清華00后博士生，一個念頭打破數(shù)學(xué)界80年僵局

新智元報道

【新智元導(dǎo)讀】近80年，沒人動過Erd?s概率方法的下界底數(shù)。清華、中科大團隊首次給出指數(shù)級改進(jìn)。

2026年5月，數(shù)學(xué)四大頂刊Inventiones Mathematicae刊發(fā)了一篇來自中國團隊的論文。

作者是：清華/中科大雙聘教授馬杰，清華博士生申武杰，中科大博士生謝晟捷。

論文地址：https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-026-01421-9

Erd?s 1947年發(fā)明的概率方法，奠定了整個概率組合學(xué)。

此后近80年，沒有任何人能從根本上突破它的極限。

而這篇論文，首次給出了指數(shù)級改進(jìn)。

一枚硬幣扔了80年

Erd?s的方法非常簡單：給完全圖的每條邊擲硬幣，正面紅，反面藍(lán)。

舉個例子，任何足夠大的社交網(wǎng)絡(luò)里，都必然存在一群人全互相認(rèn)識或全互不認(rèn)識。而Erd?s用這枚硬幣證明了，「足夠大」至少是指數(shù)級的。

有意思的是，上界這些年一直有人在推進(jìn)，2023年更是從≈4一口氣壓到了3.7992。但下界的底數(shù)，自Erd?s提出之后近80年都紋絲未動。

直到馬杰團隊提出了那個關(guān)于球面的想法。

但硬幣太笨了

硬幣著色的特點是每條邊紅藍(lán)各半、完全獨立。

簡潔，好分析，但它沒有利用任何幾何結(jié)構(gòu)來壓制單色團的形成，浪費了信息。

申武杰的想法是給隨機性加入幾何。

他提出了「隨機球圖」模型，也就是把n個節(jié)點隨機撒在高維球面上，兩點距離遠(yuǎn)的邊涂紅，近的涂藍(lán)。

高維球面有一個極反直覺的特性——

維度一高，幾乎所有點都擠在赤道附近。隨機選兩條徑向線，夾角幾乎一定接近90度。

點對距離集中在一個很窄的區(qū)間里，著色不再完全隨機，而是被球面的幾何對稱性精確調(diào)控。球面結(jié)構(gòu)天然壓制大片單色團的形成。

但這里有一個取舍。球面模型壓低了紅色團的概率。

也就是說，要形成大的紅色團，需要很多節(jié)點彼此都很遠(yuǎn)，球面空間有限，這很難發(fā)生。但同樣的道理，藍(lán)色團的概率反而上升了。

隨后，三人在小規(guī)模圖上做了驗證。

數(shù)以萬計的著色方案里，無團著色的概率依然大于零——收益確實蓋過了代價。

接下來就是證明這一點，而關(guān)鍵恰恰來自高維球面那些極反直覺的幾何性質(zhì)。

以近對角線Ramsey數(shù)r(k, 2k)為例，兩個參數(shù)一個是另一個兩倍的情形，Erd?s硬幣給出的下界底數(shù)恰好是黃金比例(1+√5)/2≈1.618。

馬杰、申武杰、謝晟捷把這個底數(shù)提高到了(1+√5)/2 + 10?21。

你沒看錯。改進(jìn)量大約是10?21——小數(shù)點后面20個零，然后一個1。

但重點在指數(shù)。

Ramsey數(shù)按指數(shù)增長，底數(shù)哪怕只加0.000000000000000000001，當(dāng)k趨向無窮，新下界會把舊下界甩到宇宙盡頭。

近80年來沒有任何人動過這個底數(shù)。

而他們不只是把數(shù)字往上推了一點，他們還證明了Erd?s的硬幣并非最優(yōu)著色方案。

隨機球圖在結(jié)構(gòu)上嚴(yán)格優(yōu)于純隨機著色，這意味著概率方法的天花板遠(yuǎn)沒有到。

這是該方向自Erd?s以來的首次指數(shù)級改進(jìn)，也是第一次有人給出一條超越硬幣的路徑。

不過這條路徑有一個明確的邊界：它只在藍(lán)色團大于紅色團時有效。

當(dāng)兩種顏色的禁忌團一樣大，也就是Erd?s最初關(guān)注的對角線情形，新方法的收益會消失。

整個圈子炸了

論文2025年7月掛上arXiv，不到一周，組合數(shù)學(xué)泰斗Gil Kalai在博客發(fā)了一篇標(biāo)題以Amazing開頭的長文，稱這套模型「具有相當(dāng)?shù)莫毩⒀芯績r值」。

