一本“重新定義證明寫作藝術(shù)”之作，帶你領(lǐng)略數(shù)學(xué)的“啊哈！”頓悟時(shí)刻

你是否曾好奇，數(shù)學(xué)家是如何思考的？他們?nèi)绾螐募姺睆?fù)雜的表象中，洞察到那個(gè)簡(jiǎn)潔而優(yōu)雅的數(shù)學(xué)真理？

小E為你帶來(lái)一部被美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)盛贊為“重新定義證明寫作藝術(shù)”的開(kāi)創(chuàng)性教材——《數(shù)學(xué)證明的藝術(shù)》。這本書(shū)榮獲2024年美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)“丹尼爾·索羅作家獎(jiǎng)”，是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域一部真正意義上的杰作。

在大多數(shù)人印象中，數(shù)學(xué)證明或許是高中幾何課上那刻板的兩列格式，或是充滿晦澀符號(hào)、令人望而生畏的邏輯鏈條。但在這本書(shū)中，作者喬爾·大衛(wèi)·哈姆金斯向我們展示了證明的另一重面目：它不是冷冰冰的邏輯推演，而是一場(chǎng)通往數(shù)學(xué)洞見(jiàn)的冒險(xiǎn)之旅。

正如加州大學(xué)數(shù)學(xué)教授約翰·貝茲所言：“定理陳述只是一本旅行手冊(cè)，各種不同的證明才是真實(shí)的冒險(xiǎn)。”本書(shū)精選數(shù)論、組合學(xué)、圖論、博弈論、幾何等多個(gè)數(shù)學(xué)主題中引人入勝的定理，用開(kāi)放散文式的優(yōu)美筆觸，呈現(xiàn)了一個(gè)個(gè)輕松有趣的初等證明。每一道證明，都是一次讓數(shù)學(xué)視野豁然開(kāi)朗的“啊哈！”頓悟時(shí)刻。

讓我們用離散數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)小小的數(shù)學(xué)證明，來(lái)走進(jìn)《數(shù)學(xué)證明的藝術(shù)》，讓我們一起探索：證明，何以成為數(shù)學(xué)的通貨，又何以成為一門值得追求的藝術(shù)。

被指的次數(shù)多于指向的次數(shù)

請(qǐng)你和幾個(gè)朋友圍成一圈，互相以不同方式指向?qū)Ψ健Ｃ總€(gè)人可隨意指向一個(gè)或多個(gè)其他人，或指向自己，或誰(shuí)也不指。如果你想指向幾個(gè)人，可以用雙手、不同的手指，甚至用腳來(lái)指。假設(shè)可以重復(fù)指向同一個(gè)人、幾個(gè)人，或者自己——盡情發(fā)揮吧！可能有些人指得很多，有些人指得較少，被指的情況也是如此。現(xiàn)在，我對(duì)你們互相指向的模式能否達(dá)到一個(gè)特定特征感到好奇。

問(wèn)題

能否安排每個(gè)人總體上被指的次數(shù)比指向某人的次數(shù)多？

換句話說(shuō)，能否讓我們所有人被指向的次數(shù)都嚴(yán)格多于我們指向某人的次數(shù)？在繼續(xù)閱讀之前，請(qǐng)先自己思考這個(gè)問(wèn)題。

定理

答案是否定的，不可能有一個(gè)互相指人的非空有限集，使得每個(gè)人被指的次數(shù)都多于指向某人的次數(shù)。

讓我們給出幾個(gè)不同的證明。

第一種證明假設(shè)有一個(gè)有限的人群互相指向?qū)Ψ交蜃约骸?duì)于每個(gè)人，令“被指得分”是別人指向自己的次數(shù)，“指向得分”是自己指向某人的次數(shù)，這兩個(gè)得分實(shí)例包括所有多次指向和指向自己的情況。令A(yù)為所有被指得分之和，P為所有指向得分之和。我主張P=A。其原因在于，從被指方的角度，也就是手指的另一端來(lái)看，每次有人指向某人，同時(shí)就有人被指。每個(gè)指向的實(shí)例都會(huì)使P和A同時(shí)增加1。然而，如果每個(gè)人被指的次數(shù)都多于指向某人的次數(shù)，那么就會(huì)出現(xiàn)P

接下來(lái)，我們用歸納法證明這個(gè)定理。

第二種證明我們通過(guò)對(duì)人數(shù)n運(yùn)用歸納法來(lái)證明這個(gè)定理，即n個(gè)人組成的集合不能構(gòu)成反例。該說(shuō)法對(duì)n=1個(gè)人成立，因?yàn)檫@個(gè)人只能指向自己，如果她這樣做了k次，那么她指向和被指的次數(shù)將同樣多。假設(shè)該陳述對(duì)所有規(guī)模為n的群體都成立，考察一個(gè)規(guī)模為n+1的群體。假設(shè)我們對(duì)這n+1人做出某種安排，使其中每個(gè)人被指的次數(shù)都多于指向某人的次數(shù)。我們稱其中一個(gè)人為“霍雷肖”。只看霍雷肖，則他被指的次數(shù)多于他指向某人的次數(shù)。因此，我們可以簡(jiǎn)單地將霍雷肖從人群中移除，并讓原本指向霍雷肖的人轉(zhuǎn)而指向霍雷肖之前指向的對(duì)象。因?yàn)榛衾仔け恢傅拇螖?shù)多于他指向某人的次數(shù)，所以有足夠多原本指向霍雷肖的人接替他的指向任務(wù)。經(jīng)過(guò)這樣重新安排，仍然指向霍雷肖原來(lái)位置的人都可以放下手指。通過(guò)這種方式，我們得到了一個(gè)新的配置，人數(shù)減少了一個(gè)，因此大小為n，但仍然滿足每個(gè)剩下的人被指的次數(shù)多于指向某人。這與歸納假設(shè)相矛盾，即沒(méi)有大小為n的這樣的群體，因此我們完成了歸納步驟。所以，任何有限大小的這樣的人群都是不可能存在的。

