宇宙的拓撲

當我們面對一個未知的事物時，大概我們每個人的腦海中都會浮現出類似這是什么、從哪兒來和到哪兒去的經典哲學三問。比如就宇宙而言，從概念上來說宇是指空間，宙是指時間，宇宙也就泛指時空，而物理上的宇宙則是一切時間和空間及其所含物質和能量的總和。我們也想知道宇宙是什么，從哪兒來和到哪兒去，而我們對宇宙的起源，結構和演化的好奇也就對應上了經典的哲學三問，這也是我們想要從科學上探究的根本問題。

也許在某個滿天繁星的夜晚，你也曾仰望著頭頂的天空向自己發問，宇宙到底有多大啊，它是有限的還是無限的呢，它有邊界么。此時的你或許還不知道什么是所謂的拓撲，但其實你的問題已經是宇宙的拓撲想要探究的問題。

談到拓撲時，我想大家的第一感覺是比較陌生和抽象的。拓撲是根據英文Topology音譯而來的詞，在中文的語境中沒有直接的對應，由于其和中文構詞法的不同，我們也很難一下子就把拓撲和幾何相聯系。而在英文中，Topology本身就包含了位置關系的含義，直接體現了與幾何的聯系。幾何學通常研究的是空間的度量屬性，像距離和曲率等；而拓撲學研究的是幾何對象整體在連續形變（比如拉伸、彎曲和壓縮）下的不變性質，所以拓撲學也被形象地稱為橡皮泥上的幾何學。

圖1：普通圓環帶和莫比烏斯圓環帶的對比（圖由豆包生成）

我們舉兩個常見的例子來說明拓撲的研究對象。第一個例子是莫比烏斯環帶，拿一個通常的圓環帶剪開扭轉一次（旋轉180度）再重新粘上便形成了莫比烏斯環帶。我們如果只是局部去看的話，會發現普通圓環帶和莫比烏斯環帶并無任何差別，但是整體來看的話又有所不同，普通環帶有環內和環外兩個面，而莫比烏斯環帶卻只有一個面。我們只需嘗試沿著莫比烏斯環面繞一圈就會發現又回到了起始點，而在普通環帶內側和外側永遠也無法相交。這種整體的區別正是拓撲學研究的性質，這里便涉及了拓撲性質中的可定向性。第二個例子是咖啡杯和甜甜圈的拓撲等價，從圖2我們可以看到經過一系列的連續變換，咖啡杯變成了甜甜圈，在幾何上咖啡杯和甜甜圈是明顯不同的兩個幾何對象，但在拓撲上來說，它們是等價的，都是只有一個孔洞的幾何體，這個洞在拓撲上也稱為虧格，也是拓撲關注的性質之一。我們也能從這個例子中看出拓撲不關心幾何上的距離等度量概念。

圖2：咖啡杯變換成甜甜圈（圖源網絡）

拓撲研究的是整體幾何的性質，關心的是什么在連續形變下保持不變，像我們剛才說的可定向性以及孔洞數（或者說虧格）都屬于拓撲學研究的范疇，當然還包括連通性、緊致性以及扭結方式等其他的性質。這樣在提到拓撲的時候，我們就有了相對具象的認知，不同于幾何關心距離和曲率等度量，拓撲關心形狀的整體屬性。雖然拓撲學發展于幾何學，但現在拓撲學已發展成為一門獨立的的學科并且已經滲透到各個學科分支中。

那么回到宇宙學，回到我們開頭提到的大多數人內心的疑問，宇宙是不是無限的或者在各個方向都是無限的么？要回答這個問題，我們就需要知道宇宙整體的性質，那么我們就要研究宇宙的拓撲結構，看看宇宙有哪些拓撲性質。通常我們在描述宇宙的整體，推斷宇宙是有限還是無限時，我們只是從它的幾何曲率來考量，比如我們常說的，如果宇宙的幾何曲率是正的，則宇宙整體是一個有限的三維球面（S3）；如果宇宙的幾何曲率是負的，則宇宙整體是一個無限的雙曲空間（H3）；如果宇宙的幾何曲率為零，則宇宙整體是一個無限的平直歐幾里德空間（E3）。也就是說我們僅僅通過曲率便推斷出了宇宙是有限還是無限的，但實際上這個邏輯是不那么正確的，這相當于用局部的幾何曲率量來推斷宇宙的整體拓撲。通過前面對幾何和拓撲的區別的簡單介紹我們知道，幾何量是描述空間的局部特征，對空間的整體或全局的描述需要考慮它的拓撲結構。對于局部相同的幾何，它的整體的拓撲結構卻并不一定相同，而局部不同的幾何，整體上也可能是拓撲等價的。我們可以用一個二維的例子來簡單做個說明，拿一張紙并將其卷成圓柱面，圓柱面的局部依舊是平坦零曲率的，但在整體上它和無限的平面是不同的拓撲，在圓柱面上沿某個方向走一圈會回到原點，它在這個方向上就不再是無限的，或者說有周期性結構。那么對宇宙而言，也可能是平坦但有限的，這要取決于宇宙的拓撲結構。

