準初二，突破數學瓶頸，可以試試這么做

上周寫了給準初一學生的建議：

今天繼續這個系列的準初二版本的。

和初一相比，一方面初二的同學少了很多需要適應的東西，一些真的有比較大學習障礙，自控能力偏弱，學習態度不佳的同學已經能看出明顯的掉隊。如果小學基礎本就一般的話，初一就已經是非常重要的一年。

從這個暑假開始，準初二的同學可以把更多的精力聚焦在學習內容和突破成績瓶頸方面。

同樣地，普娃和有拔尖需求的娃，在數學學習上的側重點理應不同。

前者需要解決每個學期的所有基礎問題，做熟做扎實，然后循序漸進去挑戰一些更加綜合，難度更大的題目。后者則是在保證基礎穩如狗的前提下，不要逃避壓軸題，多花時間在難題的思考與總結上，去形成一套解決常規難題的套路，以及面對沒見過的新題型的方向。

具體到學習內容上，初二和初一又有很大的不同。

上一篇講過，初一主要打的是代數基礎，除了上學期幾個代數章節外，下學期也有不等式、二元一次方程組、實數這幾個純代數章節，以及數軸的延伸與函數的前置知識——平面直角坐標系，依然是代數。

代數是基于一定的規則的運算，是保證基礎的關鍵。因此數學能力相對不強的同學，首先抓的應該是代數，拿到所有基本的，該拿的分。

初二的代數章節主要包括八年級上學期的后半部分，即整式乘法、因式分解和分式，緊接著的還有八年級下學期第一章二次根式。

計算部分，純粹可以熟能生巧，因此數學基礎偏弱的同學，完全能夠通過暑假預習，“笨鳥先飛”，把量堆上去，到時候學起來自然而然就熟練了，進而再去優化方法，去挑戰一些對代數能力要求更高的題目。

而想要突破數學的瓶頸，在初二數學當中，幾何才是更重要的內容。八上的幾何與代數，看似對半分，但重點難點，以及對整個中考的影響大小，幾何才是更重要的部分。

前半個學期我們都會在三角形里遨游，三角形、全等三角形和軸對稱（本質上是等腰和等邊三角形）。初二下會繼續出現勾股定理、平行四邊形這兩個重要的幾何章節。

比知識量更能體現幾何在八年級學習中的重要性的是難題。初一上學期數軸動點的確定性會更強，題目再怎么變也就是那幾類，無非就是初始位置變、速度變、方向變，變化相對可控。

而初二的壓軸題則一定三角形的綜合問題。三角形相關學習和難題將貫穿整個學年，并且其知識儲備和對幾何題的學習和解題感覺會一直延續到初二下學期的勾股與平行四邊形，乃至初三幾何。

這是剛剛過去的八年級越秀區期末數學壓軸題，可以看到其考點的綜合。

第一問平行四邊形的證明，題目底圖是矩形，并且出現不止一個直角三角形，思路上理應圍繞勾股定理展開。同時可以看到，第三問“GH+EH=2GH”這個條件，學生應該想起“截長補短”構造全等或“將軍飲馬”等和“線段轉換”相關的內容，這些內容其實是出現在八上那幾章三角形里面的，是整個八年級壓軸非常常見的考點。

但幾何卻是另一個要求。幾何除了要求同學們記熟判定與性質之外，其題目變化多端，聯系緊密，邏輯要求高。

給你一道計算題，你可能算錯，你可能粗心，但你肯定知道題目要你干啥。但給你一道幾何題，你可能就不知道怎么證，是通知所學的哪些知識去做這道題——一道題可以涉及多個知識。

不少學生學習比較死板，缺乏對不同知識之間關聯程度的思考，如果自己校內或校外的老師在教學過程中是照本宣科，割裂知識之間聯系的， 學生容易陷入“大腦 宕機 ”的境地，面對題目腦子一片空白，不知道從何入手。

要突破這層瓶頸，就不能只是一味刷題了。有一些方法，也許能幫助大家。

首先，你要構建起一顆顆“樹”，要明白大多數知識之間不是獨立存在的。

比如初二下學期我們會開始接觸一次函數。一次函數會涉及一元一次和二元一次方程，會涉及不等式，它是深度的七下平面直角坐標系的延伸，而后者的前置知識是七上的數軸問題……你要看到，函數不過是加入了新配方的舊知識，是一種延伸。

