為了少畫一個交叉，芯片工程師全在脫發(fā)；歐拉公式：別掙扎了，上限我早就算死了

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讓我們首先引入這個故事的主角——歐拉公式：

這個結構看似簡單的公式，實質上高度濃縮了三維實體（即多面體，Polyhedra）的核心幾何幾何屬性。這類空間結構在過去4000多年里始終吸引著數學家的目光。事實上更深層次地講，歐拉公式揭示了關于形狀與空間本質的深刻規(guī)律。該公式以瑞士著名數學家萊昂納德·歐拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）的名字命名。

什么是多面體？

在探討歐拉公式的本質之前，我們需要明確多面體的數學定義。多面體是一種三維實體，其表面由有限個平坦的面（Face）圍成，而這些面的邊界必須是平直的線段。這里的每一個面實際上都是一個多邊形（Polygon）——即在二維平面上由若干條直線段首尾相連構成的封閉圖形。

圖1：常見的三角形和正方形均屬多邊形，但多邊形同樣可以具備右圖所示的不規(guī)則形態(tài)。

多邊形的定義有著嚴格的限制——其內部不允許存在任何孔洞，正如下圖中所示：左側的圖形是一個多邊形，但右邊的并不是。

圖2：左側圖形屬于合規(guī)的多邊形；右側圖形則不然，因為其中間包含一個“孔洞”。

若一個多邊形的所有邊長均相等，且所有內角也均相等，則稱之為正多邊形（Regular Polygon）。例如圖1中的三角形、正方形，以及圖2中的五邊形都是正多邊形。

當我們將維度向上拓展一級，便得到了多面體。它是一個封閉的三維實體，表面由若干多邊形面構成。我們將這些面的邊界稱為邊（Edge）——每兩條邊恰好由兩個面共用；位于每個面角落的部分被稱為頂點（Vertex）——在標準多面體中，每個頂點至少連接著三個不同的面。為了說明這一點，以下是兩個著名多面體的例子。

圖3：左側為常見的正方體，右側為正二十面體。多面體由多邊形的面構成，面的邊界稱為“邊”，面與面的交角（頂點）稱為“頂點”。

此外，一個真正的多面體必須是一個骨肉相連的連續(xù)整體。它不能由諸如兩個或者多個獨立的幾何體僅通過一條邊或一個頂點強行連接而成。因此，以下兩種情形均不屬于真正意義上的多面體：

圖4： 此類對象不屬于多面體，因為它們由兩個獨立的幾何部分構成，且僅僅交于一條邊（如左圖）或一個頂點（如右圖）。

歐拉公式揭示了什么？

現在，我們已經準備好來看看歐拉公式究竟解釋什么有關多面體的秘密了。觀察一個多面體（例如上述的正方體或正二十面體），統(tǒng)計其頂點數量，并將該數值記為V。以正方體為例，它擁有8個頂點，即V=8。其次，統(tǒng)計其邊的數量，并將該數值記為E。正方體擁有12條邊，即E=12。最后，統(tǒng)計其面的數量，并將該數值記為F。在正方體的例子中F=6。現在，歐拉公式告訴我們：

用文字表述也就是：多面體的頂點數，減去邊數，再加上面數，其結果恒等于2。對于正方體，我們已經知道V=8、E=12且F=6。因此：

這與公式的預言完全吻合。我們再來看看正二十面體，可以發(fā)現它擁有12個頂點（V=12）、30條邊（E=30）和20個面（F=20）。代入公式可得：

同樣和我們先前所預料的完全一致。

歐拉公式對于正方體和正二十面體成立。事實上，美妙得令人驚嘆的是，歐拉公式對幾乎所有多面體都普遍適用。唯一使該規(guī)律失效的特例，是那些內部包含貫穿孔洞的幾何體（如下圖所示）。