通常我們把最簡單的結構，即簡單連通，沒有空洞、沒有周期性結構的拓撲稱為平凡的拓撲結構，其它的我們都稱為非平凡的拓撲。我們可以在拓撲空間中選取任意的一個閉合環路，如果存在環路是無法在連續形變下收縮為一點的，我們稱為不可收縮的閉環，比如在含有孔洞的拓撲空間中，選取繞著孔洞一周的閉環，則這個閉環無論如何也無法收縮為一點。不可收縮的閉環就是具有非平凡拓撲結構的標志。

對三維歐幾里德空間E3來說，它有18（E1-E18）種不同的拓撲結構，它們可以看作是將三維歐氏空間（E3）通過周期性邊界條件或對稱粘合得到的宇宙模型或拓撲球面。對三維球面空間S3來說,它有5類不同的拓撲結構，且每一類都包含可數無窮多個成員，而對雙曲空間H3來說，它的拓撲結構更復雜，包含可數無窮多種拓撲結構。我們拿宇宙的幾何曲率為零的情況來說，宇宙未必就是具有平凡拓撲的無限延伸的歐幾里德空間，依然可以有不同的拓撲結構，如果宇宙的整體拓撲等價于三維環面，則宇宙就不是無限的，你只要向宇宙的一邊飛行的足夠遠就會從宇宙的另一邊飛回來。

圖3：CMB中的匹配圓圈對，以立方3-環面（E1）的拓撲結構為例說明了CMB中留下的匹配圓對的印記[1]。

目前還無法從任何第一性原理得到宇宙的拓撲應該是什么。在量子引力背景下，宇宙極有可能最初就具有一種非平凡的拓撲結構。要探究宇宙的拓撲，我們必須從觀測上來實現。標準宇宙學模型通常假設了宇宙的拓撲是平凡的，但如果宇宙具有非平凡的拓撲結構，即存在不可收縮的閉環，它將會在我們的觀測中留下獨特的印記。在這樣的宇宙中，從觀察者自身出發到位于任何其他位置的物體，會存在多條直線路徑。每一條路徑都會產生一個物體的像，把除最短路徑之外的其他路徑的像稱為克隆體，則這些克隆體可能會在宇宙中形成某些特征。如果拓撲尺度足夠小，這些特征就是可觀測的。

宇宙學中最典型的觀測就是我們熟知的宇宙微波背景輻射（CMB）的漲落，非平凡的拓撲結構會在CMB漲落中留下可觀測的印記，因此CMB可以用來作為宇宙拓撲的探針。首先，非平凡拓撲可能會在CMB的溫度漲落中產生匹配圓對。具體來說，對于各向同性的度規，無論宇宙的拓撲的具體結構如何，對每個觀察者而言，CMB光子都被視為從以他們自身為中心的薄球殼（即CMB光子的最后散射面）發射出來。在宇宙的任何時刻，該最后散射面的直徑都與觀察者的位置無關。考慮觀察者最近的克隆體，每當觀察者到該克隆體的距離小于最后散射面的直徑時，觀察者及其克隆體的最后散射面就會在一個圓上相交。觀察者及其克隆體都能看到該圓，但在各自的天空中所處方向不同，從而導致在天空中觀測到一對圓。由于觀察者及其克隆體是同一個人，且進行了相同的測量，因此他們能夠比較該對圓周圍的溫度漲落模式。只要到觀測者最近克隆體的距離接近于最后散射面直徑的近似值，所有此類匹配圓對原則上都應該能被探測到。圖3以立方3-環面（E1）的拓撲結構（即立方體對邊粘合形成的三維環面）為例對此進行了示意。這使得我們能夠探測到非平凡的拓撲結構并重建宇宙的拓撲。此外，非平凡的拓撲結構，拓撲的邊界條件存在旋轉粘貼等，空間在某些特定方向上的關聯性會增強，這也會在大尺度上打破宇宙的統計各向同性（甚至均勻性），這將會對CMB溫度漲落的球諧展開系數的關聯矩陣或者說角功率譜產生影響。在均勻各項同性的宇宙中，由于這些球諧系數是獨立的高斯隨機變量，因此他們的關聯矩陣是對角的。如果打破了均勻各項同性，將會產生非對角的矩陣元。當然還不僅如此，其他的某些CMB反常現象或許也能從非平凡的拓撲宇宙中找到答案。

目前的CMB探測中，我們還未在統計學上發現非平凡拓撲結構存在的顯著證據。未來的CMB觀測如果在偏振和張量模式上取得突破將會進一步幫助我們去探尋宇宙的拓撲。包括未來三維場和星系的巡天也將使我們獲得更多的模式，或許也能幫助我們獲取更多的與宇宙拓撲相關的信息。目前為止，我們還無法得知我們究竟有多大的能力可以探測到宇宙的拓撲，也無法保證宇宙的拓撲結構一定能被探測到。如果我們的宇宙，與最后散射面的直徑相比大得驚人的話，我們似乎很難有機會了解宇宙的拓撲結構。

但也許我們足夠幸運，能在未來的觀測中找到宇宙的拓撲結構的證據。發現宇宙的拓撲將會具有極其重要的意義。

參考文獻

[1]Copi,C.J., et al., 2026, arXiv:2606.24886.

作者簡介

苗海濤，國家天文臺助理研究員，主要研究方向為大尺度結構宇宙學。

來源：中國科學院國家天文臺

編輯：子木

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