【解題研究】尋找失落的線——構造手拉手模型

【解題研究】尋找失落的線——構造手拉手模型

在解幾何壓軸題的過程中，“試線”是常事，即嘗試作輔助線，未必會一次成功，但每次嘗試前，需要有目的，和下棋一樣，不是胡亂落子，而是深思熟慮后再動手。我們在課堂上給學生講解題目思路的時候，也應該采用同樣的“試線”過程，畢竟一道略有思維難度的題目，一眼就看出輔助線在哪，未免太假，因此學生感興趣的不僅是題目的解法，而是“你是如何想到的？”

題目

在等邊△ABC中，BD是AC邊上的高，E為邊BD上一動點，連接AE，將射線AE繞點A逆時針旋轉60°交BC的延長線于點F.

(1)如圖1，當∠EAC=30°時，求證：AF=6DE；

(2)如圖2，過E作EG⊥AF于點G，若BC=2CF，用等式表示EG與FG的數量關系，并證明.

解析：

01

(1)在條件∠EAC=30°加持下，圖1中全是特殊直角三角形，例如△ABD、△ADE、△ABF，它們均含30°角，還得到含120°角的等腰△ABE，于是AE=2DE，AB=√3AE，AF=√3AB，結合起來，容易得到AF=6DE；

02

(2)有很多學生在第一時間連接了EF，并觀察△EFG可能是個特殊直角三角形，如下圖：

對于△AEF來講，確實存在一個特殊角，∠FAE=60°，但想借這個條件得到∠AEF=90°卻遇到困難，但并不意味著猜想的數量關系不對，我們繼續改進思路.

由共頂點的兩個60°角，且還有等邊三角形條件，我們是很容易構造出全等三角形的，至少有兩種方式.

方法一，如下圖：

延長AE至點M，使AM=AF，連接BM，這樣可得到△ABM≌△ACF，于是BM=CF，而BC=2CF，且點D為AC中點，因此可推導出BM=DA，再由∠ACF=120°得∠ABM=120°，進而AD∥BM，借助這一組平行線，我們又能夠得到新的全等三角形，如下圖：

此時我們可證明AE=ME，即點E是AM中點，再連接FM，對于△AFM而言，這是一個等邊三角形，由三線合一可知EF⊥AM，在Rt△AEF中，求得∠AFE=30°，最后轉到Rt△EFG中，得到FG=√3EG.

方法二，如下圖：

在AF上截取AH=AE即可，這樣可得△ABE≌△ACH，所以∠ABE=∠ACH=30°，這樣∠BCH=90°，得到Rt△FCH；

顯然思維不能僅止于此，我們利用條件BC=2CF，可推導AD=CF，它們恰好又位于另一對三角形中，它們不太容易被一眼看出，如下圖：

在這一對三角形中，我們除了AD=CF這個已經推導出來的條件之外，還有∠FCH=∠ADE=90°，繼續觀察∠DAE，它可以寫成60°-∠FAC，而對于∠F，它是△ACF的一個內角，而△ACF的外角∠ACB=60°，因此∠F=60°-∠FAC，所以我們得到了全等的最后一個條件，∠DAE=∠F，可證△ADE≌△FCH；

利用這些全等三角形，我們可進行數量關系推理，在Rt△AEG中，EG=√3AG，而AE=2AG，且AE=FH，于是EH=2AG=2GH，可得FG=3GH，EG=√3AG=√3GH，最后可推導出FG=√3EG.

解題思考

從學生答題情況來看，多數學生想到方法一中的連接EF，試圖證明△EFG是一個含30°角的直角三角形，但是在構造手拉手模型的時候，選擇的是中線倍長，即延長AE至點M，使EM=AE，這就令構造出來的△ABM與△ACF缺少全等的條件，學生認為中線倍長也是常見輔助線作法，但沒理解中線倍長使用場景是方便構造“X”型全等，對手拉手模型幫助并不大，而反過來，構造AM=AF之后，不僅構造出全等，還得到一個新的等邊三角形，更有利于后面線段數量關系的轉化.

本題中的手拉手模型，向外延長或向內截取都可以，但向內截取時，第二對全等三角形不容易看出來，方法各有優劣，但都考察了學生對圖形的觀察和理解.

在解幾何壓軸題的時候，遇到困難是很正常的，要從困難中突破，需要細致觀察習慣以及扎實的圖形理解能力，習慣和能力均來自于我們平時的數學課堂，在部分數學課堂上，老師明顯給予學生的時間不足，例題講解的時候，很快給出解題思路，學生還未來得及深入思考便被打斷，這樣的講題方式，一節課講再多題目，學生也只能機械記憶，作為數學思維的培養者，類似我們農業中的作物，得給時間才能看到成長，當我們在課堂上被教學進度、課件PPT綁架時，其實就是在拔苗助長.

多給學生思考的空間，多一點耐心等待思維的生長.