再比如八下，仔細琢磨一下，為什么課本安排按照的是二次根式——勾股定理——四邊形這個順序？因為環環相扣，勾股需要用到二次根式的計算，而特殊平行四邊形里又有大量的直角三角形，則必然會出現勾股相關知識，當然還有八上的三角形。

其次，公式定理不應死記硬背

死記硬背只能解決死記硬背的問題，但是現在出題靈活度比不是過去能比的，酒瓶換新酒很多同學就看不出來。

全等的五個判定，絕大多數學生都會記得。但你有想過為什么“SAS”可以，而"SSA”卻不行嗎？

勾股定理的多種證明方式，課本出現過，很多考題的背景知識里其實也有，你有弄明白嗎？如果你推倒過，弄明白了，你就知道“三垂直模型”這個初中數學經典?？寄Ｐ褪莻€什么東西，很多題目你一看就會知道它很可能靠這個。但有的同學，卻從頭到尾只是知道那一條公式，就覺得自己掌握了勾股定理。

還有函數“一次函數與方程（組）、不等式”這一節書，你知道為什么起這么一個標題嗎？它們有什么聯系？你會看圖嗎？要知道，這是任何一份一次函數考題里都必然會出現的考點，會看圖就是秒做，幾乎不用計算的送分題。

“將軍飲馬”、以及初三出現更多的“胡不歸”，不要只停留在這些定理的名稱，要真正落到實處，怎么作線，題目會有什么變化。

第三，把題目條件和所學知識或方法關聯起來。

幾何輔助線有時候確實是玄學，某些題目要“試”，但這不是你擺爛的理由，因為你需要培養自己有思路，要有想法，看到題目的條件、圖的樣子要合理懷疑題目可能考我這個那個，建立起你自己的解題鏈路。比如：

中點可能指向倍長中線、中位線，直角三角形斜邊上的中線等，視乎條件選擇；

題目告訴你出現了角平分線，一來給相等的角標上同樣的符號，找題目還能否推導出其他相等角，進而可能出現等腰、平行的推論，二來反應到可能涉及“角平分線的性質”，則應該考慮過角平分線上的點做垂線；

含有幾何題里面的一些經典數字，如 √2、 √3等這些玩意已出現，特殊角的指向性就很明顯，則理應迅速反應出來題目可能存在的特殊角直角三角形的三邊關系；

還包括和各種你能喊得出來，上面提到過或者沒提到過的定理和方法，你要在一次又一次看到題目的時候，首先反應過來“題目要考我這個”，然后依據題目條件嘗試作輔助線展開證明，或者設未知數展開計算等等。

做題重要嗎？重要的！沒有量變怎么會有質變。部分同學上課也是認真的，也會去思考，但只停留在思考而不是動筆層面，聽懂不代表會做，更不代表拿到分，尤其是現在題目變化程度是如此地大，日常做題免不了。

但另一方面，做題并不在量，而在質。你有那么多的學科要學習，那么多的學習任務要完成，數學不是唯一的。

如果你本身就在一所不錯的學校里面，學校給的難題量和難題專題與評講時間已經足夠，那么只要老師安排的能保質完成就很好了。如果你學校講得不多，你每周都應該抽出時間去完成3~5道壓軸題的練習，每道限時在30分鐘左右，任務包括拿到新題、思考并盡可能寫下思路和過程、對答案并復盤（復盤這道題考什么，自己卡在哪個點，回憶這個考點出現頻率）。

如果你基礎薄弱，那沒有捷徑，從計算開始，從基礎開始，提前預習，調整心態不要害怕不要逃避，笨鳥先飛。

如果你基礎問題不大但卡在瓶頸上無法更上一層樓，那首先要有一個突破的決心，但同時也急不來。不妨按照我上面給的建議，但一定要堅持，堅持再堅持，同時不斷優化自己的思維和解題方式。

當然，如果有機會，歡迎大家直接過來跟跟我的課，除了數學外，區老師工作室還開設有初高中的數理化，有和我一樣優秀的老師，詳情可以咨詢叮當老師。