右縫的狀態

這就像平面直角坐標系里的x軸和y軸，互相垂直、互相獨立。

光子的任何狀態，都可以寫成這兩個基向量的組合：

∣ψ?=a∣左?+b∣右?

這里 a 和 b 是復數，叫概率幅。疊加不是“不知道走哪邊”，而是“本質上同時具備兩種可能性的成分”——這就像“東北方向”同時包含“東”和“北”兩個分量，你不會覺得東北方向有什么神秘。

既然光子的狀態向量可以被寫成這個形式，我們又如何計算 a 和 b 具體的值是多少呢？

這里我們就要運用到向量的內積。首先我們知道，狀態“左” 和狀態“右”在向量空間中為正交（內積為0）。而一個向量與自己（復共軛）的內積為1。從而我們得出

這就完美了——如果|a|2是光子出現在左縫的概率，|b|2是光子出現在右縫的概率，加起來剛好是1，符合總概率守恒。概率規律不是硬貼上去的，它是希爾伯特空間里“向量長度為1”這個條件的自然結果。理論上，任何滿足|a|2+|b|2=1的復數對(a, b)都對應一個合法的量子態。自然界中有無數種不同的量子態，每種都有一組不同的(a, b)。光子究竟處于哪一種疊加態，取決于它是怎么被制造出來的。

舉個例子：

如果讓一束光直接照射兩條完全對稱的縫，入射波前是平的，左右縫被同等激發。這時候光子態大致是 |ψ? = (1/√2)|左? + (1/√2)|右?，a = b = 1/√2。此時|a|2 = |b|2 = 1/2，走左縫和走右縫的概率各占50%。

如果你在左縫前面加一片薄玻璃，改變左縫的光程，左邊分量的相位會被推遲，a 仍是1/√2，但b變成了 (1/√2)·e^(iφ)，a 和 b 大小不變，相對相位不同。

如果直接把右縫遮住，制備出的光子態就是 |ψ? =

|左?，a = 1, b = 0，沒有疊加。

a 和 b 的數值，是你制備量子態時“寫”進去的。實驗裝置決定了它們。

由此，一個東西同時處于兩種狀態——翻譯成希爾伯特空間的詞匯，只是一句話：兩個向量相加，得到一個新向量。

如何確定一個量子態

那么我們觀測到疊加態嗎? 例如，我們能直觀的看到一團概率云同時飛過左縫和右縫嗎？

上期我們提到，在未被測量前，光子處于疊加態。而測量，迫使它“做出選擇”。也就是說在測量后，光子的狀態從|ψ? = a|左? + b|右? 坍縮成了 |ψ? = 1 |左? 或 |ψ? = 1 |右?。也就是經典的觀測結果。該過程是真隨機的，由概率決定，但你沒法從一個結果反推 a 和 b。

但如果你重復同一個實驗很多很多次（比如發射100萬個光子），統計“左”出現的頻率，這個頻率會趨近于|a|2；“右”的頻率趨近于|b|2。通過大量統計，你可以反推 a 和 b 的模（即|a|和|b|）。

你還可以設計干涉實驗——改變兩條路徑的相位差，觀察干涉條紋的移動，這就是量子態層析（quantum state tomography）的基本思路，暫時超出了本文的初衷。

小結

1. 量子態是希爾伯特空間里長度為1的向量。

2. 雙縫實驗的兩個可能路徑構成基向量|左?和|右?。

3. 疊加態是這兩個基向量的線性組合 a|左? + b|右?。

4. 內積的正交歸一規則自然導出 |a|2 + |b|2 = 1，概率解釋水到渠成。

5. a 和 b 由制備方式決定，它們的模可以通過大量測量統計得到，相位可以通過干涉實驗恢復。

所以，希爾伯特空間不是什么高深莫測的抽象概念——它只是把我們熟知的向量、長度、投影、正交這些幾何直覺，搬到了一個能容納無限多種可能性的空間里，然后量子力學所有的“反直覺”現象，都變成了幾何學的自然推論。

下一篇文章，我們會更深入地探討“測量” 這一概念以及它在希爾伯特空間中的數學表達，從而嚴謹地推導出“坍縮”這一現象。與疊加態一樣，在希爾伯特空間中，坍縮這一反直覺的現象也將顯得順水推舟。

——The End——

『天文濕刻』 牧夫出品

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那么，希爾伯特本人和量子力學到底什么關系？

答案是：他沒搞量子力學。

大衛·希爾伯特是20世紀初哥廷根的一位數學巨匠。他在1900年巴黎國際數學家大會上提出了著名的23個問題（其中第二個問題包含了對算術系統一致性的證明要求，后來被哥德爾不完全性定理打破）。他主要研究積分方程和無窮維空間，純粹出于數學興趣打造了一套關于“具有內積的完備向量空間”的理論。這套理論后來被冠以他的名字——希爾伯特空間。

然后他做了一件事：把它封存，繼續干活。

二十多年后，物理學家們撞上了量子力學。海森堡搞出了矩陣力學——奇奇怪怪的無窮維矩陣。薛定諤搞出了波動力學——奇奇怪怪的偏微分方程。兩邊互相看不上，誰也不知道誰的框架更根本。

1927年前后，數學家馮·諾依曼介入。他看了看兩邊，說了句讓所有人安靜下來的話：“你們倆說的是一回事。都是希爾伯特空間?！?/p>

從那以后，希爾伯特空間的框架成了量子力學的標準語言。態矢量、內積、算符、本征值、幺正演化——這一整套概念，把量子力學的所有“怪異”都收進了一個嚴格、自洽、可計算的體系里。

Image Credit: jstor.org

牧夫

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