圖5： 該多面體內部存在一個貫穿的孔洞。在這種情況下，歐拉公式不再適用。

在幾何學中，此類帶有孔洞的多面體被稱為非簡單多面體（non-simple）；與之相對，沒有孔洞的則稱為簡單多面體。雖然非簡單多面體并不符合常規(guī)直覺，但它們在現實中大量存在，我們也不能回避歐拉公式對它們均失效的事實。然而，即使是這一尷尬的反常現象，如今已演變?yōu)橐婚T關于空間與拓撲結構的全新理論。

歐拉公式的理論威力

一旦數學家發(fā)現某個“不變量”（即對某一類對象普遍成立的恒等屬性），他們就知道自己找到寶了。學者們可以借此推斷單個或者一整類幾何體可能具備的性質。例如，歐拉公式可以告訴我們：世界上根本不存在恰好擁有7條邊的簡單多面體。 你不必找來硬紙板、剪刀和膠水親手操作才能弄懂這件事，歐拉公式就是你所需要的一切。有關“不存在7條邊多面體”的論證過程其實非常簡單，感興趣的讀者可以自己嘗試一下。（譯者注：可以試著找一些簡單多面體頂點、邊和面之間的數學關系，然后和歐拉公式結合導出矛盾）

同理，我們也可以證明：絕對不存在一個剛好擁有10個面和17個頂點的簡單多面體。 下圖所示的八邊柱底面為八邊形，它確實有10個面，但是頂點的數量只有16個。底面為九邊形的邊錐同樣有10個面，但其頂點僅有10個。歐拉公式從代數層面上鎖死了創(chuàng)造“10面17頂”多面體的可能性。

圖6： 這兩種多面體雖然均由10個面構成，但其頂點數均無法達到17個。

正是基于上面這種推導思考，我們得以一瞥或許是數學中最美的發(fā)現。這一發(fā)現和正多面體有關，這是一類以古希臘哲學家柏拉圖命名的知名多面體（譯者注：柏拉圖立體），它們最早出現在柏拉圖的著作中。

圖7： 柏拉圖立體。自左至右依次為：擁有4個面的正四面體、6個面的正方體、8個面的正八面體、12個面的正十二面體，以及20個面的正二十面體。

盡管只需看上面的實例，就能立刻感受到它們勻稱優(yōu)美的特質，但想用文字精準定義卻并不簡單。事實上，柏拉圖立體由兩大核心特征界定。

第一，柏拉圖立體不存在凸起尖角或凹陷，整體形態(tài)規(guī)整飽滿。換句話說：在柏拉圖立體內部任取兩點并相連，兩點間的整條線段都完全包含在立體內部 —— 這類立體就是我們所說的凸多面體（convex）。

第二個特征稱為正規(guī)性（regularity）：立體所有面都是邊數完全相同的正多邊形，且立體每一個頂點處交匯的邊數量都相等。

正方體是一種正多面體，因為其所有面均為正方形，且每個頂點均連接3條邊。讀者可以自行驗證，正四面體、正八面體、正十二面體和正二十面體同樣完全滿足這兩個特征。

此刻你或許會好奇，一共存在多少種不同的柏拉圖立體。自立方體與正四面體被發(fā)現以來，數學家們便深深著迷于柏拉圖立體勻稱對稱的美感，不斷尋找新的種類，并試圖完整列舉出所有類型。這時歐拉公式就能派上用場。我們可以借助它，推算正多面體的面、邊、頂點數量所有可能的組合。最終你會發(fā)現，實際上僅有五種不同的正凸多面體！這一點十分出人意料：畢竟正多邊形的邊數可以無限多，為何正多面體的種類卻存在上限？五種柏拉圖立體：正四面體、立方體、正八面體、正十二面體與正二十面體分別如上圖所示。

嚴格的邏輯證明

對各種不同的簡單多面體進行嘗試，會讓你確信歐拉公式總是成立的。但對于數學家來說，這遠遠不夠。你需要的是“證明”——一種基于無懈可擊的邏輯推理，證明該公式對所有已知和未知的多面體均絕對成立。

盡管該公式以歐拉命名，但首個完整證明實際上并非由歐拉得出。它的發(fā)展歷程錯綜復雜，跨越兩百年時光，多位數學巨匠都參與其中，包括勒內·笛卡爾（René Descartes，1596–1650）、歐拉本人、阿德里安-馬里·勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752–1833）以及奧古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789–1857）。