劍橋大學(xué)的Julian Sahasrabudhe更是感慨道：「一個熟悉的東西竟然能解決一個熟悉的問題，多少有點令人震驚。」在他看來，這項技術(shù)一直藏在眼皮底下。

2025年12月，馬杰在UCLA時的合作導(dǎo)師Benny Sudakov帶著學(xué)生證明了，換成高斯隨機圖同樣有效，球面都不需要。這步簡化意味著更多人能參與推廣。

2026年初，又有人推廣到了多色Ramsey數(shù)。

2026年5月，文章正式發(fā)表于Inventiones Mathematicae。

清華00后的直覺

馬杰，現(xiàn)任清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心教授、中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)教授。

他2007年從中科大本科畢業(yè)，2011年在Georgia Tech拿到博士學(xué)位，導(dǎo)師是Xingxing Yu。此后在UCLA做Hedrick助理教授，師從Benny Sudakov，隨后轉(zhuǎn)到CMU做博后。2015年回國扎根中科大，2024年同時加入清華YMSC和BIMSA。

他在2017年拿到國家優(yōu)青，2022年拿到國家杰青，是SIDMA編委。2020年他拿下了ICA的Hall Medal——這個獎每年最多頒兩枚，專門給40歲以下的杰出組合數(shù)學(xué)家。

謝晟捷，高中拿過數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東一等獎，高二就通過少創(chuàng)班提前進(jìn)了中科大。

本科期間拿過丘賽團體銅牌，2023年留校直博，師從馬杰。成果發(fā)表時在讀博三。

申武杰，00后，目前在清華丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心讀博，導(dǎo)師是丘成桐。成果發(fā)表時博四。

他高中拿過CMO三等獎，2018年考入北大數(shù)院，本科期間拿了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽一等獎、阿里數(shù)賽銀獎和ICCM創(chuàng)意本科論文獎。2022年他直博進(jìn)入清華。

讀博的前幾個學(xué)期，申武杰主要做的是幾何與拓?fù)?，和Ramsey理論沒有任何交集。

2024年春天，他偶然讀到一篇關(guān)于Ramsey數(shù)的論文，被深深吸引，開始琢磨一個問題：有沒有一種隨機模型，能比Erd?s的硬幣更高效地生成無團著色？

2024年秋天，馬杰到清華訪問授課，申武杰把這個想法帶給了他，馬杰的學(xué)生謝晟捷也加入進(jìn)來。三個人花了一年時間，寫了40頁密集的計算，才完成了證明。

馬杰后來說：「我們很幸運，感覺所有努力都得到了回報。但這一路確實艱難了很長時間。」

AI解題 vs 人造武器

就在這篇文章發(fā)表的同月，DeepMind放出了AlphaProof Nexus的完整戰(zhàn)報。

353個Erd?s開放問題里啃下9個。44個OEIS猜想一并證明。全部Lean形式化驗證通過。其中兩道題已經(jīng)懸了56年。每道題不過幾百美元。

Gemini 3.1 Pro驅(qū)動agentic loop，反復(fù)搜索證明路徑直到形式驗證器點頭。

但歸根結(jié)底是在已知框架里做搜索。

對此，陶哲軒曾表示：AI是稱職的助手，但不是同行。它善于在已知方法里掃描匹配，但不擅長提出原創(chuàng)想法。

而馬杰團隊做的恰恰是后者。他們沒有去解Erd?s的某一道題，他們升級了Erd?s發(fā)明的方法本身。

AI從Erd?s的遺產(chǎn)里拆了9堵墻。三個中國人重鑄了他最引以為傲的那把錘子。

在最需要創(chuàng)造性洞察的數(shù)學(xué)前沿，人類目前仍然不可替代。至少今天是這樣。

尾聲

1947年，Erd?s掏出一枚硬幣，開辟了概率組合學(xué)。

將近80年后，一個00后中國博士生說了一句：「把節(jié)點扔到球面上試試?！?/p>

參考資料：

https://www.quantamagazine.org/after-80-years-mathematicians-give-famed-erdos-method-an-upgrade-20260626/

編輯：摩西