在第三種證明中，我們采用擬人化的視角，這樣更容易看到某個(gè)數(shù)學(xué)特征的真理。

第三種證明假設(shè)我們屬于一個(gè)彼此互指的有限人群，其中每個(gè)人被指的次數(shù)都多于指向某人的次數(shù)。假設(shè)每個(gè)人每指一次，就給被指者1美元；同時(shí)假設(shè)每個(gè)人都有足夠的現(xiàn)金來(lái)完成這個(gè)操作。值得注意的是，在支付之后，由于每個(gè)人被指的次數(shù)都多于指向某人的次數(shù)，所以每個(gè)人得到的錢都比他付出去的多。我們賺錢了！我們可以再做一次，賺更多的錢，一次又一次，想做多少次就做多少次。只要像這樣交換，我們就能賺到數(shù)百萬(wàn)美元。這顯然是不可能的，因?yàn)樵撊后w內(nèi)部的金錢交換不會(huì)改變?nèi)后w的總財(cái)富，所以不可能有這樣的指向安排。

我發(fā)現(xiàn)第三種證明非常清晰，雖然我承認(rèn)如果把指向得分和被指得分看作以美元計(jì)算的話，它本質(zhì)上與第一種證明相似。這種清晰性或許源于它用更容易理解的東西——一個(gè)群體無(wú)法僅通過(guò)在內(nèi)部交換金錢而獲得更多金錢這一基本事實(shí)，代替了第一種證明中抽象的數(shù)量守恒論證。這種擬人化的論證或隱喻往往能出人意料地簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)思想。我們利用人類與生俱來(lái)的經(jīng)驗(yàn)，使原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題更易理解。我們賺錢不易這一經(jīng)驗(yàn)，讓第三個(gè)論證的最終結(jié)論顯而易見(jiàn)。

本文節(jié)選自《數(shù)學(xué)證明的藝術(shù)》第五章 離散數(shù)學(xué)

《數(shù)學(xué)證明的藝術(shù)》

[美] 喬爾·大衛(wèi)·哈姆金斯 著

商周 譯

978-7-5760-6432-2

88.00元

華東師范大學(xué)出版社

榮獲2024年美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)“丹尼爾·索羅作家獎(jiǎng)”，

一部被盛贊為“重新定義證明寫作藝術(shù)”的開(kāi)創(chuàng)性教材，

幫助培養(yǎng)數(shù)學(xué)洞察力和數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，輕松掌握數(shù)學(xué)證明寫作技巧。

作者精選一系列引人入勝的數(shù)學(xué)定理，呈現(xiàn)了輕松有趣的初等證明，涵蓋數(shù)論、組合學(xué)、圖論、博弈論、幾何、無(wú)窮、序理論和實(shí)分析等多個(gè)數(shù)學(xué)主題。書(shū)中不僅有大量生動(dòng)的圖例和深刻的論證，還為每章配備習(xí)題，方便讀者自學(xué)與練習(xí)。本書(shū)有助于讀者養(yǎng)成良好的證明寫作習(xí)慣，精進(jìn)證明寫作技巧，同時(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)洞察力和理解力，既是優(yōu)秀的教材，也適合作為數(shù)學(xué)愛(ài)好者的課外讀物。

作者簡(jiǎn)介

喬爾·大衛(wèi)·哈姆金斯（Joel David Hamkins），美國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)家，2018—2022年任牛津大學(xué)邏輯學(xué)教授、彼得·斯特勞森爵士哲學(xué)研究員；2022年成為美國(guó)圣母大學(xué)數(shù)學(xué)和哲學(xué)教授。專門研究無(wú)窮數(shù)學(xué)和哲學(xué)，在數(shù)理邏輯和哲學(xué)邏輯、集合論和集合論哲學(xué)、可計(jì)算理論和群論方面作出了重要貢獻(xiàn)。

哈姆金斯曾獲數(shù)學(xué)系杰出教學(xué)獎(jiǎng)，撰寫的“兒童數(shù)學(xué)”系列博客文章廣受好評(píng)。2024年，他因本書(shū)獲得美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)頒發(fā)的丹尼爾·索羅作家獎(jiǎng)(Daniel Solow Author's Award)。

啟蒙數(shù)學(xué)文化譯叢

汪宇 叢書(shū)主編

叢書(shū)書(shū)目：

《彩虹：從神話到數(shù)學(xué)》

《微積分概念發(fā)展史（修訂版）》

《數(shù)學(xué)的歷程》

《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（三卷本）》

《數(shù)學(xué)：科學(xué)的女王和仆人》

《數(shù)學(xué)思想簡(jiǎn)史》

《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》

《精彩的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤》

《數(shù)學(xué)證明的藝術(shù)》

制作：劉曉帆

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