值得一提的是，這些數學家證明該公式采用的思路截然不同，每一種證法都極具巧思與獨到見解。不過，這里我想為大家簡單介紹柯西的證明思路。他的證明分為好幾個階段與步驟，第一步是構造一種叫做網絡圖的圖形結構。

勒內·笛卡爾（1596–1650）、阿德里安-馬里·勒讓德（1752–1833）和奧古斯丁-路易·柯西（1789–1857）的畫像

階段一：多面體的平面網絡化

想象你手中拿著一個多面體，讓其中一個面朝上。接下來設想只“去掉”這個朝上的面，保留它周邊所有的邊和頂點，這樣就得到一個敞口的 “盒狀結構”。然后想象抓住這個結構，把缺失那個面的四條邊向四周拉開。只要拉得足夠開，這個立體結構就能攤平，變成平面上由點和線段組成的網絡圖。下方一系列圖示以立方體為例，演示了這一過程。

圖8： 將正方體轉化為平面網絡的過程。

從上圖可以看到，原多面體的每一個面，都會轉化為網絡圖中被邊包圍的一塊區(qū)域，我們將其稱作網絡圖的面，也就是網絡圖的內部面。除此之外還有一個外部面，即網絡圖外圍的整片區(qū)域，它正好對應我們從多面體上移除的那個面。因此，該網絡圖包含頂點、直線邊以及多邊形面。

圖9： 平面網絡同樣由面、邊以及頂點組成。

在構造網絡圖的過程中，頂點既沒有新增也沒有減少，因此網絡圖的頂點數量和原多面體相等，記作V；網絡圖的邊的數量也和多面體一致，記作E。再看面：多面體除了被去掉的那個面之外，其余所有面都變成了網絡圖內部的區(qū)域；而那個被”去掉”的面，則對應環(huán)繞網絡圖四周、向外無限延伸的外部面。因此若把外部面算在內，網絡圖一共有F個面。這就意味著，我們完全可以借助網絡圖（而非原多面體）來計算V-E+F的值。接下來我們將對網絡圖做變形處理，簡化該式的計算。

階段二：網絡的拓撲變換

我們可以對網絡圖執(zhí)行三類操作，下面將分三步介紹這些操作。

步驟1：我們先觀察網絡圖里的多邊形面，并提出一個問題：是否存在邊數大于三的面？如果有，就像下圖那樣畫出一條對角線，把這個面分割成兩個更小的面。

圖10： 區(qū)域剖分（分割面）。

我們對選定的面重復上面的操作，直到它完全被分割成若干個三角形。

圖11： 最終整個網絡將全部由三角形面構成。

倘若還有其他邊數大于三的面，我們就對該面重復第一步操作，直至它也被拆分為多個三角形面。按照這種方法，我們能把所有面全都分割成三角形，最終得到一張全新網絡圖，它所有的面均為三角形。下文將以立方體展開得到的網絡圖為例，演示這一變換過程。

圖12： 正方體網絡在持續(xù)執(zhí)行“步驟1”后的演變狀態(tài)。

我們回到第一步，觀察僅執(zhí)行一次第一步操作后得到的網絡圖。繪制一條對角線會新增一條邊；原來的一個面被拆成兩個面，因此面的數量增加 1，而頂點總數保持不變。

變換后的網絡圖頂點數仍為V，邊數變?yōu)镋+1，面數變?yōu)镕+1。那么執(zhí)行一次第一步操作后，V-E+F的值會發(fā)生怎樣的變化？結合V,E,F各自的增減情況可以得到，變換后的表達式為V-(E+1)+(F+1)。接下來我們對該式化簡：

由此可知，完成第一步操作后，V-E+F的數值保持不變！由于每執(zhí)行一次第一步操作，V-E+F的值都不會發(fā)生改變，因此當我們得到一張全部由三角形構成的新網絡圖時，該式的值依舊不變。下方表格展示了對立方體展開所得網絡圖做變換時，V-E+F的變化規(guī)律。

接下來介紹第二步與第三步操作。這兩步會從網絡圖的外圍逐層去掉面，使面的數量逐步減少。一旦開始該操作，這張網絡圖大概率不再對應某個多面體，但網絡圖最重要的性質依然保持不變。

步驟二：我們先檢查網絡圖是否存在這樣一個面：它與外部面僅共用一條邊。如果存在，就刪掉這條公共邊，從而移除該面。原本被這個面覆蓋的區(qū)域會并入外部面，網絡圖也隨之形成新的外邊界。下方示意圖以立方體轉化得到的網絡圖為例演示該操作。

圖13：移除僅含一條外部邊界邊的面。

設執(zhí)行第二步之前，這張全由三角形構成的網絡圖的頂點、邊、面數量分別為V,E,F。我們來分析單次第二步操作后，V-E+F的數值變化。操作中我們去掉了一條邊，新網絡圖的邊數變?yōu)镋-1；頂點一點也沒變，總數仍為 V；被移除的面和外部面合并，面數變?yōu)镕-1。因此變換后的表達式為V-(E-1)+(F-1)，化簡如下：

V-E+F再一次保持不變。

步驟3：我們檢查網絡圖中是否存在這樣一個面：它與外部面共用兩條邊。若存在，就移除這兩條公共邊以及兩條邊相交的公共頂點，以此消去該面；此時原屬于這個面的區(qū)域會再次并入外部面。下圖以立方體衍生網絡圖（完成兩次第二步操作后的形態(tài)）為例演示該操作。

圖14：移除含兩條外部邊界邊的面。

和之前的做法一致，我們仍用V,E,F表示操作前網絡圖的頂點數、邊數和面數。現在來看第三步操作會對V-E+F的取值產生怎樣的影響：我們移除了一個頂點，也就是兩條邊相交的公共頂點，因此頂點數變?yōu)閂-1；我們去掉了兩條邊，邊數變?yōu)镋-2；最后，我們選中的這個面與外部面合并，面數變?yōu)镕-1。因此變換后的式子應為(V-1)-(E-2)+(F-1)，化簡如下：

V-E+F的數值再次成功保持了守恒。

該證明的關鍵在于反復執(zhí)行第二步與第三步操作，最終得到一個結構極其簡單的網絡圖。回顧前文，我們曾多次使用第一步操作，得到一個所有面均為三角形的網絡圖。這種網絡圖中一定存在某個面，它與外部面恰好共用一條邊，我們就選取這個面執(zhí)行第二步操作。我們可以依次對多個面重復第二步，直到出現一個與外部面共用兩條邊的面，再針對該面執(zhí)行第三步。持續(xù)交替進行第二步和第三步，以這種方式不斷消去外圍的面。

進行上述操作時必須遵守兩條重要規(guī)則。第一，只要可以執(zhí)行第三步，就優(yōu)先執(zhí)行第三步；如果同時能選擇第二步和第三步，必須選用第三步。若不遵守這條規(guī)則，網絡圖可能會分裂成互不相連的若干部分。第二，每次只能移除一個面。如果一次性移除多個面，就會出現孤立向外延伸到外部面的邊，網絡圖將不再是規(guī)范有效的網絡圖。下面我們以立方體對應的網絡圖為例，承接上一張示意圖的狀態(tài)連續(xù)執(zhí)行多輪操作，完整演示整個變換流程。

圖15： 對正方體拓撲網絡執(zhí)行消減算法的完整序列。

現在我們可以思考兩個問題：這種不斷移除面的操作是否會終止？如果會終止，最后會剩下什么？稍加思考就能明白，該過程必然會停下 —— 可供移除的面與邊的數量都是有限的；當操作停止時，網絡圖只會剩下一個單獨的三角形。文中配有若干示意圖，完整演示由正十二面體轉化而來的網絡圖的全部變換流程（前文曾介紹過，正十二面體是五種柏拉圖立體之一）。

現在觀察最終網絡圖（僅剩下一個三角形）的頂點、邊、面數量：頂點數V=3，邊數E=3，面數F=2—— 計算時仍需要把外部面算進去。接下來我們計算：

從完整多面體出發(fā)，到最后化簡得到單個三角形的全過程里，V-E+F的數值始終保持不變。既然最終的網絡圖滿足V-E+F=2，那么原多面體自身也一定滿足V-E+F=2！至此證明完畢！

多面體之外

最后，我將介紹歐拉公式在多面體范疇之外衍生出的若干推論。先從一個十分貼近生活的例子說起：計算機芯片。計算機芯片本質是集成電路，由數百萬個微型元器件構成，元器件之間通過數百萬條導電線路相連。這種結構和前文討論的網絡圖十分相似，但有一點區(qū)別：通常無法將這些線路（也就是圖中的邊）平鋪在一個平面上而不出現交叉。線路交叉是電路設計中的缺陷，必須盡可能減少交叉數量，可想要規(guī)劃出合理布線方案絕非易事。而蘊含網絡圖相關規(guī)律的多面體歐拉公式，是求解這類布線問題不可或缺的理論基礎。

接下來我們把視野放大至宏大尺度：我們所處的宇宙。時至今日，宇宙學家仍未就宇宙的確切幾何形態(tài)達成共識。拓撲學 —— 一門專門研究形體與空間的數學分支，是他們開展相關研究的核心工具。19 世紀數學家發(fā)現，三維空間內所有曲面的核心特征都由其上孔洞的數量決定：我們之前討論的普通多面體不存在孔洞，甜甜圈形狀的曲面則帶有一個孔洞，以此類推。歐拉原始公式對帶孔洞的多面體不再成立，不過數學家推導出了極具價值的推廣形式。對任意多面體，V-E+F的數值恰好等于 2 減去兩倍的孔洞數量。這個數值被稱作歐拉示性數，它不僅適用于多面體，更是研究所有三維曲面的關鍵量。可以說，歐拉公式催生了一套全新的、研究形體與空間的思維體系。

作者：Abigail Kirk

翻譯：Wonder

審校：姬子隰

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今天我們將送出由人民郵電出版社提供的《量子科技如何改變我們的生活》。

本書圍繞量子計算、量子保密通信、量子精密測量、量子 +X 這四大板塊展開深入闡釋。在量子計算領域，著重介紹物理實現平臺及產業(yè)前沿進展。量子計算憑借其強大算力，有望在密碼學、藥物研發(fā)、天氣預報等眾多領域帶來突破，大幅提升計算效率，加速科研進程，推動產業(yè)變革。量子保密通信方面，詳細講解主流的 “量子密鑰分發(fā)”“量子隱形傳態(tài)””方案與產業(yè)前沿。它基于量子不可克隆原理，為信息安全傳輸筑牢壁壘，保障金融、國防等關鍵領域信息安全，維護國家和社會穩(wěn)定。量子精密測量領域，介紹現今主流的原子鐘、原子磁力計等量子設備發(fā)展。這些設備具有極高精度，在導航定位、基礎科學研究等方面作用重大，助力探索微觀世界與宏觀宇宙奧秘。量子 +X 板塊，則聚焦量子前沿技術與人工智能、化學技術、材料應用等領域的交叉發(fā)展。通過融合創(chuàng)新，催生出更多新興技術與應用，為各行業(yè)發(fā)展注入新活力，對推動人類社會進步意義深遠。本書旨在全方位呈現量子科技魅力，助力讀者理解其重要價值。

【互動問題：現代集成電路芯片普遍采用平面構型，幾億條線必定會發(fā)生交叉，工程師不得不建起一層層復雜的“立交橋”來避免短路。因此，盡可能減少線路交叉的數量是芯片設計的核心課題。根據文章中介紹的知識，不妨打開你的腦洞想想，有沒有什么辦法可以減少芯片交叉的數量？（提示：可以從歐拉公式與拓撲學的角度出發(fā)去思考）】

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編輯：姬子隰

翻譯內容僅代表作者觀點

不代表中科院物理所立場